一元二次方程的解法易错点剖析知识讲解

1、二次方程的解法 易错点剖析一元二次方程易错题剖析一、 在确定一元二次方程时，容易忽视二次项系数a 0题目1关于X的方程(k2-1)x2kT + x+ k=0是一元二次方程，求k的值.错解：T k2-2k-1=2即 k2- 2k-3=0ki = 3, k2 = 1.错因：方程ax2+ bx + c=0 ( a 0)为一元二次方程，这里强调a 0.当k2 = 1时，使k2 - 1 = 0,原方程是一元一次方程.正解：2k -2k 仁 2,2k = 3.k2-10,二、 在使用一元二次方程根的判别式时，容易忽视二次项系数a 0题目2关于X的一元二次方程(m+1)x2+ 2 3mx + 3m-2= 0

2、有实根，求m的取值范围. 错解：T方程有实根，二 > 0,即(2.3m)2-4(m + 1)(3m 2) >0, 4m+80,. m W 2.错因：因为题中说明是一元二次方程，则还应满足m + 1 0,即m 1。正解：(2 .3m)2 4(m + 1)(3m 2)0,m +10, m W2,且 m 1.三、 忽视根的判别式和二次项的系数a应满足的条件题目3已知关于X的方程x2 mx n = 0的两根之积比两根之和的2倍小-，并且两2 根的平方和为22,求m , n的值.错解：设两根分别为X1 , X2，则X1 + X2 = m , X1X2 = - n1由题意，得 2(X1+X2)

3、-X1X2= 2,2 2 X1 + X2=22,m1= 7,m2=-3解得27 或13n1=- = ,n2=-c ,1即 2m+ n = 2,2m +2n=22,错因：因为方程有两根，说明根的判断式> 0, 即卩 m2+4n > 0,但 m = 7和 n =27不满足，应舍去.又这里二次项系数2正解：a = 1是已知的，解题时可不考虑。=72-4 27 V 0,2=(-3)2 + 4 空>0,2当 m = 7, n = 27 时，2当 m = - 3, n = 13 时，213 .m = 一 3, n =.2四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况不合题意，舍去;题目4 a为

4、何值时，方程土1 +号=铝只有一个实数根.错解：原方程化为2x2- 2x+ (1- a) = 0.此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根,= (-2)2-4 2(1 - a)=0 ,/. a=-.2错因：当方程2x2-2x+(1- a) = 0的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原方程的根时，命题也成立.正解:把 x = 0代入 2x2-2x + (1-a)= 0，得 a = l ;把 x = - 1 代入 2x2-2x+ (1- a)=0，得 a = 5.二当a1=2,a2=1, a3=5时，原分式方程只有一个实数根.2 2五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑 是二次方程时的情

5、况，忽视是一次方 程时的情况.题目5已知关于x的方程(k-1)x2+ 2kx+ k = 0有实根，求k的取值范围.错解：当k-12 0即k 21' 2 时，方程有实根，(2k)2-4k(k -1) 0,4k2-4k2+4k 0 k > 0且 k 1时，方程有实根.错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程 有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程.正解：当k 1 = Q即k = 1时，方程化为 2x+1=0，二 x = - 2.当k >0时，方程有实根.六、不理解一元二次方程的定义题目6方程(m-1)x"i + 2m>-3= 0

6、是关于x的一元二次方程，求 m的值.错解：由题意可得m+ 1 = 2，二m=±1.错因：一元二次方程满足的条件是：只含有一个未知数；未知数的最高次 数为2；整式方程.方程经整理可转化为一般形式： ax2 + bx+ c= 0(a 0).本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件.正解：由题意可得，m+ 1 = 2，且m- 1工0，二m=±1且mr 1， m的值是-1.七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆 题目7用配方法求2x2- 12x + 14的最小值.2 2 2错解：2x - 12x + 14 = x -6x + 9-2= (x-3) -2.当x=

7、 3时，原多项式的最小值是一2.错因：一元二次方程配方时，二次项系数化为1,方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数.要注 意等式与代数式变形的区别.正解：2x2 12x + 14 = 2(x2 6x + 7) = 2(x2 6x+ 9-2) = 2(x-3)2-4.当x= 3时，原多项式的最小值是-4.八、解方程中错误使用等式的性质题目8解方程x = 6x.错解： x = 6x,解这个方程，得x= 6.错因：本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式.正解： x = 6x,x 6x= 0,x(x 6) = 0, xi= 0,

