2017-2018学年高中数学第03章直线与方程专题3.1.1倾斜角与斜率试题新人教A版必

1、隹知识、直线的倾斜角1.直线的确定在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可2 直线倾斜角的概念当直线I与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线I_方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角晅“龜冷晅八霭 r 呂曜：罢龜莖*产電冷晅霭“晅宀蠶卢S二電倾斜角与倾斜程度平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线， 其倾斜角不相等因此，我们可用倾斜角:表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜 程度倉J龜。晅龍“笑。嵬：曆庵 晅J:ig冷晅霭“區宀熬严 二電3 .倾斜角的取值范围当直线I与X轴

2、平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0 .因此，直线的倾斜角a的取值范围是_二、直线的斜率1.斜率的定义3.1.1倾斜角与斜率倾斜角与斜率如下图:Il的倾斜角为 0,I2的倾斜角为锐角,I3的倾斜角为直角,|4的倾斜角为钝角_ 叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即k =tan我们把一条直线的倾斜角注：倾斜角是 90的直线没有斜率2 .斜率与倾斜角之间的关系当直线的倾斜角a=0时，斜率k=0,直线与X轴_ ；当 0a0,且k值增大，倾斜角随着 _ ；当a=90时，斜率 k_ (此时直线是存在的，直线与X轴垂直)；当 90a180时，斜率k0,且k值增大，倾斜角也随着 _I3 直线的倾斜程度

3、(1)_ 倾斜角a不是 90的直线都有斜率， 倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，我们可以用 _ 表 示直线的倾斜程度(2)直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度 三、过两点的直线的斜率公式1.公式经过两点(x1,y1),F2(x2, y2)(x,#x2)的直线的斜率公式为2公式的推导如图(1),，设直线RP2的倾斜角为a(a工 90 ),当直线RF2的方向(即从F指向P2的方向)向上时，过点R作X轴的平行线，过点F2作y轴的平行线，两条直线相交于点Q于是点Q的坐标为(X2,yJ.如图（1）,当a为锐角时，。=NQpp2,为x2, y1当口为钝角时（

4、设厶?占马=旳应Ajq j 2. tan a = lan（180 - ） = - tan .在Rt解中,“韶=為=-黑同样，当直线弓的方向向上时，如图（3）,，也有tan（X=m,即疋=为_” .花Zj花jq综上所述，经过两点R（xi,yj, P2（X2,丫2）（捲=X2）的直线的斜率公式为晅電冷晅龍。晅曜；:駆総 邕*产緞 晅電晅宀蠶.=遞-*.名师提醒（1）当直线的倾斜角为90时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的 存在与不存在两种情况（2）斜率计算公式中k的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次 序可以同时调换（3） 当直线RP2与x

5、轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时k= 0.晅 T 魂冷晅龍笑。龍：輕爲 晅厂緞、晅電晅宀蠶严 *.K 知识参考答案：一、 2.向上3.0 a180二、 1.正切值2.平行或重合 增大不存在增大3. 斜率三、 1.x2捲2.x2于是可得曲氐二生 N5理重点K重点直线的斜率、过两点的直线的斜率公式K难点直线的倾斜角与斜率的关系K 一易错直线的倾斜角与斜率的变化关系、斜率不存在的情况1.求直线的斜率(1)已知倾斜角求斜率时，若:-90，根据公式k = ta直接计算当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入k = tan：计算(2)已知两点

6、求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式k = ZIL(x,=X2)直接计算X2_X|【例 1】经过两点A(4,2y+ 1),B(2,-3)的直线的倾斜角为 45 ,则y的值为A.-1B. -3C. 0D. 2【答案】A2v +4【解析】由过两点的直线的斜率公式可得kAB=tan45 =1,解得y=-l.2【例 2】已知点M N的坐标分别是(2,-3),(-3,-2)，直线l经过点P(1,1),且与线段MN相交|(1) 求直线PM与PN的斜率；(2) 求直线I的斜率k的取值范围.一31一21 3【解析】(1)由题意与斜率公式可知，直线PM与

7、PN的斜率分别为kPMD =-4,kPN二厶=J2-1-3 1 4(2)如图，直线I相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，I是过P点且与X轴垂直的直线，当I由33PN位置旋转到l位置时，倾斜角增大到90,又kPN, k_3144当l从I位置旋转到PM位置时，倾斜角大于 90,又kPM= V k乞-41一3 综上所述，k-4U-：)47【归纳总结】求直线的斜率的方法：(1)定义法.已知直线的倾斜角为a,且a丰90,则斜率k二tan(2) 公式法若直线过两点A(x1, y1), B(X2, y2),且为=x2,则斜率k =y2一y1X2 X-I(3)数形结合法已知一条线段AB的端点及线段外一点P,

8、求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下l的斜率，若直线PAPB的斜率均存在，则步骤为：1连接PA PB2由k =y-求出kPA, kPB；x2-为3结合图形即可写出满足条件的直线I的斜率的取值范围2三点共线问题两点即可确定一条直线， 要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于X轴，即斜率不存在的情况斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线【例 3】求证：A(-2, -4), B(2,0), C(3,1)三点共线.【解析】/A( -2, -4), B(2,0), C(3,1),kAB=kA

