(word完整版)2019年高考真题数学(江苏卷含答案),推荐文档

1、3下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 2019 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时 间为 120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5如需作

2、图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：样本数据X1,X2，,Xn的方差S21x X2，其中X - Xini 1ni 1柱体的体积 VSh,其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的咼.锥体的体积V1Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的咼.3一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上.1 已知集合A 1,0,1,6,B x|x 0,XR，则AI B.2已知复数(a 2i)(1 i)的实部为 0,其中i为虚数单位，则实数 a 的值是 .4函数y 7 6x x2的定义域是.5.已知一组数据 6, 7, 8, 8, 9

3、, 10,则该组数据的方差是.6从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是.27.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2每1(b 0)经过点(3, 4)，则该双曲线的b渐近线方程是.&已知数列an( n N*)是等差数列，Sn是其前 n 项和若a?a5a*0,S927,则S*的 值是 .AiBiCiDi的体积是 120, E 为CCi的中点，则三棱锥 E-BCD 的体积是 9如图，长方体ABCD10在平面直角坐标系xOy中，P 是曲线y x -(x 0)上的一个动点，则点P 至煩线xx+y=0 的距离的最小值是.1

4、1.在平面直角坐标系xOy中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(-e,-1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是厶12.如图，在AABC中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA, AD 与 CE 交于点O.14.设f(x), g(x)是定义在 R 上的两个周期函数，f (x)的周期为4,g(x)的周期为 2,且f (x)是奇函数.当x (0,2时，f (x). 1 (x 1),g(x)k(x 2),0 x 11,-,1 x 22其中 k0若在区间(0，9上，关于 x 的方程f(x) g(x)有 8 个不同的实数根，则 k 的 取值范围是

5、.二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 14 分)在厶 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 2(1) 若 a=3c, b= 2 , cosB=，求 c 的值；3sin A cosB(2) 若，求sin(B -)的值.a 2b216.(本小题满分 14 分)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D , E 分别为 BC, AC 的中点，AB=BC.求证：(1) A1B1/ 平面 DEC1；UJUUULT若AB ACuuu6AOUJUEC,则AB的值是AC13.已知t

6、antan-，则sin 2-的值是 34(2)BE 丄 C1E.17.(本小题满分 14 分)2 2 2F2(1, 0).过 F2作 x 轴的垂线 I，在 x 轴的上方，I 与圆 F2：(X1) y 4a交于点 A，与椭圆 C 交于点 D连结 AF1并延长交圆 F2于点 B，连结 BF2交椭圆 C 于点 E, 连结 DF1.已知 DF1=5.2(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求点 E 的坐标.18.(本小题满分 16 分)如图，一个湖的边界是圆心为 O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖上有桥 AB( AB是圆 O 的直径).规划在公路 I 上选两个点 P、Q,并修建两段直线型道路

7、 PB、QA.规 划要求：线段 PB、QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.已知点 A、B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD (C、D 为垂足)，测得 AB=10, AC=6, BD=12 (单位:百米).(1)若道路 PB 与桥 AB 垂直，求道路 PB 的长；如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C:2x2a2右1(ab 0)的焦点为F(-4、),(2)在规划要求下，P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路 PB 和 QA 的长度均为 d (单位：百米)求当 d 最小时，P、Q 两点间的距离.19.(本小题满分 16 分)设

8、函数f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R、f(x)为 f (x)的导函数.(1) 若 a=b=c, f (4) =8，求 a 的值；(2) 若 a丰b, b=c,且 f (x)和 f(x)的零点均在集合3,1,3中，求 f (x)的极小值；4(3)若a 0,0 b, 1,c1，且 f (x)的极大值为 M，求证：M .2720.(本小满分 16 分)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M-数列”.*(1)已知等比数列an(n N )满足：a?a4a5,a34a?4a40,求证 澈列an 为“ M 数列”；1求数列bn的通项公式；2设 m 为正整数，若存在“ M 数列”