8、X2 = 6.九、 题目9关于x的方程 2x 4 x + k= 1,有一个增根为4,求k的值.1. 对增根概念理解不准确错解1：把x= 4代入原方程，得- 2X4 4 '4 + k= 1,解得k= 3. 错因：本解法错误在于对增根概念理解不准确，既然是增根，代到原方程中 去，等式不应该成立.实际上解法中把 4当作原方程的根，而没有当作增根来 处理.2. 忽略题中的隐含条件错解2：将原方程化为整式方程，得4( x + k) = (x 5 k)2. (*)2把x= 4代入整式方程(*)，得4(4 + k) = (4 5 k).解之，得 ki=- 3, k2= 5.答：k的值为3或5.错因：

9、本解法已经考虑到增根的定义.增根是在将无理方程化为整式方程时产生的，所以题目中的增根x=4肯定是在解整式方程(*)时产生的.将x = 4代 入整式方程(*)，等式应该成立.求出ki= 3, k2 = 5,但本解法忽略了对k值 的验证.将无理方程化为整式方程时，可能产生增根，也可能不产生增根，因此还必须将求得的k值和x= 4代到原无理方程中去验证.正解：(1) 将ki = 3, x=4代入原无理方程，左边=” 2X4 4 - 4 3 = 1,右边 =1 .左边=右边.当k= 3时，x=4是适合原方程的根(不是增根).(2) 将k2 = 5, x= 4代入原无理方程，左边=1,右边=1,左边工右边

10、.当k= 5时，x= 4是原方程的增根.综上所述，原方程有一个增根为 4时，k的值为5.十、忽略前提，乱套公式题目10解方程：x2+3x=4.错解：因为=32-4 X1M=-7 V 0,所以方程无解.错因：用公式法解一元二次方程，必须先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a工0).如果同学们没有理解这一点，胡乱地套用公式，解方程时就会造成错误 正解：方程可化为x2+3x-4=0.=32-4 X1 X(-4 ) =25> 0.x=42即 x1 = 1, x2 =-4.十一、误用性质，导致丢根题目 11方程（ x-5）（ x-6）= x-5 的解是（ ）A. x =5B.x=5 或 x=

11、6C.x=7D.x =5 或 x=7错解：选C.将方程的两边同时除以x-5得x-6=1,解得x =7.错因： 在解一元二次方程时，不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数 式，否则就会产生漏根的现象，导致解题出错 .正解：选D.移项得（x-5） （x-6）-（ x-5）=0，因式分解得（x-5 ） （x-7）=0,解 得 x1=5， x2 =7.十二、考虑不周，顾此失彼题目 12 若关于 x 的一元二次方程 （m+1）x2- x+m2-m-2=0 的常数项为 0，则 m 的值为（ ）A. m=-1B.m=2C.m=-1 或 m=2D.m=1 或 m=-2错解：据题意可得m2-m-2=0，解得m

12、i=-1, m2 =2，所以选C.错因：错解中根据题中条件构造关于 m的方程m2-m-2=0，以达到求m的值的 目的，这样思考并没有错，错就错在忽略了一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中必须有az0这一条件.正解：据题意可得m?-m-2=0，解得m1 =-1, m2 =2.又因为m+存0,故ITZ -1，所 以m=2故选B.十三、一知半解，配方不当题目 13 解方程： x2-6 x -6=0.2错解：移项，得x2-6 x=6,故（x-3 ） =0 解得 x1=x2 =3.错因：运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一 边加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加

13、或者加错.所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当 产生错误.正解：移项，得x2-6x=6,所以 x2-6 x +9=6+9,即(x 3)2 = 15,解得 Xi=3+. 15, X2=3- . 15 .十四、概念不清，导致错误题目14下列方程中，一元二次方程为(1)4x2 3x ；(2)( x2 2)2 3x 1 0 ；(3) 1X2 4x0 ； x20 ；(5)、x 12 ；(6)6 x(x 5) 6x2 .错解：多找了或(6)或少找了或错因：多找了 (2)或(6)是因为没将方程整理，少找(3)是将它看作是分式方 程，少找了 (4)是因为方程没有一次项

