线代各章小结by华理自强社

1、第一章1.6.1 内容框图矩阵的定义矩阵的逆矩阵的分块矩阵的初等变换矩阵的运算1.6.2 基本要求（1） 理解矩阵的概念，掌握常用的特殊矩阵及性质。（2） 熟练掌握矩阵的线性运算，乘法运算，转置运算及其运算规律。（3） 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及求逆矩阵的方法。（4） 了解分块矩阵及其运算。（5） 熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质及其与初等变换的关系，知道矩阵的标准分解。 1.6.3 内容概要1） 矩阵的概念矩阵是一个由mn个元素构成的元素表，常用方括号或圆括号记为A=或 A=本书中的矩阵一般都是指实数矩阵。2） 特殊矩阵特殊矩阵包括方阵、对称阵，反对称阵，上三角阵，下三角

2、阵，对角阵，数量阵，单位阵，列矩阵，行矩阵，零矩阵等。他们之间具有如下的从属关系 3） 矩阵的运算（1） 加法：设 ，（2） 数乘：设；（3） 乘法：设，则，其中注 两矩阵可乘的条件：左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数。（4） 转置：设 A=，则 称为A的转置阵，记为。（5） 运算规律：A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C);.(AB)C=A(BC); ;A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; (k,l为正整数)以上所有运算必须关于加法，乘法可行。注1 矩阵的乘法不满足交换律，即一般情况下ABBA,由此得到式子都未必成立，但上述三个式子在AB=BA的条件下都成立，例如：

3、 注2 矩阵乘法不满足消去律，即一般情况下，若AB=AC不能得到B=C.由此可知若 不能得到A=O,或A=I, 若也不能得到A=O，但在A可逆的条件下，由AB=AC必成立B=C思考：当A可逆时，若AB=CA能推出B=C吗？4) 可逆矩阵（1）概念：设矩阵A,B满足AB=BA=I ，则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵，记为.注1 可逆矩阵必为方阵。注2 若A可逆，其逆必唯一，故A的逆矩阵记作，即有A=A=I（2）性质：若A可逆，则,均可逆，且;若A可逆，数，则kA可逆，且;若A,B是同阶可逆阵，则AB可逆, =.注 若A,B为同阶的可逆矩阵，A+B不一定可逆（3）判别方法利用定义: 若AB=BA

4、=I,则必有A可逆,且;利用初等矩阵:若A可分解为有限个初等矩阵,则A可逆.(4)求法利用初等变换或注 对 只能用行初等变换.对 只能用列初等变换。利用分块矩阵凑法:当条件中只有矩阵方程时,通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出的形式,从而可得=B,这一方法适用于抽象矩阵求逆. 5)矩阵的分块（1）概念:对矩阵A 用若干条横线和若干条纵线分割成的矩阵称为分块矩阵,其中每个元素是以小矩阵构成的块.（2） 特殊分块法及其作用:将A 按列分块,其中是A的第j列(j=1,2,n)，则(j=1,2,n) 其中为单位阵的第j列。将A 按行分块，其中为A的第i行，则A=,(i=1,2,m)其中为单位阵的第i列.注

5、 由 可得到 将 列分块，则 的计算也可转化为方程组（i=1,2,n）的求解问题。 将A分成块对角阵则则 其中假设 都可逆。6） 初等变换与初等矩阵（1） 矩阵A的初等变换有如下三类：第一类：将A的第i行（列）与第j行（列）对换，记作第二类：以非零常数乘A的第i行（列），记作第三类：将A的第i行（列）的k倍加到第j行（列）上去，记作（）初等矩阵是单位阵I经过一次初等变换后得到的矩阵；其中（）初等变换与初等矩阵之间的关系：初等矩阵左（右）乘A,相当于对A进行一次相应的初等行（列）变换，例如:注:若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B，则称A与B等价，此时必成立等式 ，其中与均为初等矩阵。注2:对矩

6、阵A进行第二类初等变换时，乘上的数必须为零；对矩阵A进行第三类初等变换时，只有原矩阵A中的第j行变化了，为A的第j行加上A的第i行的k倍，其余行不变，如,则 ，而不是 。注3:初等矩阵都是可逆阵，且成立第二章2.6.1 内容框图行列式的定义行列式的性质行列式的计算行列式的应用2.6.2 基本要求（1） 会用对角线法则计算二阶和三阶行列式。（2） 了解n阶行列式的定义。（3） 知道行列式的性质。（4） 掌握计算行列式的方法。（5） 掌握克莱姆法则。2.6.3内容提要1） 行列式的定义一阶行列式，设n-1阶行列式已经定义，则n阶行列式定义为其中为的余子式，为的代数余子式。注1 一阶行列式。注2 行

