最新全等几何模型讲解资料

1、精品文档常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。1绕点型（手拉手模型）'遇60°旋60°,造等边三角形八白诒珪占计锂、圧舌汪遇90°旋90°，造等腰直角（1 ）自旋转：自旋转构造万法遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中点旋1800,造中心对称精品文档图(l-1-a)EC图(1-1-b)图(1-1)图(1-2) a图(2-1-a)=>D图(2rl b ) 4例题讲解：1. 如图所示，P是等边三角形 ABC内的一个点，PA=2 PB=2i3 , PC=4,求厶ABC的边长。

2、2. 如图，0是等边三角形 ABC内一点，已知：/ A0B=115°, / BOC=125,则以线段 0A、OB、0C为边构成三角形的各角度数是多少？C3. 如图，P是正方形 ABCD内一点，且满足 PA PD PC=1 : 2 : 3，则/ APD=.AD4如图（2-1） : P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点 A、B、C的距离分别 为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形 ABCD面积。图(2-1)图(2-2) *（2）共旋转（典型的手拉手模型）模型变形:等边三角形共顶点例题讲解:1. 已知ABC为等边三角形，点 D为直线BC上的一动点(点 D不与B,C重合)，以

3、AD 为边作菱形 ADEF(按A,D,E,F逆时针排列)，使/ DAF=60，连接CF.(1) 如图1,当点 D在边BC上时，求证： BD=CF ?AC=CF+CD.(2) 如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出 AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；(3) 如图3 ,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC > CF、CD之间存在的数量关系。2. (13北京中考)在厶 ABC 中，AB=AC, / BAC=：(0 :： : <60 ),将线段BC绕点B逆时针旋转60 °得到线段

4、BD。E(第2斗题图1)B(第翠题图2)(1) 如图1，直接写出/ ABD的大小(用含:-的式子表示);(2) 如图2，/ BCE=150，/ ABE=60°,判断 ABE的形状并加以证明;(3) 在(2)的条件下，连结 DE,若/ DEC=45，求的值。2半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。8A(7例题:1在等腰直角 ABCD的斜边上取两点M,N,使得 / MC245 ,记 AM=m,MN=x,BN=n求证以m, x, n为边长的三角形为直角三角形。2.如图，正方形 ABCD勺边长为1 , AB,

5、AD上各存在一点 P、0,若厶APQ的周长为2, 求.PCQ的度数。精品文档3. E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，且/ EAF =45 , AH _ EF , H为垂足，求证：AH =AB .精品文档4. 已知，正方形 ABCD中，/ MAN=45 ，/ MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC （或它们的延长线）于点 M、N , AH丄MN于点H .（1）如图，当/ MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出 AH与AB的数量关系：AH=AB ;（2）如图，当/ MAN绕点A旋转到BM DN时，（1 ）中发现的AH与AB的数量关系 还成立吗？如果不成立请写出理由，

6、如果成立请证明；（3）如图，已知/ MAN=45 , AH丄MN于点H，且MH=2 , NH=3，求AH的长.（可利用（2）得到的结论）5.已精品文档图1图2知：正方形ACD 中，/ MAN=45°，/ MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB , DC（或它们的延长线）于点M，N .当/ MAN 绕点A旋转到 BM=DN 时（如图1）,易证BM+DN=MN .（1）当/ MAN绕点A旋转到BW DN时（如图2）,线段BM , DN和MN之间有怎样的数量关 系？写出猜想，并加以证明.当/ MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段 BM , DN和MN之间又有怎样的数量关 系？青直接

7、写出你的猜想.6. （14房山2模）.边长为2的正方形ABCD的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上（如图1），现将正方形 ABCD绕D点顺时针旋转，当 A点第一次落在 DF上时停止 旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M , BC边交DG于点N （1）求边DA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当 MN和AC平行时（如图2）,求正方形 ABCD旋转的度数；（3） 如图3,设.：MBN的周长为p，在旋转正方形 ABCD的过程中，p值是否有变化? 请证明你的结论7. (2011石景山一模)已知：如图，正方形ABCD中，AC, BD为对角线，将/ BAC绕顶点A逆 时针旋转a

8、° 0V aV 45),旋转后角的两边分别交 BD于点P、点Q,交BC, CD于 点E、点F,连接EF, EQ.(1) 在/ BAC的旋转过程中，/ AEQ的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围(直接在答题卡上写出结果，不必证明)；(2) 探究 APQ与厶AEF的面积的数量关系，写出结论并加以证明.& 已知在 ABC 中， ACB =90 , CA二CB =6、2 , CD _ AB 于 D，点 E 在直线 CD1上, DE CD，点F在线段AB 上, M是DB的中点，直线AE与直线CF交于N点. 2(1)如图1,若点E在线段CD上，请分别写出线段 AE

