应变梯度理论

1、应变梯度理论应变梯度理论是近解释材料在微米尺度下的尺寸效应现象而发展起来的一种新理论。Fleek等于1994年在细铜丝的扭转实验中观测到微尺度下应变梯度的硬化，其中直径12m的无量纲扭转硬化约为直径170 m的三倍。通过对1251 m、25m和50 m三种厚度纯镍薄片的弯曲测试，Stolken和Evanslv7于1998年发现镍的无量纲弯曲硬化随着薄片厚度的减小而明显增大，然而在拉伸试验中并未发现这种微尺度现象。Chong和Lam8于1999年通过压痕实验观察到热固性环氧树脂和热塑性聚碳酸酷的无量纲硬化与应变梯度有 关，材料的塑性具有微尺度效应。McFarland和Colton9J于2005年

2、通过对不同厚度聚丙烯悬臂微梁的弯曲测试，同样观测到无量纲弯曲刚度随梁厚减小而增大。与宏观尺度相比，微尺度下结构的力学特性及行为研究主要考虑到以下两个方面(1) 尺度效应。材料不是无限可分。因此材料颗粒的固有属性将影响到微结构的力学特性。(2) 表面和界面效应。一些在宏观尺度下常被忽略的力和现象，在微尺度下起着重要的作用；而一些在宏观领域作用显著的力和现象，在微尺度下作用微小，甚至可以忽略。例如，微尺度下，与特征尺寸 L的高次方成比例的惯性力、电磁力(L3)等的作用相对减小，而与尺寸的低次方成比例的粘性力、弹性力 (L2)、表面张力(LI)、静电力(L0)等的作用相对增大。随着尺 寸的减小，表面

3、积(L2)与体积(L3)之比相对增大，表面力学和物理效应将起主导作用。理论模型建立(1)偶应力理论早在一个多世纪前，voigt12便提出了体力偶和面力偶的概念，并建议构建考虑作用在材料 微粒表面或边界上的力偶的连续模型。随后Cosserat兄弟14根据的假设建立了相关的Cosserat理论，对应的运动方程中出现了偶应力。直到20世纪60年代左右，一些学者才开始尝试Cosserat理论的改进扩展工作，他们对Cosserat连续体物质点的旋转施加一定约束，并逐渐发展了一种更为普遍的理论一偶应力理论。相比其它非经典连续介质理论，偶应力理论是一种相对简单的理论。如应变梯度理论考虑旋转梯度、拉伸和膨胀梯

4、度的影响，而偶应力理论仅考虑了旋转梯度(与偶应力共轭)。Ashby22指出几何必需位错和统计储存位错是材 料的塑性硬化来源，而几何必需位错产生于塑性剪切应变梯度。据此，Fleek和Hutchinson23及Fleek等在偶应力理论框架上发展了一种应变梯度塑性理论(通常称为CS应变梯度塑性理论)，它是经典的J2形变或J2流动理论的推广。在理论中为了考虑旋转梯度的影响，引入了偶应力，并且服从二阶变形梯度本构率的Clausius-Duhem热力学限制条件24。这种理论不仅在模拟裂纹扩展时能消除裂纹尖端的应力奇异性25,还能成功预测微结构力学行为中的微尺度效应。例如，Fleck等铜丝的扭转实验中证实了

5、应变梯度硬化的存在，并应用提 出的CS应变梯度塑性理论成功解释了这种微尺度现象。经典牛顿力学框架下，连续变形体 的材料颗粒仅在力的作用下作平动；在TouPin和Min diin等学者18-21健立的传统偶应力弹性理论中，材料颗粒不仅在力的作用下作平动，还在力偶的作用下作转动。因此，偶应力理论中的系统能量包括应力对应变和偶应力对旋转形变做的功，其中旋转形变是二阶变形梯度的反对称部分，含有8个独立分量。对于各向同性线弹性材料而言，系统本构方程中除了两个经典的拉梅系数外，还包含两个与材料微结构有关的附加常数。在上述偶应力理论构建中， 仅用到传统的力和力矩的平衡关系，对力偶并没有施加约束。Yang等2