9、 cn(n N*)，对任意正整数 k,当 k2.【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.ab.3，其中 a,b N*，求 a23b2的值.23.(本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，设点集An(0,0),(1,0),(2,0),(n,0)Bn(0,1),(n,1),Cn(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2), n N .令MnAnU BnU C.从集合 Mn中任取两个不同的点，用随机变量 X 表示它们之间的距离.(1 )当 n=1 时，求 X 的概率分布;22.(

10、本小题满分 10 分)设(1 x)na0a1x2a2xn*a.x , n-4, n N.已知2a32a2a4.(1 )求门的值；(2)设(1 x3)n2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I答案、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法 每 小 题 5 分 ， 共 计 7 0 分 .571.1,62.23.54.1,75.-6.7.y -2x3108.169.1010.411.(e, 1)12.313.-114.-辽J1034二、解答题15本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力满分 14 分.解：（1）因为a 3c, b3

11、sin Acos B（2）因为a2b由正弦定理ab得cosBsin B，所以cosB2s inBsin Asin B2bb从而cos2B (2sinB)2,2即cos B24 1 cos B，故cos2B单516本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力满分 14 分.证明：（1）因为 D , E 分别为 BC, AC 的中点, 所以 ED / AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB / A1B1,由余弦定理cos B2 2 , 2a c bac(3c)2c2(迈)23c c，即c2因为sinB 0，所以cosB 2sinB0，

12、从而cos B因此sinBncosB所以c所以 A1B1/ ED.ii5将 x=i 代入圆 F2的方程(x-i)2+y2=i6，解得 y= 4.因为点 A 在 x 轴上方，所以 A(i, 4).又 Fi(-i , 0)，所以直线 AFi： y=2x+2.由；x2x 2i)2y2i6，得5x26x11 0,解得xii代入2x 2，得i2T，又因为 ED?平面 DECi, A1B1平面 DECi, 所以 AiBi/平面 DECi.(2)因为 AB=BC, E 为 AC 的中点，所以 BE 丄 AC.因为三棱柱 ABC-AiBiCi是直棱柱，所以 CCi丄平面 ABC. 又因为BE?平面 ABC，所

13、以 CCi丄 BE.因为 CiC?平面 AiACCi, AC?平面 AiACCi, CiCnAC=C, 所以BE 丄平面 AiACCi.因为 CiE?平面 AiACCi,所以 BE 丄 CiE.i7.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力满分 i4 分.解：(i)设椭圆 C 的焦距为 2c.因为 Fi( i , 0), F2(i , 0)，所以FiF2=2, c=i.5又因为 DFi=, AF2丄 x 轴，所以2DF2=DFi2FiF225)222因此 2a=DFi+DF2=4,从而a=2.由

14、 b2=a2-c2，得 b2=3.因此，椭圆 C 的标准方程为(2 )解法一:x2由(i)知，椭圆 C:4i,a=2,因为 AF2丄 x 轴，所以点 A的横坐标为 i.因此B（11J5).又F2(1 ,0), 所以直线BF2：y|(x1).3“1)y-(x由242得7x26x130, 解得x1或x13xy1743又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以X 1.333将x 1代入y (x 1)，得y -.因此E( 1,-).422解法二：x2由（1）知，椭圆 C:4因为 BF2=2a, EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB, 从而/ BF1E= / B.因为 F2A=F2B,所以/ A=

15、 / B, 所以/ A= / BF1E，从而 EF1/ F2A.因为 AF2丄 x 轴，所以 EF1丄 x 轴.X 13因为F1（-1, 0），由x2y2，得y -.12433又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以y.23因此E( 1,).218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分 16 分.解：解法（1）过 A 作AE BD，垂足为 E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，DE BE AC 6, AE CD 8因为 PB 丄 AB,所以cos PBD sinABE 4105.1如图，连结 EF1