7、列式是方阵A对应的一个数，用记，不同阶行列式可能不同，如 但不同阶矩阵必不相同。2） 特殊行列式的值(1)上三角行列式：(2)下三角行列式：(3)对角行列式：(4) (5) (6) (7) 范德蒙行列式： 其中为连乘积的符号。3） 行列式的性质（1） 方阵A的行列式与其转置的行列式相同，即注 所有队列成立的行列式性质，对行也成立。（2）互换行列式中两列（或行）的位置，行列式变号推论 如果行列式的两列（或行）相同，则行列式为零。（3）某数乘行列式，等于用数乘它的某一列（或行）的所有元素，即 (*)其中 为 的列向量。 注 在(*)式的右端,数只能乘某一列(或行),其余列(或行)不变.推论1 数乘

8、方阵A的行列式等于乘A的行列式,即推论2 如果行列式的一列(或行)为零,则行列式为零.推论3 如果行列式的两列(或行)对应成比例,则行列式为零.(4)A的行列式中某一列(或行)可分成两个向量之和,则A的行列式等于分别由这两个列(或行)向量取代 中这一列(或行)构成行列式之和,即注 式(*)称为行列式的加法性质.推论 将行列式的某一列(或行)的任意*倍加到另一列(或行)上去,行列式不变.(5) 对于方阵A的行列式,有(6)设A,B为n阶方阵,为A的伴随矩阵,为A的逆矩阵,有 (7)设A为n阶方阵,B为m阶方阵,有注1 数乘的结果为用数乘A的每一个元素,而的结果为用数乘A的某一行或某一列的行列式值

9、,如,应为注2 A+B为同维矩阵对应元素相加而成,但式子 一般不成立,例如而不是 注3 性质4的推论是计算行列式的有效工具,即若则,其中中的第i行仍为中的第i行,中的第j行为中的第j行加上中的第i行的k倍.如, 而不是几次运算一起做时时应注意次序,如而不是；4)行列式的计算(1)利用行列式的定义计算.(2)利用行列式的性质直接计算.(3)利用行列式的性质化为上(下)三角行列式计算.(4)利用递推法计算.(5)利用范德蒙行列式计算.注 计算行列式一般是利用行列式的性质,化原行列式为特殊行列式计算,或由递推公式计算.5)行列式的应用(1)n阶方阵A为可逆阵的充分必要条件是,此时,有逆阵公式 (*

10、* *)其中为A的伴随阵,为的代数余子式.注1(*)式由公式导出,其具有一定的理论价值.注2 (2)克莱姆法则对于线性代数方程组Ax=b当时,方程组有唯一解,其中为用右端列b取代A的第i列所得到的行列式.特别,当时,Ax=0只有零解;要使得齐次线性方程组Ax=0有非零解,必须.第三章3.4.1 内容框图矩阵的秩齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组3.4.2 基本要求（1）知道矩阵的概念，掌握矩阵秩的计算方法。（2）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。（3）理解非其次线性方程组有解的充分必要条件。（4）熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。3.4.3内容概要1)秩的定义设矩阵A中有

11、一个不等于零的r阶子式，且所有的r+1阶子式（如果有的话）全等于零，称r为矩阵A的秩，记为r(A)=r.注 若A有r阶子式非零，则 ；若A的所有r+1阶子式全为零，则。2）秩的性质(1) (2) (3) ;(5)设A为方阵，则(6)初等变换不改变矩阵的秩，即若则(7)矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A可逆时，有3)秩的求法（1） 用定义；（2） 用初等变换；（3） 用性质。（4） 齐次线性方程组齐次线性方程组（1） 齐次线性方程组有解的条件：x=0为Ax=0的平凡解；当（变量个数）时，只有零解；当（变量个数）时，有含个参数的无穷多个解。注有非零解.(2)齐次线性方程组解的求法：将系数矩

12、阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。(3)解的性质：若为的解，则仍为的解，其中为任意常数。5）非齐次线性方程组非齐次线性方程组(1) 非齐次线性方程组有解的条件：当（变量个数）时，方程组有唯一解；当（变量个数）时，方程组有含个参数的无穷多个解；当时，方程组无解。(2) 非齐次线性方程组解的求法：将增广矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。(3) 解的性质：若为的解，则为其导出方程组的解。注 为的一个解，而不再时的解。注1:当A为n阶方阵时，满足（初等矩阵乘积）注2: 求解非齐次方程组，在时，可用(1) 克莱默法则；(2) 逆矩阵法(3) 初等变换法注3: 解矩阵方程在A可逆时，可用;(