14、，常数项过于简单.判断一方程是否为 一元二次方程，首先看它是否为整式方程，若是整式方程，再进行整理，整理 之后再看它是否符合定义的另两个特点.正解：是方程(1),(3),(4)十五、忽略二次项系数a0导致字母系数取值范围扩大题目15.如果关于X的一元二次方程(m 2)x2 3x m2 4 0有一个解是0,求0的勺 值.错解：将X= 0代入方程中，得(m 2) 02 3 0 m2 4 0 ,m24 m 2错因： 由一元二次方程的定义知 m 2 0，而上述解题过程恰恰忽略了这一点，正解： 将 x 0 代入方程中，得22(m 2) 02 3 0 m2 4 0,2m 4,m 2.又因为 m 2 0 ，

15、所以 m 2.十六、忽略一元二次方程的 “元”和“次”都是对合并同类项之后而言的，导 致错解题目16.关于X的方程mx2 3x x2 mx 2是一元二次方程的条件是什么？错解： 由一元二次方程的定义知 m 0.错因： 一元二次方程的 “元”和“次”都是对合并同类项之后而言的 . 而上述解题过程恰恰忽略了这一点，整理得 (m 1)x2 (3 m)x 2 0 ，-m 10, m 1 正解：关于X的方程 mx 3x x mx 2 是一 元二次方程的条件为 m 1十七、忽略一元二次方程有实根条件AAO导致错解题目17.已知Xi, X2是方程x2 (k 2)x k2 3k 5 0的两实根，求为2忙的最大

16、值.错解： 由根与系数的关系得x1x22k 2 ， x1x2 k2 3k 5 ，x12 x22x2)2 2x1x222(k 2)2 2(k2 3k 5)k2 10k 6(k 5)2 19,所以当k 5时，xj x22有最大值19.错因：当k5时，原方程变为x2 7x 15 0，此时 V 0,方程无实根.错因是忽略了这一重要前提.正解：由于方程有两实根，故AAO,2 即(k 2)4(k2 3k 5) 0,解得一 4w kw-.3所以当k 4时，xj x22有最大值18.十八、未挖掘题目中的隐含条件导致错解题目 18.若(x2 y2 1)(x2 y2 3) 5,则 x2 y2=.错解：(x2 y2

17、)2 2(x2 y2) 8 0(x2 y2 4)(x2 y2 2) 0解得 x2 y2 =4或 x2 y2 =-2错因：忽视了 x2 y2的非负性，所以应舍去x2 y2=-2.正解：4题目19、已知方程ax2 3x 5 0有两个实数根，求a的取值范围.错解：v已知方程有两个实数根，/. > 0,即 324 a ( 5)0,a一.20所以C的取值范围是大于或等于- 9的实数.20错因：因已知方程有两个实数根，这个方程必须是一元二次方程，解答过程忽略了二次项系数a不为0的条件。正解：a>且aO .20题目20、当k为何值时，方程kx2 2x 3 0有实根？错解：V已知方程有实根， =

18、( 2)2 4X 3 k >0 ,解得k< 1 .又"0,3当k< 1且kz 0时，方程kx2 2x + 3= 0 有实根.3错因：题目未说明已知方程为一元二次方程，当 k = 0时，方程为一元一次 方程，此时有实根x=|，也符合题意。正解：当k< 3时，已知方程有实根.题目21、已知关于x的方程(m2 1) x2 ( m + 1) x + 1 = 0 的两实数 根互为倒数，求m的值.1 1错解：已知方程的两根互为倒数，由根与系数关系，知 齐 1 , 解得m 、2 .14经检验，它们都是方程齐1的根，所以m的值为.2 , .错因：求出的m值需保证已知方程有两个实数根，因此 m的值除满足是解题过程中的分式方程的根外(m工士 1)，还需代入已知方程的根的判别式进行检 验.实际上，当m =、2时，方程为x2 (1 .2)x 1 0 , =3 2二4 o,此 时已知方程无实数根.正解：m的值是二.2 2 2题目22、已知