椭圆、双曲线、抛物线综合测试题

1、椭圆、双曲线、抛物线综合测试题一 选择题 （本大题共 12 小题， 每题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）y2x22) ，则双曲线的离心率为 ( ).1 设双曲线1 的一个焦点为 (0,m2A2B 2C6D2 22椭圆x2y21 的左、右焦点分别为F1 , F2 ，一直线经过F1 交椭圆于 A 、 B 两点，则167ABF 2 的周长为（）A32B16C8D43两个正数 a 、b 的等差中项是5 ，等比中项是6 ，则椭圆 x2y21的离心率为 （）2a2b2A3B13C5D132334设 F1 、 F2 是双曲线 x2y21的两个焦点， P 是双曲线上

2、的一点，且3|PF1 |=4| PF2|，24则 PF1F2 的面积为（）A42B83C24D485P 是双曲线 x2y2=1 的右支上一点， M 、N 分别是圆 ( x5) 2y21 和 (x5)2y2 =4916上的点，则 | PM| PN |的最大值为（）A 6B7C8D96已知抛物线 x24y 上的动点 P 在 x 轴上的射影为点M ，点 A(3,2)，则| PA|PM |的最小值为（）A101B102C101D10 27一动圆与两圆 x2y 21和 x2y28x120 都外切，则动圆圆心的轨迹为（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线8x2y21(a0, b0) 的焦点到渐近线的距离等于实轴长

3、，则双曲线的离心若双曲线2b2a率为（）高中数学A2B3C5D29 抛物线 yx2 上到直线 2xy0 距离最近的点的坐标（）A3 , 5B(1,1)C243 , 9D(2, 4)24x2y21 (ab0) 的半焦距，则bc 的取值范围（）10 已知 c 是椭圆b2a2aA(1, )B(2,)C(1,2)D(1,211 方程 mxny20 与 mx2ny21 (m0, n0, mn) 表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（）yyyyoxoxoxoxABCD12 若 AB 是抛物线y22px ( p0) 的动弦，且 | AB |a( a2 p) ，则 AB 的中点 M 到 y轴的最近距离是（）A1

4、a2B1p21 1Cap2 211Da p22二 填空题 （本大题共4 个小题，每小题5 分，共 20 分 . 把答案填写在题中横线上）13设 F1 、 F2 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且F1PF2 =60 o ，S PF F =12 3 ，离心率为 2，则双曲线方程的标准方程为1214x2y2x2y2R , mn) ，有共同的焦点F1 、已知椭圆1 与双曲线1 (m, n, p, qmnpqF2 ，点 P 是双曲线与椭圆的一个交点，则|PF1|?|PF2|=15已知抛物线 x22 py ( p0) 上一点 A (0, 4) 到其焦点的距离为17 ，则 p =4x2y 22

5、 的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为16 已知双曲线=1 aa223三 解答题 （本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（ 10 分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：高中数学 焦点在 x 轴上，虚轴长为 12，离心率为5 ；4 顶点间的距离为 6，渐近线方程为 y3x .218（12 分）在平面直角坐标系中，已知两点A( 3,0) 及 B(3,0) 动点 Q 到点 A 的距离为10，线段 BQ 的垂直平分线交AQ 于点 P求 |PA|PB |的值；写出点 P 的轨迹方程x2y21(a b 0) 的左、右焦点分别为F1 、 F2 ，过右焦点 F2 且

6、与19（ 12 分）设椭圆2b2ax 轴垂直的直线 l 与椭圆相交，其中一个交点为 M ( 2,1) 求椭圆的方程；设椭圆的一个顶点为B(0, b) ，直线 BF2 交椭圆于另一点N ，求F1BN 的面积20（ 12 分）已知抛物线方程x24 y ，过点 P(t, 4) 作抛物线的两条切线PA 、 PB ，切点为 A、B求证：直线AB 过定点 (0, 4) ；求OAB （ O为坐标原点）面积的最小值21 （ 12 分）已知双曲线x2y21(a0, b0) 的左、右焦点分别为F1、 F2，点 P 在a2b2双曲线的右支上，且|PF1|=3|PF2 |求双曲线离心率e 的取值范围，并写出e 取得最

7、大值时，双曲线的渐近线方程；若点 P 的坐标为 ( 410, 310) ，且 PF1 ? PF2=0，求双曲线方程5522（ 12 分）已知O 为坐标原点，点F、T、M、P满足OF=(1,0)， OT( 1,t ) ，1FM MT ，PM FT，PTOF11求当 t 变化时，点 P1 的轨迹方程；若 P2 是轨迹上不同于P1 的另一点，且存在非零实数使得 FP1FP2 ，高中数学求证：11=1.|FP1|FP2 |参考答案1A提示：根据题意得c2a2b2 = m2 =4， m =2 ， eca2b2=aa21b222 故选 Aa21=22B提示：ABF2 的周长 = | AF1 | AF2 |

8、+| BF1 | BF2 |= 4a =16.故选 B 3C 提示：根据题意得a b5，解得 a 3， b2， c =5 ， ec =5 ab6a34C 提示： P 是双曲线上的一点，且3 | PF1 |=4| PF2 |，| PF1 | | PF2 |=2 ，解得 | PF1|=8， | PF2 | =6 ，又 | F1F2 | = 2c =10 ，yPF1F2 是直角三角形，S PF1F2 =186=24.故选 CPMN25 D提示：由于两圆心恰为双曲线的焦点，|PM | PF1 |+1，F 1 OF 2x|PN | |PF2| 2，2 题图|PM | |PN |PF1 |+1（ |PF2

