椭圆性质的运用(公开课)

1、高二数学公开课教案：椭圆性质的运用曾木顺三维目标1、知识与能力（1）通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力.（2）思维 能力：会把几何问题化归成代数问题來分析，反过來会把代数问题转化为几何问题來思考； 培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力.（3）实践能力: 培养学纶实际动手能力，综合利用已有的知识能力.（4）创新意识能力：培养学牛思考问题、 并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径.2、过程与方法理解椭鬪的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭関的标准 方程、会用椭圆的简单几何性质解决实际问题；

2、3、情感、态度与价值观目标通过知识的运用及问题的解决，培养学生学习数学的兴趣。4、教学重、难点：（1）教学重点：椭闘的方程及其几何性质的运川（2）教学难点：灵活运用椭圆的儿何性质5本节所用的数学思想方法：数形结合的思想方法，化归思想方法。教学过程：（一）复习引入：椭圆的简单儿何性质如下标准方程x2 y2”“心>0）2 2 + = l（a>bo） cr图形yyi°1女范围-awxwa,-b wywb-b wxwb, -awywa对称性关于x轴、y轴、原点对称顶点坐标（±日,0） （0, ± z?）（土b, 0）, （0, ±a）离心率e = -

3、(o<e<l) a(二)进行新课例1：已知中心在原点0,焦点在x轴上的椭圆c的离心率为、二，点a, b分别是椭圆c 2的长轴、短轴的端点，点o到直线ab的距离为o(1) 求椭圆c的标准方程;(2) 已知点e (3, 0),设点p、q是椭圆c上的两个动点，满足ep丄eq,求丽帀的収值范围。【分析】本题主要考查直线、椭i员i、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及计算能力。c a/3解：(1)由离心率e = - =,得a 2=yjl e2 二丄 二 a = 2h ®a2原点o到直线ab的距离为墮.ah = 墮 55将代入，得宀9 则椭圆c的标准方程为話+許1(2)

4、 ep 丄 eq:.ep eq = q ， ， 2epqp = ep (ep - eq) = ep设pg),则护計1,即宀9迁* 2 epqp = epr2 3= (x_3)2 +y2 =兀2 _6% + 9 + 9_j = 2(x_4)2 +644-6<x<6, a 6<|(x-4)2+6<81则丽帀的取值范围为6, 81。巩固练习1.若点。和点f分别为椭圆+ - = 1的小心和左焦点，点p为椭圆上的任意-点，则opfp的最大值为（从此椭圆上一点m向x例2.已知椭圆令+ 2? = 1>/?>0）的长、短轴端点分别为a、b,轴作垂线，恰好通过椭鬪的左焦点向a

5、b与0m是共线向屋。（1）求椭圆的离心率e；（2）设q是椭圆上任意一点，fi、f2分别是左、右焦点，求zf,qf2的取值范围;9 0（3）设焦点三角形qfr中今0耳=&,则$“砂"画一。22 2 解：（1） v f （-c,o）, w'jxjw = -c, ym = , /. k0m =-oi1 zji/: kar =- ,omab 是共线向.b=c,故£ = _。（2）攻-1 = 0(2c)2 = ff2qf +qf2i列昭=啊也即"=空土=卫2(1 + cos 0)2(1 + cos 0)1 + cos 6-2qfqf2cos0 =(|2fj

6、+ qf2)2 -2|列址|d + cos0)1bsqfi=-qfqf2o = t-sin& = b2 tan l + cos22 2巩固练习2.p是椭圆 + = 1上的一点，f. f2是焦点，若zfipf2=60°,则/ f&f2的10064面积是2 2巩固练习3.已知九f2分别是椭関 + = l(d>b0)的左、右焦点，p是椭圆上的一点，zf.pf2 = 90°,求椭圆的离心率的最小值。巩固练习4.在平血肓角坐标系xoy屮，已知4bc的顶点4(-4,0)和c(4,0)，顶点b在,sin 4 +sin c 则:sin b2 2椭圆f 二1上,259(

7、三) 小结:1.注意椭圆简单几何性质在问题中作为隐含条件的运用2.注意椭圆定义及数学思想方法的运用(四) 作业1.已知点 p(4,4),圆 c： (x-m)2 + y2 =5(m<3)与椭圆e：丫2 2+ p- = 1 («>/?> 0)有一个公共点，直线pf占圆c相切.(i )求加的值与椭圆e的方程;点4 (3, 1) , f、局分别是椭圆的左、右焦(ii)设。为椭圆£上的一个动点，求apaq的取值范围.解.(i )点a代入圆c方程，得(3-a+1=5.加 <3, .*.777 = 1. etc：(兀一1)2+ 严=5 设直线pf】的余率为匕贝lj