6、8从引入高阶平衡关系角度出发，提出一种修正偶应力理论。在添加力偶矩平衡关系后，偶应力张量被约束成对 称量，它对与之共轭张量的曲率张量的对称部分做功，并与应力对应变做的功一起转变 为系统能量。这种理论下的本构方程仅包含一个附加常数，从而大大降低了非经典常数的确定难度。Park和Gao29曾使用这种新理论计算 Bemoulli-Euler微梁的弯曲，发现微梁厚度与 材料内察长度相当时， 呈现出明显的尺度效应， 所求得的无量纲弯曲刚度与弯曲实验测量值 28吻合得较好。(2)应变梯度理论 应变梯度理论的基本思想是通过将高阶应变梯度和 / 或位错密度纳入支配材料行为的本构或 演化方程， 来引入尺度对结构

7、或系统的弹、 塑性变形和位错运动等力学行为的影响。 这种理 论最早由 Mindlin30 提出，他将弹性体的应变能密度视为应变和它的第一、 二阶导数的函数。 同时， 他也给出了一种更常用的仅包含应变和其一阶导数的简化理论，简化后的附加变形包含了二阶变形梯度的所有 18 个独立分量。比较而言，偶应力理论仅包含了二阶变形梯度中 的 8 个独立分量，而应变梯度理论是一个完整的二阶梯度理论。 Mindlin 为非经典连续介质 力学研究提供了一种新的思路， 后人针对各种应用对其理论进行了改进和扩充。 除了弹性材 料外，不少学者致力建立了塑性 31-33 、弹塑性 34、热弹性 135等材料的应变梯度模型

8、。 例如，通过使用等效应变的一次和二次拉普拉斯算子表示附加的应变梯度， Aifantis 等 32 建立了应变梯度塑性理论。Fleek等31和Gao等331则发展了另一种基于几何必需位错的应变梯度塑性理论。 Aifantis 为应变梯度理论的发展和应用做出了卓越的贡献。他和他的合作 者们建立并逐步发展了模拟物体弹性、 塑性和位错动力行为的各种应变梯度理论， 并就相关 理论的发展、 应用及数学表述给出了综述 36。另外，黄克智等 37也在他们的综述性文章中 综合介绍了偶应力和应变梯度塑性理论。 除了用于描述位错组态、 材料软化和裂纹尖端附近 的变形场等问题外 36，应变梯度理论也广泛应用在微尺度

9、效应研究中。例如， Aifantis38 讨论了应变梯度弹性、 塑性理论在解释不常见微结构的标准尺寸试件或普通微结构的小尺寸 试件的扭转和弯曲中的微尺度现象上的能力。在Mindlin30建立的传统应变梯度弹性理论中，附加变形即引入的二阶变形梯度，它包括了 8个独立分量的反对称部分和 10个独立分量的 对称部分在内的所有 18 个独立分量。对于各向同性材料而言，二阶变形梯度对应有七个线 性弹性常数， 即两个拉梅系数和五个与材料微结构有关的非经典常数。应用虚功原理得到的控制方程和边界条件也包含五个附加常数， 从而能捕捉到微结构中的尺度效应。 后来， Fleck 和 Hutchinson31 ， 3

10、9重新表述了 Mindlin 的应变梯度理论， 他们将二阶变形梯度张量分解成 两个独立部分，即拉伸梯度张量和旋转梯度张量。与Min diin的工作类似，Fleck和Hutchi nson仅使用了传统平衡关系力和力矩平衡来支配高阶应力行为。受Yang 等28的工作启发，Lam 等40尝试将新的高阶平衡关系应用在本构关系及控制方程的推导中。在施加附加的力 偶矩平衡关系后， Lam 等重新定义了高阶应变张量及与之共扼的高阶应力张量，并推导了相应的本构关系和应变能表述。 由于高阶平衡关系的引入， 旋转梯度的反对称部分不出现在变 形能中，与微结构有关的附加材料常数的个数由五个减少到三个。基于所提出的新理