16、.因此道路 PB 的长为 15 （百米）（2）若 P 在 D 处，由（1）可得 E 在圆上，则线段 BE 上的点（除 B, E）到点 O 的距离均小于圆 O 的半径，所以 P 选在 D 处不满足规划要求若 Q 在 D 处，连结 AD，由（1）知AD .ED 10，所以线段 AD 上存在点到点 O 的距离小于圆 O 的半径.因此，Q 选在 D 处也不满足规划要求综上，P 和 Q 均不能选在 D 处.（3）先讨论点 P 的位置.当/ OBP 90 时，对线段 PB 上任意一点 F , OF 俎 B,即线段 PB 上所有点到点 O 的距离均 不小于圆 O 的半径，点 P 符合规划要求设R为 I 上一

17、点，且RB AB，由（1）知，RB=15,3此时PD PBsin PBD PB cos EBA 15 9;5当/ OBP90 时，在PPB中，PB PB 15.由上可知，d 15.再讨论点 Q 的位置由（2 ）知，要使得 QA 15 点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求 当 QA=15 时,CQ QA2AC2. 152623、21.此时，线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于所以PBBDcos PBD12a15.从而cos BAD2 2 2AD AB BD2 AD AB7250,所以/ BAD 为锐角.综上，当 PB 丄 AB，点 Q 位于点 C 右侧，且 CQ=321时，d

18、 最小，此时 P, Q 两点间的距离PQ=PD+CD + CQ=17+3 21.因此，d 最小时，P, Q 两点间的距离为 17+3 21(百米)解法二：(1)如图，过 0 作 0H 丄 I，垂足为 H.以 0 为坐标原点，直线 0H 为 y 轴，建立平面直角坐标系.因为 BD=12, AC=6，所以 0H=9，直线 I 的方程为 y=9，点 A, B 的纵坐标分别为 3, -3.因为 AB 为圆 0 的直径，AB=10，所以圆 0 的方程为 x2+y2=25.3从而 A ( 4, 3), B (-4, -3)，直线 AB 的斜率为.4因为 PB 丄 AB，所以直线 PB 的斜率为所以 P (

19、-13, 9),PB ( 13 4)2(9 3)215.因此道路 PB 的长为 15 (百米)(2)若 P 在 D 处，取线段 BD 上一点 E (-4, 0),则 EO=45，所以 P 选在 D 处不满足规 划要求若 Q 在 D 处，连结 AD，由(1)知 D (-4, 9),又 A (4, 3),3所以线段 AD:y x 6( 4剟x 4).4在线段 AD 上取点 M (3,15)，因为0M , 321 5. 32425,4V 4所以线段 AD 上存在点到点 0 的距离小于圆 0 的半径.因此 Q 选在 D 处也不满足规划要求 综上，P 和 Q 均不能选在 D 处.直线 PB 的方程为y2

20、53此时f(x) (x 3)(x 3)2,f(x)3(x 3)(x 1)(3)先讨论点 P 的位置.当/ OBP90 寸，对线段 PB 上任意一点 F , OF RB,即线段 PB 上所有点到点 0 的距离均 不小于圆 0 的半径，点 P 符合规划要求设R为 I 上一点，且RB AB，由(1)知，RB=15，此时 R (-13, 9);当/ OBP90 时，在PRB中，PB RB 15.由上可知，d 15.再讨论点 Q 的位置由(2)知，要使得 QAM5，点 Q 只有位于点 C 的右侧，才能符合规划要求当 QA=15 时，设Q(a, 9),由AQ ,. (a 4)2(9 3)215(a 4)，

21、得 a=4 3一21，所以 Q(4 3 21,9)，此时，线段 QA 上所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径.综上，当 P (- 13, 9), Q (4 3 21, 9)时，d 最小，此时 P, Q 两点间的距离PQ 4 3何(13)17 3何.因此，d 最小时，P, Q 两点间的距离为17 21(百米)19 本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力满分 16 分.解：(1)因 为a b c,所以f (x) (x a)(:x b)(x c) (x3a)因为f(4)8，所以(4 a)38，解得a 2(2) 因为bc,所以f(x)2(x