8、 pf: y = £(x 4) + 4,即kx-y-4k + 4 = 0. 直线mi与圆c相切，r. -0-+4! =.解得“匕或“丄.vptt22当k=-时，宜线pf】与兀轴的交点横坐标为西，不合题意，舍去.2 11当丄时，直线与x轴的交点横坐标为一4,2c=4. f (-4, 0) , f2 (4, 0).2a =afi +af2= 52 + v2 = 62 , a = 3近,«2=18, b2=2.r2 v2椭圆e的方程为：+ - = 1.18 2(ii ) 丽= (1,3),设 q (x, y) , xe=(x-3,y-l),乔 xe = (x-3) + 3(y-l

9、) = x + 3y-6 22v+ - = 1,即兀2+(3),)2 =18,18 2而 x2 + (3刃2 n21 兀 i 13y i, 一 18w6x)w 18.则(x + 3y)2 =x2 + (3y)2 + 6xy = 18 + 6xy 的取值范围是0, 36.x + 3y的取值范围是一6, 6. :.ap aq = x + 3y-6的取值范围是一12, 0j.2.己知椭圆c：尹汁1心0）上的两点p、q在询帥怫分别为椭圆的左、焦点，且p、q两点的连线的斜率为亠一。2（1）求椭圆的离心率e的人小；（2）设点m （0, 3）在椭圆内部，若椭圆c上的点到点m的最远距离不大于5近,求椭圆 c的

10、短轴长的取值范围。解（1）设点p（-c,_y°），q（c,儿），其中儿0,r2 2,4h2* 点 p 在椭圆上，： 一 +v = 1, .£= , y（）= ± ct ctap(=),0(c，)'a7£v2p° 2c ac 2解得e = -2 （舍），2(a2-c2) = acf 从而y/2(l-e2) = e2 2（2）由（1）知,zb，c",故椭圆方程为赤+ * = 1点m (0, 3)在椭圆内部，h>3.设 n(x, y)为椭圆上任意一点,则 mn2 = x2 + (y -3)2 = -(j + 3)2 + 2b2

11、 +18: b>3 , :.-h<-3,:.当)=一3 吋，mn?的最大值为 2 戻+ 18.依 ® g: mn < 52, mn2 < 50, a 2/?2+18<50. 0</?<4,又b>3, a 3<b<4, b|j 6<2b < 8 椭圆的短轴长的取值范围是(6,8.（五）备选习题1已知椭圆c的屮心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆c上的点到焦点距离的最人值为3, 最小值为1.（1）求椭圆c的标准方程；（2）若直线1： y二kx+m与椭圆c相交于a, b两点（a, b不是左右顶点），且以ab为直径的 圆过椭

12、圆c的右顶点.求证：直线1过定点，并求出该定点的坐标.2 2解：（i）由题意设椭圆的标准方程为2 += l（ab>0）,or /r由已知得：a + c = 3, a c = , a = 2 f c = l,r2 2b = cr c =3.椭圆的标准方程为 h- = 1 43(ii)设心,yj, bg y2),y = kx- tn,联立r2 v2 得(3 + 42)x2 +8m/a + 4(m2 -3) = 0, + = 1.43a = 64m2k2 -16(3 + 4z:2)(m2 - 3) > 0,即3 + 4疋一加2°,则smkx.+x9=,4(加$ 3)乂)1 &g

13、t;2 = (fci + 加)(也2 + m)二 k2xx2 + mk(x +x2) + m2 = )因为以ab为肓径的圆过椭圆的右顶点z)(2,0),kadkrd =-1 , 即一一 = -1 , 二 yy2 +xxx2 _2(西 +x2) + 4 = 0 ,1 *23 + 4/+ 3 + 4疋 *3 + %.3(/-昕)，4(亦 _3)6叫+ 4 = o, . 7/+16脉+4o%解得：m. = -2k , m7 =，且均满足3 + 4/加？。，-7当/n. = -2k时，/的方程为y = k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;2k当m2=时，/的方程为y = k(2、<

14、2 >x,宜线过定点-,017丿<7 )2.如图，/!为椭圆二+ = 1 b0)上的一个动点，弦肋、m分别过焦点凡 甩 当m垂直于x轴吋，恰好|亦处二3:1(t)求该椭関的离心率；(叮)设血=入丽，疋=几2耳，试判断入1+入2是否为定值？若是，则求出该定 值；若不是，请说明理由.解：(1)当a q垂直于/轴时，afaf2 = 3a 由 afaf2 = 2a 9得阿|=¥，afi = 在 rtaff2 中，|af = |a£j2+(2c)2解得幺= 2(11)由旷返，则五三=口£ b = c2 a a22 2 焦点处标为人(-b, 0),耳0 0)则椭圆方程为 二+ = 1,，2b2 b2化简冇x2 +2y2 =2b2.设 a(x°，儿)，bg, yj, c(x2, y2),若直线m