难点18不等式的证明策略

1、难点18不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式 证明的内容，纯不等式的证明，历來是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式 的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.难点磁场()己知 a>0, b>0,且 a+b= 1.1i求证：(g+)(/?+ )$ .ab4案例探究例1证明不等式1 +丁+十+<2丽sgn)v2 v3 y/n命题意图：本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题口，考查学生观察能力、 构造能力以及逻辑分析能力，属级题fi.知识依托：本题是一个与自然数n有关的命题,首先想到应用数学归纳

2、法,另外还涉及 不等式证明中的放缩法、构造法等.错解分析：此题易出现下列放缩错误：_ 丄 + 亠 |_丄<丄 + 丄_| jl - 三=術<2 4n.屈 丽jn /n v/ty/in 这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发牛的.技巧与方法：本题证法一采用数学归纳法从到的过渡采用了放缩法；证法 二先放缩，后裂项，有的放矢，直达目标；而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心, 发人深省.证法一：(1)当等于1时，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立;假设心鸟伙21)时，不等式成立,即1 +<2麻，贝叽+芈+土+.+<v2 v3 vfm2juk + 1

3、) + 1 w r +伙 + 1) + 1 _ 277:当n=k+1时，不等式成立.综合、得：当站时,都有唏+护+ $<2屁另从k到奸1时的证明还有下列证法： 2伙+ 1)-1-2祕伙+ 1) =£-2於伙 + 1)+伙 + 1) =(7t-vm)2 >0,2祕伙 + 1) +1 < 2伙 +1),* jr +1 > 0, 2.k 4/< 2jk + ljk + 又如:.2vt+t-2vt =/2=q k + + yk yj k + 1 + jk + 1 jk + 12 yr+= < 2以+1.证法二：対任意都有:r= - l j_ < r=

4、；= 2( vt - jp _ 1),vt y/k +>jk y/k +vf-d因止匕1+丄 +丄+ 丄<2 + 2(711) + 2(巧一血)+ 2(乔一71) = 2爲. v2 v3 厶证法三设何=2丽-(1 +右+吉+ +命),那么对任意底n *都冇:+i)-/(z：)=2(vm-vr)-1vm=2仗 +1) -2祸伙+ 1) -17t+1-伙 + 1)2於伙+ 1)+v+ivt+i/伙+1)>/伙)因此，对任意都有和)>和一1)>>/(1)=1>(),心+厶+2<v2 <3 am例2求使v7 + j7 wei jx + y (x&g

5、t;0, y>o)tu成立的a的最小值.命题意图：木题考杏不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力，属于 级题目.知识依托:该题实质是给定条件求最值的题冃，所求q的最值蕴含丁恒成立的不等式中, 因此需利用不等式的有关性质把。呈现出來，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再 利用函数思想和重要不等式等求得最值.错解分析：木题解法三利用三角换元示确定。的取值范i韦i,此时我们习惯是将x、y与 cos 、sin 来对应进彳亍换元，即令 yx =cos 0 , jy =sin (0< < ),这样也得 6/sin2+cos，但是这种换元是错误的.英原因是：(1)缩小了 x、

6、y的范围；(2)这样换元相当于本 题又增加了 “x、)=1”这样一个条件，显然这是不对的.技巧与方法：除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数。 满足不等关系，cl2f(x),贝'j «min=a)max；若。今»，贝0 «max=iz()min»利用这一基本事实，可 以较轻松地解决这一类不等式屮所含参数的值域问题.还有三介换元法求最值用的恰当好 处，可以把原问题转化.解法一：由于d的值为疋数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2 jxy w a2(x-y),即 2 jxy w (/ 1)(兀+y), x, y>0,

7、.xy2yxy , 当且仅当ey时，屮有等号成立.比较、得a的最小值满足«2-1 = 1,./=2, a=42 （因«>0）, :.a的最小值是血.解法二:设分世声+77）2jx+y v 兀+yx + ytx>0, y>0, .x+y2yxy （当 x=y 时“二"成立）,逅w1,巫的最大值是1. x + yx + y从而可知，u的最大值为jl +1 =血,乂由已知，得au, .*.a的最小值为忑.解法三：了>0,.原不等式可化为£+10 石二，设=tan 0,0 e (0,).y2tan +1 wo jtan? 0 + 1 :即