22、 a)(x b) x32(a 2b)x2b(2a b)x ab,从而f(x)3(x b) x-令f(x)0,得x b或x2a b332a b因为a,b,旦卫，都在集合 3,1,3中，且a b,32a b所以2-b1,a 3,b33272 b2b1 (b 1)b(b 1)9令f(x)0，得x 3或x 1列表如下:x(,3)3(3,1)1(1,)f(x)+00+f (x)Z极大值极小值Z所以f(x)的极小值为f(l) (1 3)(1 3)232.32(3)因为a 0,c1，所以f(x) x(x b)(x 1) x (b 1)x bx,f(x) 3x22(b 1)x b.因为0 b 1，所以4(b

23、1)212b(2 b 1)230,则f(x)有 2 个不同的零点，设为x1,x2x2.由f(x) 0，得x, 口必L一b b 1.33列表如下:x(,xjX1EKX2(X2,)f(x)+00+f(x)Z极大值极小值Z所以f(x)的极大值M f x1解法一:b(b 1)2(b 1)2(b 1)2727M f x-!x；(b 1)x：3xf2(b1)为bb(b 1)92b(b 1)244因此M -27272727解法二：因为0 b 1，所以x,(0,1)当x (0,1)时，f(x)x(x b)(x 1)x(x1)221令g(x) x(x1)，xW)，则g(x)3 x3(x1)1令g(x) 0,得x

24、.列表如下:3x(0,1)313(1,1)g(x)+0g(x)Z极大值11所以当x 时，g ( x)取得极大值，且是最大值，故g(X)maxg 3344所以当x (0,1)时，f(x) g(x)，因此M -272720.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分解：(1)设等比数列an的公比为 q,所以 a1M0, q0.42716分.a2a4a5a34a?4a0，得24a1q2aq4a1q，解得4q 4a10a11q 2因此数列an为M 数列”(2)因为1Sn2bn2bn-，所以1bn021由Sn2bnbn

25、1，得bn 6 12(bn 1bn)，1S2J,则b22.b2当n 2时，bnbn 1bn 1bn由bnSnSi 1，得n2 bb2 bb，2 bn 1bn2 bnbn 1整理得bn 1bn 12bn.所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列因此，数列bn的通项公式为 bn=nn N由知，bk=k,k N.因为数列cn为 M -数列”设公比为 q,所以 ci=1, q0.因为 Ckbk 1;,亠ln kln k当 k=2, 3，m 时，有-ln qkk 1In x1 In x设 f (x)=(x 1)，则f(x)xx令f(x)0，得 X=e.列表如下:经检验知qk 1k也成立.因此所求 m

26、 的最大值不小于 5.若 m6,分别取 k=3 , 6,得 3 角3,且 q5 243 且 q15 216x(1,e)e(e,+s)f(x)+0f(x)极大值f(k)max罟，所以3f罟ln8 In 96 6取q33，当 k=1，2，3, 4, 5 时,ln k ,k=lnq，即k q，10 分.3所以 q 不存在.因此所求 m 的最大值小于 6.综上，所求 m 的最大值为 5.数学H(附加题)参考答案10 分.321.【选做题】A .选修 4 - 2 :矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分3 1解：(1)因为A2 233 1 23 11 2115232

27、 22 12 2：=106(2)矩阵 A 的特征多项式为f()令f ( ) 0,解得 A 的特征值11,24.B 选修 4 - 4:坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分解：(1 )设极点为 0在 OAB 中，A (3,), B(、3 ,),42由余弦定理，得 AB=,.32( /2)22 32 cosq J(2)因为直线 I 的方程为sin(-) 3,又BC-2)，所以点 B 到直线 I 的距离为(32.2) sin(3)242C .选修 4 吒：不等式选讲本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分所以A23 13 12 2 2 210分.4.10分.则直线 I 过点(3-2，-)，倾斜角为3_42.10 分.31解：当 x0 时，原不等式可化为x 1 2x 2，解得 x2,即 x_时，原不等式可化为 x+2x-12，解得 x1.2综上，原不等式的解集为x|x（2）由（1）知，n 5.a b、3.解法一：因为a,b N*，所以a C03C5