产品的销量预测

1、B题：产品销量预测设有某种新产品要推向市场, t时刻的销量为由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t时刻产品销量与t有关。1， 设t时刻产品销量的增长率与成正比, 预测时的产品销量；2， 设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比, 预测时的产品销量；3， 试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测时的产品销量.摘要在经济学与管理学领域里，人们经常遇到涉及有关经济量的变化，如增长、速率、边际分析等，通常是根据动态平衡法，遵循净变化率=输入率-输出率的规则，建立起诸经济量之间的相应的微分方程模型，用以描述并解释各个经济量之间的变化规律，从而做出正

2、确的决策及预测分析。本文首先针对问题一和问题二，建立了简单的数学模型。例如问题二中的模型实际上就是著名的逻辑斯蒂(logistic)模型,它在人口、虫口模型中应用广泛，并且也被用来预测经济学中一些产品销量等问题，著名的生物增长S型曲线就是通过此模型得到的。文章给出了逻辑斯蒂模型，并解释了它在产品销量问题中的应用，分析了逻辑斯蒂方程的一些简单性质。针对问题三我们有三种种思路，第一：考虑到在现实中，影响产品销量的因素有很多，此时问题二中的模型就显得太过简单，文章加入了其他的现实因素，比如价格，产品寿命损耗等因素，改进了原来的模型，并简要分析说明了模型的优越性。第二：运用线性回归的知识建立数学模型。

3、第三：因为线性回归方程中汽车销量需要知道影响因素的一些数据，但我们却并不知道，所以通过线性回归得到的方程还不够。这里还有许多其他不确定因素所以我们采用方法二灰色预测的方法来预测汽车销量。关键词：逻辑斯蒂模型，改进的模型，线性回归，灰色预测一、 问题重述B题：产品销量预测设有某种新产品要推向市场, t时刻的销量为由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t时刻产品销量与t有关。1， 设t时刻产品销量的增长率与成正比, 预测时的产品销量；2， 设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比, 预测时的产品销量；3， 试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预

4、测时的产品销量.一、 基本假设1、 假设所考虑因素为全部主要影响因素；2、 假设数据具有真实性；3、 假设未来几年里影响因素不会发生太大的变化；4、 假设建立模型所需要的初步预测具有可行性。二、 符号的约定xt表示t时刻的销售量；xt0表示t0时刻的销售量；N 产品销售的市场容量;dxdt表示t时刻产品销量的增长率；三、 问题的分析 此问题是在目前社会经济日益发展迅速，人们越来越重视经济发展的情况下提出来的。对于产品的销售人们也使用越来越注重视其方法以促进产品的销售。本文根据问题一：设t时刻产品销量的增长率与成正比, 预测时的产品销量；以及问题二：设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表

5、明与该产品的潜在容量成正比, 预测时的产品销量；利用所给关系，通过建立微分方程来求解。针对问题三：试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测时的产品销量。对于问题三本文我们以汽车销售为例。由于影响汽车销量的因素很多，比如国家政策导向、油价的浮动、汽车寿命、城市交通状况、GDP水平等等，因此针对如此之多的不确定因素，我们很难分别量化的给出各种因素对产品销量的影响，鉴于此文章采用灰色预测的方法来预测汽车的销量，具体分析在下文给出。四、 模型的建立与求解5.1模型一的建立与求解：5.1.1模型一的建立：针对问题一：设t时刻产品销量的增长率与成正比, 预测时的产品销量；建立微分方程如下： (5.1

6、)5.1.2模型一的求解：对（5.1）进行分离变量法，然后积分；求解得： （5.2）所以时刻的销售量为： （5.3）5.2模型二的建立与求解： 5.2.1模型二的建立：针对问题二：设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比, 预测时的产品销量；建立微分方程如下： （5.4）5.2.2模型二的求解：对于式（5.4）进行分离变量法得到，然后积分，可以得到解为： （5.5）式（5.4）恰好是logistic模型。由式（5.5）很容易得知： (5.6) (5.7)5.2.3模型的分析：从该模型的结果可以得出结论：1、 当时，销售量单调递增；2、 当时，此时为拐点；3、 当