9、C直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A,直线AB与直线AC为同一直线故A、B、C三点共线.ykAC1 -(-4)3-(-2)=1.【名师点评】 若点A、B、C都在某条斜率存在的直线上，那么由任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即kAB-kBC-kAC；若kAB-kBC或kAB二kAC,则直线AB与BC或AB与AC的斜率相同，且又过同9一点B或A因此直线AB与BC或AB与AC重合【例4】若A(-1,-2),E(4,8),C(5,x),且AB, C三点共线,求x的值.【解析】由题意，可知直线AB AC的斜率存在又A, B,C三点共线，则kAB=kAc,即二匚三,解得x=10.4一(一1)5

10、-(一1)3 .直线的斜率、倾斜角的应用解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时，要善于利用几何图形的几何性质，注意倾斜角是几何图形中的夹角还是它的邻补角；也可以利用经过两点的直线的斜率公式，先求斜率，再求倾斜角光的反射问题中，反射角等于入射角，但反射光线所在直线的斜率并不等于入射光线所在直线的斜率.当镜面水平放置时，上述斜率之间是互为相反数的关系另外，在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解【例 5】光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q经y轴反射后过点B(4,3)，试求点Q的坐标及入射光 线的斜率.【解析】设Q(Qy)y),则由题青得乞=-色3-v55解得孑=,即点.0的坐标为(0匸),

11、4 .直线的倾斜角与斜率的关系(1)直线的倾斜角a与斜率 k 的关系：k =tan： =90：)，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角注意倾斜角的取值范围是 0：_ : : 180 (2)在0：90范围内，k 0，且k随着a的增大而增大；在90：180范围内，k：0 ,且 k 随着a的增大而增大但在0 -1 时，k = 0，所以直线的倾斜角a的取值范围是 0a90;m -11当m1 时，0，所以直线的倾斜角a的取值范围是 90a1 时，k =- 0，所以直线的倾斜角a的取值范围是 0a90;m T1当m1 时，k0，所以直线的倾斜角a的取值范围是 90a180.m1【误区警示

12、】 求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在作出判断，以免漏解1 关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是11A.所有的直线都有倾斜角和斜率B.所有的直线都有倾斜角，但不一定都有斜率C.直线的倾斜角和斜率有时都不存在D.所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角2 .若直线的倾斜角为120，则直线的斜率为A.3C仝33 .已知直线 I 经过点B(2 , -3)的直线的倾斜角为45,贝 Uy=A.A( -2,3), B(3, -2),C(I,m)三点共线，则m的值为2A.A. 150B. 75C.135D.45C. -1D.A(2,0)与点B(5,3)，则该直线的倾斜角为4 .过两点A(4 ,y

13、),B.5若B.C.-2D.136.如图，设直线丨1,丨2,丨3的斜率分别为k1,k2,k3,贝Uk1,k2,k3的大小关系为A.k, ：k2:k3B. k3：k2C. k2: &：k3D. k3: k2：k17 .若过点P(1,1),Q3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是 _8.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角(1)A(0，- 1) ,B(2 , 0).(2)P(5 ,- 4) , Q2,3).(3)M(3,- 4) ,N(3,-2).9 已知直线丨经过两点A -1,m , B m,1，问：当m取何值时:(1)l与x轴平行？(2)l与y轴

14、平行？(3)1l的斜率为-?39 锲力10.已知Ma,b),N(a,c)(bc)，则直线MN勺倾斜角是A.不存在B.45C. 135D.9011.如果直线I过点(1 , 2)，且不通过第四象限，那么I的斜率的取值范围是A. 0,1B. 0,21C. 0,丄212 .设点A(2 , -3),B(-3 , -2)，直线l过点P(1 , 1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是D. (0,3153C. kW4D.以上都不对413.如图，菱形ABCDK/BAD60。，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率.123456101112BBCCAADBA1.【答案】B【解析】任何直线都有倾斜角，

15、但是并不是所有的直线都有斜率，当直线的倾斜角为直角时，直线的斜 率不存在，所以 A, C, D 错误，B 正确，故选 B.2 .【答案】B【解析】k二tan120 =- . 3.3 .【答案】C17【解析】直I 的斜率为k二3-0-5 - (-2)-1,又倾斜角二e【解析】根抿净率越大，直线的倾斜程度越大何知选项A正确.【答案】（心三）【解析】本题考查直线的倾斜甬和斜率的关系一因为岭学甲二兰二,又血仙5 90180%则312tan即 0,所以直线AB的倾斜角是锐角.-4-37隔二右隔二右3，因为kPQ 0,所以直线PQ的倾斜角是钝角.（3）因为XM=XN=3,所以直线MN勺斜率不存在，其倾斜角为直角9 【解析】（1）当直线丨与X轴平行时，直线丨的斜率为 0,此时 m=d.（2） 当丨与y轴平行时，直线丨的斜率不存在，此时 m - -1.选 C.4 【答案】CI解析】因为吋3 * 5从=|，即y1,所以4一2y 1.【答案】A【解析】由三点共线-2 -3 m 23 2工326.【答素】A7.【解析】（1）kAB-1 -00 -21912.【答案】A0【解析】由题青可得从而可知 Q 与恥所在直线的倾斜甬都为冊，其斜率都为阪斫=