9、 | 2）= | PF1 | | PF2 |+3= 2a +3=9.6A 提示：设 d 为点 P 到准线 y1的距离， F 为抛物线的焦点，由抛物线的定义及数形结合得， | PA | PM | = d 1+| PA |= | PA | +| PF | 1 | AF | 1= 101故选 A 7C 提示：设圆x2y21的圆心为 O (0,0) ，半径为1，圆 x2y28x120 的圆心为O1 ( 4,0) ， O 为动圆的圆心，r 为动圆的半径，则| O O1 | O O |= (r2)(r1) =1，所以根据双曲线的定义可知故选C高中数学8C提 示 ： 设 其 中 一 个 焦 点 为 F (c

10、,0)， 一 条 渐 近 线 方 程 为 ybx ， 根 据 题 意 得a|bc |ca2b2b2a= 2a ，化简得 b2a ，e=a2= 1=14=5故b2aa1a选 C9 B 提 示 ： 设 P( x, x2 ) 为 抛 物 线 yx2 上 任 意 一 点 ， 则 点 P 到 直 线 的 距 离 为d| 2x x24 | = | ( x1)23 | ，当 x1时，距离最小，即点P (1,1)故选 B5522c2 b2c2b2c2 =2，则 b10 D 提示：由于bcb2bcc 2 ，aa2a2a又 bc a ，则 bc 1. 故选 Da11 C 提示：椭圆与抛物线开口向左12 D 提示：

11、设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 ) ，结合抛物线的定义和相关性质，则 AB 的中点 M 到 yp|BF |p轴的距离为 x1|AF|2 =p ，显然当 AB 过焦点时，x2 =2|AF |BF|222其值最小，即为1 a 1 p 故选 D22二填空题13x2y2x2y 21， ec41提示：设双曲线方程为b22 ， c 2a 12a2aS PF1 F2=12 3 ， | PF1 |× | PF2 |=48.2c2| PF1 |2+| PF2 |2-2 | PF1 | | PF2 | cosF1PF2 ，解得 c216 ， a2 =4 ， b2 =12.14 m

12、p 提 示 ： 根 据 题 意 得|PF1|PF2|2mp ，|PF1|PF2|2， 解 得 | PF1 | mp| PF2 | mp | PF1 | ?| PF2 | = m p 151提示：利用抛物线的定义可知4 (p ) =17 ， p = 1 2242高中数学162 3提示：根据题意得23， a6 ， c2 2 ， ec23 3a3a3三解答题17 解：因为焦点在x2y21(a0, b0)，x 轴上，设双曲线的标准方程为b2a2a2b2c2x2y22b12 ，解得a 8 ， b6 ， c10 ，双曲线的标准方程为16436c 5 a 4设以 y3 x 为渐近线的双曲线的标准方程为x2y

13、2，249 当0时，24=6，解得9，此时所求的双曲线的标准方程为x2y2491；814 当0时， 29=6，解得1y 21，此时所求的双曲线的标准方程为x29418 解： 因为线段 BQ 的垂直平分线交AQ 于点 P， | PB |=| PQ |，|PA|PB |=| PA|+|PQ |=| AQ |=10；由知 | PA | PB |=10（常数），又 | PA | PB |=106= | AB |，点 P 的轨迹是中心在原点，以 A, B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中2a10,2 c 6，所以椭圆的轨迹方程为 x2y21 2516211 ，解得a24 ，19 解： l x 轴， F

14、2 ( 2,0) ，根据题意得a2b22a2b22b2x2y2所求椭圆的方程为：1 42高中数学 由可知 B(0,2) ，直线 BF2 的方程为 yx2 ，yx2x2y2，142解得点 N 的纵坐标为2 ， S F1BN = S F1F2NS F1BF2 =1(22 )2 2 =8 323320 解：设切点A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，又 y1x ，1 x1( x21 x1 x则切线 PA 的方程为： yy1x1 ) ，即 yy1 ；22切线 PB 的方程为：yy21 x2 (x x2 ) ，即 y1 x2 xy2 ，又因为点 P(t ,4) 是切线22PA 、 PB 的

15、交点，41 x1ty1 ，41 x2ty2 ，2121过 A 、 B 两点的直线方程为4y ，即y40 ，txtx22直线 AB 过定点 (0, 4) 1 txy402tx16 =0， x1x22t ， x1 x216 由 2x2，解得 x24yS OAB=14| x1x2 |=2(x1x2 )24 x1 x2=24t6416.2当且仅当 t0 时，OAB （O为坐标原点）面积的最小值21 解： | PF1 | | PF2 |= 2a ， | PF1 |=3| PF2 | ， | PF1 |=3 a ， | PF2 |= a ，由题意得 | PF1|+ | PF2 | | F1 F2 | ，

16、4 a 2 c ， c 2，又因为 e1 ，双曲线离心率 ea的取值范围为 (1,2 故双曲线离心率的最大值为2. PF1 ? PF2 =0， | PF1 |2+|PF2|2= 4c2 ，即 10a24c2 ，即 b23a2 ，2431609016060又因为点 P在双曲线上，2525(10, 10)a2b2=1，a2a2 =1，55解得a24 ， b26，所求双曲线方程为；x2y2=1.a2b222 解设 P1( x, y) ， 则 由 FMMT得点M是线段 FT中 点 ， M (0, t ) ， 则t2PM1= (y) ，又因为 FT = (2, t ) ， PT1= (1x, t y) ，x,2高中数学 PM1 FT ， 2xty)0 ，t(2 PT1OF ，( 1x) ? 0(ty) ?1=0，即 ty由 和消去参数得y24x 证明：易知 F (1,0) 是抛物线 y24x 的焦点，由 FP1FP2 ，得 F 、 P1 、 P2 三点共线，即PP为过焦点 F的弦12当 P1 P2 垂直于 x 轴时，结论显然成立；当P P不垂直于 x 轴时，设P ( x , y )P