11、论， Lam 等40研究了微悬臂梁的弯曲问题，发现微梁的无量纲刚度与梁厚呈二次方反比关系， 这与微梁的弯曲实验观测结果相吻合。(3) 微态理论微态理论是由连续介质力学大师Erin gen建立。在1964年，Erin ge n41、Eri ngen和Suhubi42分别提出了简单微流体和简单微弹性体理论， 他们的模型中分别考虑了微流体的局部微运动 和微固体的微变形和微旋转，并推导了对应的基本场方程、边界条件和本构方程。到1966年，Eringen43综合阐述了这类理论，并将之正式命名为微态连续统力学。这种理论把材料 体看作无数变形物质点的连续集合， 每个物质点都具有有限的尺寸和内部结构。 除了经

12、典的 三个平动自由度外， 每个材料物质点还具有独立的拉伸和旋转自由度， 即允许物质点作刚体 运动和发生变形。 因此， 微态连续体的变形会同时产生宏观应变和微观内部应变。后来的学者发展和拓宽了该理论， 建立了弹粘塑性材料 44、考虑热存储效应 45、热磁祸合弹性体 46 等一系列理论模型。Chen和Lee47建立了基于微态理论的所有瞬时力学变量和原子坐标及 速度的联系， 并通过统计系综平均后得到连续场量， 从而将微态理论和分子动力学结合起来。微态理论已经应用于微尺度结构与材料的模拟中。例如，Dinard48使用基于微态理论的各向异性可压缩塑性模型， 探讨了含孔洞泡沫镍板的尺度效应， 成功预测了孔

13、洞周围的应变集 中随孔洞尺寸减小而减弱的变化趋势。微极理论微极理论实质是微态理论的一种特例。微极理论中，每个材料物质点除了经典的三个平动自由度外，仅添加了独立的旋转自由度，即意味着物质点可以作刚体运动，但不允许变形。Eringen491于1965年首次提出微极连续统理论，并在同年50和1967年51分别构建了基于微极理论的流体和弹性体模型。相一比经典力学理论，由于附加独立自由度的引入， 微极材料会有旋转惯性矩、体力偶和表面力偶的作用产生。微极理论的后续研究重心在于该理论的 扩展和推广。Erin gen、 de Borst、Tauchert等学者在该领域作了大量的工作，提出了用于 粘弹性52、塑

14、性53、热弹性54等材料的微极理论。微极理论同样可以描述微结构中的尺 度效应。例如，McFarland和CoIton9使用微极弹性连续理论探讨了微结构对悬臂微梁的弯 曲刚度的影响，计算结果预测到梁的弯曲刚度随梁厚减小而增大，这与文中实验所观测到的微尺度现象是吻合的。上述理论对每个物质点均引入了附加自由度或高阶变形，与之不同的另一种理论则考虑了表面效应的影响。由于微尺度结构具有急剧增大的表面/体积比，表面效应的重要性显著提高。为了引入表面效应，Gurtin和Murdoch55提出了一种表面弹性理论，将表面看作和体不同性质、无滑移地勃附在体上的二维弹性膜，表面应力的出现导致了非经典的边界条件，它和

15、表面经典的弹性方程共同组成场方程。对于特征尺寸大于100nm的结构，表面/体积比可以忽略，因此表面弹性理论目前仅运用在纳米结构中。Wang和Feng56-58基于Bemoulli-Euler梁和Timoshenko梁理论，建立了一种考虑表面效应的理论模型， 有力预测了纳米梁在振动和屈曲行为中的微尺度效应。实验研究方法微尺度材料的力学性能测试主要包括弹性模量、泊松比、残余应力屈服强度、疲劳强度和断裂强度等参数，常用的测量方法有拉伸测试法、弯曲测试法、纳米压入法、鼓膜法和共振频率测试法等59 拉伸试验法(I)拉伸测试法拉伸测试是测量弹性模量、泊松比、屈服强度和断裂强度等参数的最直接的方法。一般的拉