8、 tan + lwdsec .dmsin +cos 0=41 sin( +),4乂 vsin( 0+仝)的最大值为1(此时二兰).44由式可知a的最小值为v2 .锦囊妙计1 不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的 方法.(1) 比较法证不等式有作差俩)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配 方，判断过程必须详细叙述；如果作差以示的式了可以整理为关于某一个变量的二次式，则 考虑用判别式法证.(2) 综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提， 充分运用这-辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2. 不等式证明还有一些常川

9、的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式 法、数形结合法等.换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法吋，要注意代换 的等价性.放缩性是不等式证明中最璽要的变形方法z-,放缩要冇的放欠，冃标可以从要 证的结论屮考杏.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，耍依据题设、题h的特点和内在联系，选择适当的证明方法，耍熟悉各 种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.歼灭难点训练一、填空题!( )已知兀、y是正变数，a、b是正常数，且- + - = 1, x+y的最小值为)设正数 d

10、、b、c、d 满足 a+d=b+c,且ad<bc,则 ad 与 be 的大小关 系是.3. (*)若 m<n, p<q,且则 m、n、p、g 的 人小顺序是.二、解答题)已知a, b, c为正实数,a+b+c=l求证：(l)a2+b2+c2 丄3(2)如+ 2+血 + 2 +j3c + 2 w61 75. 伙*幻已知 x, y, zgr,且 x+y+z=f x2+y2+=,证明:x, y, zg 0,-2 36. (*)证明卜列不等式：(1) 若 x, yf zr，a, b, cer*,贝 lx2 +-y22(xy+yz+zx)abc若 x, yf zr+,且x+y+z=ay

11、z,则4 +土+也$2(丄+丄+丄)兀yzx y z7.&*)已知i,加、77是正整数，且<i：jn<n.(dile 明：分a；”vma：；(2) 证明:(l+m)n>(l+n)w&( )若a>0, b>ot 卫+沪=2,求证:a+bw2, abwl.参考答案难点磁场证法一：(分析综合法)欲证原式，即证4(")2+4(/+沪)一25肪+420,即证4(ab)233(ab)+820,即证abw丄或4va>0, b>qt a+i :.abs 不可能成立 =a+b22 反，abw丄，从而得证.4证法二：(均值代换法)洛 1,1tx.

12、 a +f19 b +22 2va+fe=l, a>0, b>0,tt+h=o, |川< ,lr2l< 2 2(1、门1、/+i 沪+i(a +)(/?+)=xaba b1 9191712( + 1 ) +1( + 2) +1 (亍 + 厶+人 + 0( + t2+ f2 +1)=x =1 1a w12+ r! + 2 2+ ?1 2+2(1 + 心 + 1)(1 + 匚 + tj2 + 1) c + f)2 f/_ 44_- 44253 24二丘 + / +s1 t 2if225>16 = 25 144显然当且仅当i即予时,等号成立.证法三：（比较法）/a+b=

13、 1, a>0, b>0, a+b2yab , : abw 4z 1125 席 + i 沪 + i 254/52+33"+ 8(1 - 4)(8 - ab)(a + )(/? + -)=a b 4 a b 4(a + )(b + ) a b 4证法四：(综合法)4ab4ab>0va+b=l, d>0, b>0, j.a+b2yab , :.abw 4(l-)2 + l>16 丄4 ab:.-ab>一丄=> =>«4416即（吩）（吩）斗证法五：（三角代换法）一(1-")2+1、25ab4t a>0y b&

14、gt;0, a+b= ,故令 a=sin2 o , /?=cos2 o , ag(0,)2(a + )(b + ) = (sin2 a + -)(cos2 a + a bsin" asin4 a + cos4 a - 2sin2 orcos2 a + 2(4-sin2(7)2 + 164sin2 2a sin2 2a < 1,.4一sin2 2a >4-1 = 3-4sin2 2a4-2sin226z + 16>25_j>1siir 2a 4ii 75b|jw(+-)(+ -)>.ab4=>(4-sin22«)24sin2 2a歼火难点训

15、练一、1.解析：令一=cos? 0, =sin2 0,则 x=asec2 “，y=bcsc2 0, .x+y=asec1 0 +/?csc2二d+b+dtai?()+bcop 0 a-b+2 vci tan2 0 - z?cot2 q = a + b + 2ab .答案：a+b+2 yab2. 解析：山 0 w ladl < lbcl o (ad)2 v (bcf o (a+b)24ad< (b+c)24bca+d=b+c, 4ad < 4bc,故 ad>bc.答案：ad>be3. 解析：把p、q看成变量，则m<p<nf m<q<n.答案：