13、2).解矩阵方程在A可逆时，可用.注4: 带参数的线性方程组解的讨论尤为重要，在初等行变换时应尽可能用数字去消参数，避免参数出现在分母上，因为参数的取值可能导致分母为零。第四章4.6.1内容框图向量向量组向量的内积向量空间线性相关性最大无关组与向量组的秩基和维数基础解系规范正交基4.6.2基本要求(1)理解n维向量的概念。(2)理解线性表示，线性相关，线性无关的定义。了解有关的重要性。(3)理解向量组的最大无关组与秩的概念，并会求向量组的最大无关组与秩。(4)了解向量组等价的概念，向量组的秩与矩阵的秩的关系。(5)知道向量空间，子空间，生成空间，基和维数等概念。(6)了解正交向量与规范正交基的

14、概念，会用施密特正交化方法，了解正交矩阵的概念与性质。(7)了解齐次线性方程组的基础解系，知道线性方程组解的结构。4.6.3内容概要1)线性表示，线性相关性及线性组的关系(1)可由线性表示线性方程组有解矩阵的秩等于矩阵的秩(2)线性相关齐次线性方程组有非零解矩阵的秩小于m.(3)线性无关齐次线性方程组只有零解矩阵的秩等于m.2)向量的线性相关性的有关结论(1)仅含一个向量的向量组线性相关.(2)任何含有零向量的向量组必线性相关。(3)含线性相关部分组的向量组必线性相关，即线性无关向量组的任一部分组必线性无关。(4)线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关，即线性相关向量组的各向量减少分量后

15、仍线性相关。(5)任意m个n维向量，当时必线性相关。(6)向量组线性相关中至少有一个向量可由其余向量线性表示。(7)向量组线性无关，而线性相关可由线性表示，且表达式唯一。(8)若向量组线性无关，且可由向量组线性表示，则。(9)不含零向量的正交向量组必线性无关。3)向量组的最大无关组与秩(1)性质：线性无关向量组的最大无关组即为其本身。向量组与其任一最大无关组等价。向量组的任意两个最大无关组等价。等价向量组等秩，但其逆不成立。若向量组的秩为r，则其中任意r个线性无关的向量都构成它的一个最大无关组。对任一矩阵A，A的秩，A的列向量组的秩，A的行向量组的秩，三者相等。(2)计算：将向量组中各向量作为

16、矩阵A的列。对A进行初等行变换化为行阶梯形阵；在每个阶梯上取一列；则对应的向量所构成的向量组即为最大无关组，而A的秩即为向量组的秩。4)正交矩阵：(1)A为正交阵的定义是：A满足(2)A为正交阵A的列（行）向量组为规范正交向量组。(3)正交阵性质：若A为正交阵，则，且均为正交阵，若B也为正交阵，则AB也是正交阵。5)齐次线性方程组的解空间若有非零解，则其全体解构成的向量空间称为的解空间，记作.(1)的一个基础解系即为的一组基，故基础解系不唯一。(2) 的每一个基础解系所含向量个数即为是固定的。(3)若已知是的一个基础解系，则从而的通解其中为任意常数。第五章5.6.1内容框图矩阵的特征值与特征向

17、量矩阵的对角化实对称阵对角化5.6.2基本要求(1)理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，并掌握其求法。(2)了解相似矩阵的概念与性质，知道矩阵可对角化的充要条件，会将实对称矩阵正交对角化。5.6.3内容概要1)特征值与特征向量(1)概念：设A是n阶方阵，满足的数称为A的特征值，x为对应的特征向量，行列式为A的特征多项式.(2)求法：方程的所有根，即为A的全部特征值。齐次方程组的任一非零解即为对应于的特征向量，一般取基础解系。(3)性质：设n阶方阵A的n个特征值为，则有属于不同特征值的特征向量线性无关。A可逆A没有零特征值。特征值的几何重数与代数重数m满足若是方阵A的特征值，x是对应的特征向

18、量，k为常数，m为正整数，则及分别是矩阵及的特征值，而x是对应的特征向量。A与有相同的特征值，但特征向量未必相同。2)矩阵对角化(1)相似矩阵的性质：若即A相似与B，则有,从而A和B有相同的特征值(2)n阶矩阵A可对角化的条件：A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。若A有n个互不相等的特征值，则A可对角化。A可对角化的充要条件是对A的任一特征值，有(3)实对称矩阵的正交对角化：设A是实对称矩阵，则有A的特征值都是实数。A的任一特征值均有A的不同特征值对应的特征向量必正交。由可得，实对称矩阵A可正交对角化，即A正交相似于与一实对角阵，即存在正交阵Q，使成立，其中是A得特征值。(4)将A对角化方法：求出A的所有特征值，其中互不相等的特征值为若A可对角化，则k重特征值必对应k个线性无关的特征向量，求出每一个齐次方程组的基础解系，合