16、伸测试装备主要包括加载装臵、力传感器、位移传感器、机械框架和夹具五部分。载荷和位移是拉伸法测量的主要内容，所需材料参数通过绘出的包括塑性变形在内的拉伸应力一应变曲线得到。早在1955年，Eisner60就对直径1m进行了拉伸试验。最近， Chasiotis和Knauss61设计了一种新的拉伸实验装备测得表面微加工多晶硅的弹性模量和拉伸强度，他们使用原子力显微镜获得变形试样的表面形貌后，再通过数字图像相关法(DIC)来确定应变。在测量FCc薄膜力学特性的纯拉伸实验中，Espinosa等62发现金、铜和铝试样的屈服应力比试样厚度减小得快，显示出明显的尺度效应。弯曲测试法弯曲测试法是微尺度材料测试领

17、域比较常用的方法之一。与拉伸法相比，弯曲法可以很容易地使用光学显微镜测量，如原子力显微镜(AFM)、扫描隧道显微镜 (STM)和力调制显微镜(FMM)等Pearson等63l于1957年通过弯曲实验研究了硅丝(直径为20m )的屈服应力和断裂强度。在新的测量仪器出现后，Esp inosa等64使用原子力显微镜、纳米硬度计和Mirau型干涉显微镜对金薄膜进行了三点弯曲实验，测得了杨氏模量、屈服应力和残余应力。前文中已提到，已有学者在金属和聚合物材料的弯曲实验中观测到尺度效应(如无量纲弯曲刚度随特征尺寸的减小而增大)7-9。纳米压入法纳米压入法具有极高的位移分辨率和加载精度，通过分析所记录的加载与

18、卸载过程中的载荷一位移曲线来确定材料参数，主要是材料硬度。这种方法分为纳米压痕和划痕技术，其中纳米硬度计是常见的实验装备。Oliver和Pharr6s使用Berkovich压头进行压痕实验并测得熔融石英、钠钙玻璃和单晶铝等六种材料的弹性模量和硬度。Jardret等66项使用Berkovich压头对一些金属和高分子材料展开了划痕实验，指出其中的技术要点。采用扫描隧道显微镜(STM)，Stemashenk等67对单晶钨薄膜所做的压痕实验发现，当压痕深度由10m到1m时，材料硬度值急剧增大，表现出强烈的尺度效应。4 鼓膜法鼓膜法通常被称之为两轴拉伸试验，是最早用于研究薄膜力学性能的技术之一。薄膜凸起

19、高度是主要测量物理量之一，最早是采用指针仪等机械法进行测量，随后发展为超声厚度测量，目前则使用精度更高的激光干涉测量68。由于金属具有良好的延展性，早期的鼓膜实验主要集中在对金属薄膜的研究上。Beam69最早于1959年使用鼓膜技术对金、银薄膜的力学性能进行测量。后来的学者们也逐渐对非金属材料产生兴趣，以矩形薄膜为对象,Tabataa等70测得了 LPCVD多晶硅和PECVD氮化硅组成的复合薄膜的内应力和弹性模量。5 共振频率法微结构的谐振频率与材料的弹性模量、剪切模量和泊松比等材料特性参数密切相关，通过检测谐振频率来计算材料参数是一种较早采用的动态测试方法。该方法采用非接触光学测量技术，使用

20、激光多普勒干涉仪、迈克尔逊干涉仪等仪器测量振动位移，再进一步确定微结构的振动频率。早在1979年，Petersen等71通过测量悬臂微梁的横向共振频率得到氧化硅薄膜 的弹性模量。在压电陶瓷或电磁驱动器激振下，Mazza等72使用激光多普勒干涉仪对镍和铁镍合金微梁进行了振动实验，测得材料的弹性模量、弹性极限和失效应力。Chen等73使用电场驱动的谐振实验装臵，在Zno纳米丝的弹性模量测量中观察到尺度效应，发现当试样直径小于120nm时，弹性模量随直径的减小而显著增大。6 Fleck N A, Muller G M ，Ashby M F, etal. Strain gradient Plastic

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