16、m<p<q<n二、4.(1)证法一:«2+z?2+c2 = (3a2+3b2+3c2l)=3/+3/,+3。2(°+b+c)23= 3«2+3/?2+3c2 a2b2c22ab2ac2bc 3=(q 防+少一c)?+(c d)2 20 .*.2+/?2+c2 33证法二:*.* (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ah+2ac-2bc w a2+b2+c2+a2+h2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2) 2 (a+b+c)2= 1/. a2+b2+c2 2 2>9 1 "+/t+c 仝 3证法四：设 a=-+ a ,

17、b=- + b, c=-+ y.3 339a+b+c= 9 / a + 0+ k=0荷汀+(§+"+(§+')= -+ ( q+ /)+a +0 + f3 3w气(2)证法一:竝+2 = j(3a + 2)xl < 3cz + 2 + 1,2同理j3b + 2 <竺三,73c+ 2 <仝空2 2如 + 2 +3b + 2 + j3c + 2 <+ 八 °)+ = 62原不等式成立. j 3a + 2 +3b + 2 + j3c + 2(3a + 2) + (3b + 2) + (3c + 2) 吐法一： 3可3(a + b

18、 + c) + 6 _ 羽如 + 2 + 血 + 2 + j3c + 2 w 3迟 <6原不等式成立5.证法一：由 x+y+z=l, x2+y2+z2 =丄，得 x2+>f2+( 1 xy)2=丄，整理成关于 y 的一元二2 2次方程得:1 9q4(1劝24x2(2?2x+_)$0,得 0wxw , axe 0, 2 332)/2( 1 x)y+2x22x+ =0, tr,故 / 2()77-1 ' ' 22同理可得)，泻0,-证法二：设x= +x3口 1j2 '3=+xz 2+yr31 ，= +x+y3z=+zr，则 x +)+z' =0,于是&#

19、163;=(£+* r+(£+w )?+(£+/ )2+| x +w +才)2$ 丄+疋 2+(/ + zr)2=l+3xz 232321179 .w , xe 0,同理y, 0，3 333八z三数中若有负数，不妨设xvo,则x2>0,丄=x2+y2+222证法三：设9+z()； + z)2 _(1兀)22321、1 f 击2 2 2 2三数中若有最大者大于2,不妨设x> - f则丄=?+y2+? m332+呼兀（兀-¥）+£>£；矛盾.23222故兀、y、zg e0,3z口口 b + c 2 c + d 2 a+b

20、 2_、6.(1)证明:x +y +z -2(xy+ yz + zx)2bc+ y2 _ 2兀刃+ (£)< + z2 -2yz) + (z2 + x2 _2zx) bb2=（一 x a一乙尸+（b + c.xabc（2）证明：所证不等式等介丁-y)2(jy2 c+a a+b +y+x)2>02 > 2(xy + >7 + zx)27 2/ v + z z +兀 兀+宀x y z (+ )> 2(xy +yz + zx)x y zo xyz yz(y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) > 2(xy + yz + zx) &l

21、t;=> (jv + y + z)(y2z + yz2 + z2x + zx2 + 兀匕 + 妒) >2(x2y2 + y2z2 + z2x2) + 4(x2 yz + xy2z + xyz2)o)宀 + 如 +> 2x2yz + 2xy2z + 2xyz2o yz(y - z)2 + zx(z - x)2 + xy(x - y)2 +x2(y- z)2 + y2(z- x)2 + z2(x - y)2 >0 上式显然成立，.原不等式得证.7. 证明：对于 lv/w/n,且 a；” =m伽一i+1）,a： _ m m 一 1i1 iim m m由于m<n,对于整数

22、k=l, 2,，li,有一> ,n ma y a z 所以牛3,即沖a： ma”n m(2)|l|项式定理有：(l+7n)"=l+c加+c： w2+ +c mnf(1+m"二 1+c lm n+c : /+c ； nm, a' a/由(1)知/a/a；>"a； (lvwm),而 c；严一iiii/.>n/c/m( 1 <m < w),77°c =/7()c = h mc , =nc n =m n, w2c >n2c , ，賦"c：>严c；：, mn,+lc >0,，亦c；>0, 即(1 +诃> (1 +n)w成立.&证法一：因 a>of b>0, a3+b3=2f 所以(a+b)323=a'+b3+3a8 8所以对任意非负实数d、b,有亡空2(也)32 2因为 «>0, b>0, /+戾=2,所以 1=宀庆 $(£)3,2 2上也冬1,即a+bw2,(以