9、和CM之间的位置关系和数量 关系：, ;(2)在(1)的条件下，当点F在线段AD 上,且AF =2FD时，求证：.CNE = 45 ；(3) 当点E在线段CD的延长线上时，在线段AB上是否存在点F ,使得/CNE =45 .若存在，请直接写出 AF的长度；若不存在，请说明理由.9.(2014 平谷一模 24)(1)如图1,点E、F分别是正方形 ABCD的边BC CD上的点，/ EAF=45°连接EF,则EF、BE、FD之间的数量关系是： EF=BE+FD.连结BD,交AE、AF于点 M、N，且MN、BM、DN满足MN 2 = BM 2 DN 2，请证明这个等量关系;(2)在厶ABC中

10、，AB=AC，点D、E分别为BC边上的两点.如图2,当/ BAC=60°, / DAE=30°时，BD、DE、EC应满足的等量关系是如图3,当/ BAC=? , (0 <： <90°),Z DAE=-：时，BD DE、EC应满足的等量关系2图1A图2是.【参考：sin2a +cos2a =1】注意：2AM2 =BM 2 DM 2(1)在正方形 ABCD 中，AB=AD,Z BAD=90 °/ ABM=Z ADN=45°M'把厶ABM绕点A逆时针旋转90°得到.-ADM连结 NM 贝 U DM：上 BM , AM、A

11、M , .ADMABM =45 , . DAM ” ：EBAM / EAF=45 °, / BAM +/ DAN=45 :/ DAM+/DAF=45° NM'AN =NMAN =45 * AM 'N B.：AMN M'N =MN 在. DM 'N 中，ZM 'DN ZADN £ADM J90 ,2 2M 'N =DNDM,2MN2=DN 2 BM(2DE2 =BD2 BD EC EC2 ； DE2 二BD2 2cos： BD EC EC23空翻模型ANBMMPDanmbmdgACAQBPA例题:（点B除外），作.DM

12、N = 60 ,1. 如图，点M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点射线MN与ZDBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的数量关系？AM B E精品文档【解析】 猜测DM =MN .过点M作MG / BD交AD于点G , AG = AM ,二GD = MB 又 T / ADM . DMA =120' , / DMA / NMB =120 / ADM =/ NMB，而 / DGM 二/ MBN =120】, . QGM 也.：MBN , DM =MN .2. 如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN _ DM且与/ ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎

13、样的数量关系?【解析】猜测DM =MN .在AD上截取AG =AM， - DG = MB ， / AGM =45， / DGM 二/ MBN =135，/ ADM 二/NMB， . QGM：MBN， DM =MN .3. 【探究发现】如图1,ABC是等边三角形，/AEF =60，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点 F 当点E是BC的中点时，有 AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用 从特殊到一般”的数学思想，通过验证得岀如下结论：当点E是直线BC上（B,C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE = EF仍然成立.假如你是该兴趣小组中的一员，请你从

14、点E是线段BC上的任意一点”；点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点 ”三种情况中，任选一种情 况，在备用图1中画岀图形，并进行证明.A【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE = BC,在备用图2中画岀图形，并运用上述结论求岀 S ABC : S AEF的值4弦图模型外弦图内弦图总统图例题： 1两个全等的30°，60°三角板ADE,BAC如右下图所示摆放，E、A C在一条直线上，连接 精品文档BD取BD的中点M ,连接ME MC(1)求证： EDM CAM ( 2)求证： EMC为等腰直角三角形.2.如图 ABC 中，已知/ A

15、=90 ° , AB=AC, (1)D为AC中点，AE丄BD于E,延长AE交BC于F,求证：/ ADB= / CDF若D , M为AC上的三等分点，如图2,连BD,过A作AE丄BD于点E,交BC于点F, 连MF，判断/ ADB与/ CMF的大小关系并证明.3.(14朝阳二模)已知/ ABC=90°, D是直线 AB上的点，AD=BC.(1)如图1,过点A作AF丄AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断 CDF的形状并证 明；(2)如图2, E是直线BC上的一点，直线AE、CD相交于点P,且/ APD=45°,求证BD=CE.图1精品文档二、对称全等模型下

16、图依次是45°、30°、22.5 °、150及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方 形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。AGAFBP2C例题：1.如图 1，在 ABC 中，已知/ BAC=45 ,AD丄 BC 于 D, BD=2, DC=3 求 AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1她分别以AB AC为对称轴,画出 ABD ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F,延长EB FC相交于G点，得到四 边形AEGF是正方形.设 AD=x利用勾股定理，建立关于 x的方程模型，求出 x的值.参考小萍的思路，探究并解答新问题：精品文档如图2,在厶ABC中，/ BAC=30 , ADL BC于D, AD=4请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF求厶BGC的周长.(画图所用字母与图1中的字母对应)2问题：已知 AB