7、时，此时增长速率递减；4、 当时，此时增长速率递增。这说明当销售量达到市场最大需求量N的一半时，产品为畅销时期，当销售量不足最大需求一半的时候销售速度不断增加；而当销量超过最大需求N的一半之后时，销量速度开始下降，此时商家应该考虑研究开发新产品或适时转产，以求不断达到市场的占有率，提高经济效益。研究与调查发现表明：许多产品的销售曲线都与logistic曲线十分相似，许多分析专家认为，在新产品推出的初期，应该采取小批量生产，并且加强广告宣传，而在用户达到20%到80%期间，产品应该大批量产，在用户超过80%之后应该转产。5.3模型三的建立与求解：本文我们以汽车销售为例。方法一：首先讲一个故事：一

8、则营销经典案例，是关于牙膏企业如何摆脱困境、扩大销售业绩的。一牙企对近几年的公司业绩感到不满，便召开全国经理级高层会议，以商讨对策。会议中，有名年轻经理站起来，对董事部说：“我手中有张纸，纸里有建议，若您要使用我的建议，必须付我5万元！” “好！”总裁接过那张纸，阅完后，马上签了一张5万元支票给那名年轻经理。那张纸上只写了一句话：将现有的牙膏开口扩大一毫米。这个决定，使该公司当年的营业额增加了32%。在现实中有许多其他影响产品销量的因素，除去问题二中所提到的潜在客户的影响，还有其他许多的影响，上面故事就是一个认为干预的一个因素。例如对于羽绒服的销量问题，它的销量会受到天气的变化影响，如果某个冬

9、天异常的冷，那么羽绒服销量一定会增多，而这个冬天很暖和的话销量一定会减少，另外羽绒服的寿命也是影响销量的一个因素。又例如打火机的销量，它的销量一会与抽烟人群数量的大小有关，与科技发展有关，因为如果不出现煤气灶、电饭锅等，人们将会更多的烧火；它也与天气有关，众所周知，天气炎热时打火机容易被烧爆，这样就会增加打火机的销量。还有许多其他的例子，在这里不在繁举。使用逻辑斯蒂模型对于描述产品增长还是过于简单，如实际中还要考虑到产品的使用寿命的问题，例如最典型的灯泡，使用寿命越短，就需要更多的产品用于更新，以补偿损耗掉的产品，达到市场平衡，计入这一因素，我们将对逻辑斯蒂模型进行改进得到其中代表产品自身的损

10、耗，表示产品的平均使用寿命。计入使用寿命，饱和产量或者说是最大销量就不是了，由上式，令得到此时的最大销售量为与问题二中方法相似，我们可以得到他的解，首先,分离变量得到左右积分得到整理得到其中为一常数。1. 当时，的值为2. 由于，所以产量是递增的，即是增函数。3. 当较大而较小时，将很大，于是，于是，近似于指数增大，销售速度不断增大。4. 当变大后，趋向于0，而分母趋向于1，此时销售速度开始下降，的值接近市场饱和值方法二：线性回归04到10年汽车销售量年份2004200520062007200820092010汽车销量50757672287993813641806增长率16%14%25%22%

11、7%46%32.40%04到10年汽车销售趋势图 从图中可以看出来汽车销售量随着时间不断的增加。2008年增长率变小时由于经济危机的影响。红色曲线表示4次多项式拟合 蓝色表示N次多项式拟合N此多项式拟合结果General model Fourier1: f(x) = a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)Coefficients (with 95% confidence bounds): a0 = 2088 (-1.077e+004, 1.494e+004) a1 = -1436 (-1.483e+004, 1.196e+004) b1 = -565.3 (-1997,

