弧微分与曲率实用教案

1、一、弧微分(wi fn)NRTA0 xMxxx .),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数baxfxyo),(:00yxA基点基点,),(为任意一点为任意一点yxM规定(gudng)：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲线线的的正正向向与与 x,)2(sAM .,取负号取负号相反时相反时取正号取正号一致时一致时的方向与曲线正向的方向与曲线正向当当ssAM第1页/共25页第一页，共26页。).(xss 单调(dndio)增函数),(yyxxN 设设如图，NTMTMNMN ,0时时当当 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dyd

2、xMT ,12dxy dyyNT , 0.12dxyds 故故,)(为单调增函数为单调增函数xss .12dxyds 故故弧微分(wi fn)公式NMTRA0 xxxx xyo第2页/共25页第二页，共26页。则内连续在给出若函数以参数方程特别地,),()(),(,)( ,)()(,tytxttyytxxdtyxdydxdstt2222)()(第3页/共25页第三页，共26页。二、曲率(ql)及其计算公式曲率是描述曲线局部(jb)性质（弯曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲(wnq)程度越大转角越大转角相同弧段越短弯曲程度越大1.曲率的定义1 )第4页

3、/共25页第四页，共26页。) S S) .M .MC0Myxo.sKMM的平均曲率为弧段（设曲线(qxin)C是光滑的，.0是基点是基点M, sMM （. 切线转角为切线转角为MM定义定义(dngy)sKs 0lim曲线(qxin)C在点M处的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 第5页/共25页第五页，共26页。例如(lr) 直线：圆：Rs有 sRssR1 lim 0sKsR1RMMDs不变. =0, 所以(suy) K=0半径(bnjng) R，有 =MDM第6页/共25页第六页，共26页。2.曲率(ql)的计算公式注意(zh y):(1) 直线的曲率(ql)

4、处处为零;(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds 第7页/共25页第七页，共26页。例1. 求. ) 1 , 1 ( 1处的曲率在点xy 解：由.2 ,132xyxy得. 2 , 111xxyy所以(suy)232)1 , 1() 1(1 2K22第8页/共25页第八页，共26页。,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 第9

5、页/共25页第九页，共26页。例例2 2?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然(xinrn),2时时当当abx .最大最大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率第10页/共25页第十页，共26页。点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入一段弯道之间接入一段稳，往往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事

6、故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例3 3第11页/共25页第十一页，共26页。.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似为的曲率近似为时，在终端时，在终端很小很小并且当并且当为零为零的曲率的曲率在始端在始端的长度，验证缓冲段的长度，验证缓冲段为为，其中，其中缓冲段缓冲段作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl第12页/共25页第十二页，共26页。xyoR),(00yxA)0 ,(0 xC证证如图的负半轴表示直道，的负

7、半轴表示直道，x.,是圆弧轨道是圆弧轨道是缓冲段是缓冲段 ABOA（在缓冲(hunchng)段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx处处在在. 00 k故缓冲始点的曲率故缓冲始点的曲率实际(shj)要求,0 xl l第13页/共25页第十三页，共26页。20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的的曲曲率率为为故故在在终终端端A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR , 1Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次项略去二次项xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl第14页/共25页第十四页，共26页。三、

8、曲率(ql)圆与曲率(ql)半径定义定义(dngy)D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲率中心曲率中心 D.曲率半径曲率半径 xyo第15页/共25页第十五页，共26页。1.曲线上一点(y din)处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意(zh (zh y):y):2.曲线上一点处的曲率(ql)半径越大,

9、曲线在该点处的曲率(ql)越小(曲线越平坦);曲率(ql)半径越小,曲率(ql)越大(曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).第16页/共25页第十六页，共26页。例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002压力压力飞行员对座椅的飞行员对座椅的到原点时到原点时求俯冲求俯冲千克千克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞机沿抛物线飞机沿抛物线 vOxy解解如图,受力分析(fnx),PQF 视飞行员在点o作匀速圆周运动(yndng),.2 mvF O点处抛物线轨道(gudo)的曲

10、率半径第17页/共25页第十七页，共26页。002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率(ql)为.200010 xxk曲率(ql)半径为.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千克千克牛牛 ),(4 .571)(70千克力千克力千克力千克力 Q).(5 .641千克力千克力 即:飞行员对座椅的压力(yl)为641.5千克力.第18页/共25页第十八页，共26页。四、小结(xioji)运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质(xngzh)的数学分支微分几何学.基本概念: 弧微分(wi fn),曲率,曲率圆.曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的近似代替曲

11、率圆(弧).第19页/共25页第十九页，共26页。思考题思考题 椭圆 上哪些(nxi)点处曲率最大？,cos2tx tysin3 第20页/共25页第二十页，共26页。思考题解答思考题解答(jid)232)(1|yyk 2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使 最大，k232)cos54(t 必有 最小，23,2 t此时 最大，k第21页/共25页第二十一页，共26页。一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲率处处为零的曲线为曲率处处为零的曲线为_；曲率处处相等；曲率处处相等的曲线为的曲线为_._.2 2、 抛 物 线抛 物 线342 xxy在在 (2,-1)(2,-1

12、) 处 的 曲 率 为处 的 曲 率 为_；曲率半径为；曲率半径为_._.3 3、 曲 线曲 线)1ln(2xxy 在在 (0,0)(0,0) 处 的 曲 率 为处 的 曲 率 为_._.二、二、 求曲线求曲线)ln(secxy 在点在点),(yx处的曲率及曲率半处的曲率及曲率半径径. .三、三、 求曲线求曲线 taytax33sincos在在0tt 处的曲率处的曲率 . .四、四、 证明曲线证明曲线axaycosh 在任何一点处曲率半径为在任何一点处曲率半径为ay2. .练练 习习 题题第22页/共25页第二十二页，共26页。五五、 曲曲线线弧弧xysin )0( x上上哪哪一一点点处处的的

13、曲曲率率半半径径最最小小？求求出出该该点点处处的的曲曲率率半半径径 . .六六、 曲曲线线上上曲曲率率最最大大的的点点称称为为此此曲曲线线的的顶顶点点，试试求求指指数数曲曲线线xey 的的顶顶点点，并并求求在在该该点点处处的的曲曲率率半半径径 . .第23页/共25页第二十三页，共26页。一、一、1 1、直线、直线. . 圆；圆； 2 2 、21, 2； 3 3、0.0.二、二、xxksec,cos . .三、三、02sin32tak . .五、五、)1 ,2( 处曲率半径有最小值处曲率半径有最小值 1.1.六六. . 323),21, 2ln21( . .练习题答案练习题答案(d n)第24页/共25页第二十四页，共26页。谢谢您的观看(gunkn)！第25页/共25页第二十五页，共26页。NoImage内容(nirng)总结一、