12、866.2) w = 0.2461 (-1.06, 1.552)Goodness of fit: SSE: 3.525e+004 R-square: 0.9728 Adjusted R-square: 0.9455 RMSE: 108.44次多项式拟合Linear model Poly4: f(x) = p1*x4 + p2*x3 + p3*x2 + p4*x + p5Coefficients (with 95% confidence bounds): p1 = 1.11 (-14.21, 16.43) p2 = -9.563 (-255.7, 236.5) p3 = 34.13 (-1317

13、, 1385) p4 = 47.73 (-2862, 2957) p5 = 426.6 (-1548, 2401)根据 Matlab四次多形式拟合模型得油价随时间的回归方程为：f(x) = 1.11*x4-9.563*x3 + 34.13*x2 + 47.73*x + 426.6根据此公式，当知道预测时间时，带入公式便可求得此时间段的汽车销量。此结果的分析及验证：根据 Matlab四次多形式拟合模型得汽车销量随时间的回归方程为的参数指标如下Goodness of fit: SSE: 1.147e+004 R-square: 0.9911 Adjusted R-square: 0.9734 RM

14、SE: 75.74据以上分析此模型拟合度符合要求，此模型合理并能很好的进行汽车销量的预测。方法三：利用灰色预测法预测汽车销量1.选取的数据时从04年至10年的汽车销量,时间序列初始值为：设原始数为=507,577,722,879,934,1364,18072.生成累加序列把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程。令称所得到的新数列为数列的1次累加生成数列。代入数据有=507,1084,1806,2685,3619,4983,66903.计算级比定义级比为：=0.477 =0.596 =0.670=0.740=0.725=0.744如果所有的级比都落在可容覆盖区间内，则数据列可以建立

15、GM(1,1)模型且可以进行灰色预测。建立GM（1.1）模型解为5.3.2模型三的求解：a和u可以通过如下最小二乘法拟合得到式中，Y为列向量Yx(0)(2)，x(0)(3)，x(0)(7)T；Y=557,722,879,934,1364,1807TB为构造数据矩阵：B=通过matlab计算得出a=-0.2376u=355.4599得到预测式子.1式=2073-1496在利用累减=通过计算得到以下数据=577=1132 由模型的得到的05年汽车销量为=555=1838 由模型的得到的06年汽车销量为=706=2732 由模型的得到的07年汽车销量为=894=3866 由模型的得到的08年汽车销量

16、为=1132=5305 由模型的得到的09年汽车销量为=1439=7128 由模型的得到的10年汽车销量为=1823=9441 由模型的预测的11年汽车销量为=2313由于没有找到11年全年的汽车销量所以11年的作为一个预测值=12375 由模型的预测的12年汽车销量为=2934=16095 由模型的得到的13年汽车销量为=3720=20813 由模型的得到的14年汽车销量为=4718=26796 由模型的得到的15年汽车销量为=5983六、模型检验模型5.3.1的检验：(1) 残差检验：计算相对残差通过计算得：=0, 0.038, 0.022, -0.017 , -0.212, -0.055

17、, -0.009如果对所有的，则认为达到较高的要求；否则，若对所有的，则认为达到一般要求。可以看到除了08年的数据外其余的都还算理想，由于08年出现金融危机，对汽车的销售有一定的影响，所以出现了误差较大的情况七、模型评价通过对该模型的检验，该模型能基本描述汽车市场的销量。不过该模型并未考虑经济市场的因素，尤其是类似08年金融危机那样的因素，所以也只能作为一个理想的模型考虑。还有汽车是属于使用时间比较长的商品，随着社会经济的不断发展，汽车的保有量会趋向与一个较为稳定的数值。类似于人口增长模型。汽车的年销售量也不可能无限之上升，所以该模型也只适用于短时间内的预测。八、参考文献1. 高等出版社 数学模型（第三版） 姜启源 谢金星 叶俊 编2. 哈尔滨工业大学出版社 数学建模 么焕民 孙秀梅 孟凡友 编著3. 灰色模型讲义附录矩阵计算程序>> B=-785.5 1;-1425 1;-2025.5 1;-3132 1;-4281 1;