质量、电感、电容的类比研究（修订版）

1、从一道自编习题说开去湖北省恩施高小陈恩谱一、自编习题的分析为着应对2016年高考，我在命制仿真模拟试卷时，设计了一个考查物理学思想与方法的试题，将质 量、电感和电容这三个物理量进行了类比分析，并引导学生深入理解电容概念，题目如下：19、物理学规律在数学形式上的相似，往往意味着物理意义的相似。某同学在查看资料后得知，加旷，做出如下推论：质量加反映了物体对速度v的变化的阻碍作用，自感系数厶反映了电感线圈对电流/的变化的阻碍作用，则电容c也反映了电容器对电压u的变化的阻碍作用。他 的分析依据如下，你认为他的分析合理的是a. 当给电容器充电时，由于同一极板上的电荷的相互排斥，已经充到极板上的电荷会阻碍

2、新 的电荷到达极板，从而阻碍两极板间电压的增加b. 当电容器放电时，由于两极板间电荷的相互吸引，已经充到极板上的电荷会阻碍极板上电 荷的流失，从而阻碍两极板间电压的减小c. 用相同的电源（e, r）给原来不带电的电容器充电，电容器的电容c越大，其电压从某个值u增加相同的大小所用的时间会更长d. 电容器通过相同的电阻放电，电容器的电容c越大，其电压从某个值u减小相同的大小at/所用的时间更短考试结束后，我将这个题目公布在物理qq群里，接受行家里手的批评指点，其屮，福建省欧建雄老 师对a、b选项提出了明确反对意见：“你给的那些选项都不能反映电容的物理意义，而且按你的ab选项 那电容大的阻碍作用就小

3、，按c选项电容大的阻碍作用大。”“阻碍电荷量增加和阻碍电压增加这都不是电 容本来的意义，电容的本来意义是电压随电荷量变化的难易，而非随时间；而且电荷充到极板的难易程度 和电压变化的难易程度也不是一回事，电荷量容不容易到达极板不是电压变化快慢的原因。” “电荷容易到 极板不等于电压容易变，你可以想象一个无限大的金属板，电荷很容易到达极板，但电压要升高就很难。”欧老师所举“一对无限大金属板”的例子，的确让我觉得a、b选项的不合适了，电容越大，恰恰是 电荷越容易充到极板上，但是电压却不容易升起来电荷充到极板上的难易程度与电压变化的难易程 度，其决定机制是完全不同的。进一步考查a、b选项，b选项所说两

4、极板间电荷的吸引，对a选项所说 充电过程恰恰起到了促进作用，两选项有着内在的矛盾。在欧老师的启发下，我进一步思考了影响充电难易程度和电压变化难易程度的因素，做了如下分析：f -u1、充电电流的大小是由电源电动势和电容器极板间电压共同决定/二,电容越大，相同电流充电相同时间，电容器极板间电压增加越少，则充电电流/减小变慢，维持较大的充电电流的时间更长， 即更容易使电荷充到极板上。反过来，电容越小，电压增加越快，充电电流减小越快，充电越困难。由此 分析可知，充电的难易程度，与电压变化的难易程度完全不是同一回事恰恰是电容越大，充电越容易， 但电压增加却越困难。2、放电电流的大小是由电容器极板间电压决

5、定/=,电容越大，相同电流放电相同时间，电容器 r极板间电压减小越少，则充电电流i减小变慢，维持较大的放电电流的时间更长，即更容易使电荷放走。 反过来，电容越小，电压减小越快，放电电流减小越快，放电越困难。由此分析可知，放电的难易程度， 与电压变化的难易程度也完全不是同一回事 恰恰是电容越大，放电越容易，但电压减小却越困难。在上述分析的基础上，我进一步做了一个类比，借此类比而想搞清楚决定电容器极板i'可电压变化难易 程度的因素：1、用固定水位的水源从直筒水杯底部小孔给水杯充水，则充水水流的大小取决于水源水位和杯中水 位的高度差，充水难易程度分析和前面分析类似；杯中水位升髙的难易程度，实

6、际上取决于水杯底面积的 大小，底面积越大，杯中水位升高越困难。2、在装满水的水杯底部开孔放水，放水水流大小取决于杯中杯中水位的高度，放水难易程度分析与 前面类似；杯中水位降低的难易程度，也是取决于水杯底面积的大小，底面积越大，杯中水位降低越困难。也就是说，电容器极板间电压变化的难易程度，实际上直接由电容器本身的结构决定，比如极板正对 面越大、极板间距越小，则电容器极板间电压变化越困难。基于上述认识，我对该题a、b选项做了如下调整：a. 用相同大小的电流给电容器充电时，电容器的电容c越大，两极板间电压的增加相同大小需要的时间越长b. 当电容器以相同大小的电流放电时，电容器的电容c越大，两极板间电

7、压的减小相同大小需要的时间越长二、质量、电感、电容的类比研究的合理角度在讨论过程中，湖北省武汉市胡鹏老师提出，他曾经从牛顿第二定律和自感电动势的表达式类比出发，对质量和电感的相似性进行了研究。在胡老师的启发下，我尝试写下了如下三个表达式，并对 其进行了有趣的分析。arht第一个表达式中，力由其产生机制决定；第二个表达式，e口的数值，从电路角度來说是由电路中 的电流和总电阻共同决定，比如断电自感电路中垢=虫总，通电自感中e自= e_g 第三个表达e-uu式中，i由欧姆定律决定，充电时/ =三一匕，放电时1 = -.也就是说等号前面的物理量不是由等vr号后面的那个变化率决定一一可能有的人会觉得是由

8、生决定，事实恰恰不是这样，在自感电路中,11 m是垢和厶共同决定了生。进一步讲,这些变化率的决定式为:az l上述表达式中，质量7、电感厶、电容c的均由物体、线圈、电容器本身决定；在等号左边的物 理量f、e自、/相同的情况下，质量加、电感厶、电容c越大时，等号右边的那个变化率虫、> 竺就越小，也就是说，质量加、电感厶、电容c分别反映了物体、线圈、电容器对速度变化、电流 变化和电压变化的阻碍作用，是这些物体某种“惯性”的量度。进一步类比，引起物体.线圈、电容器储存的能量变化的功分别为 w = fvn = fm、w = eit = qe mv = iud = aqu ；物体、线圈、电容器储存

9、的能量也由其“惯性”和“惯1 . 1 °性”影响的物理量（速度、电流和电压）共同决定，其表达式为：ek=-mv el=-lik 2 l 2ec 冷cu?；物体、线圈、电容器的“惯性”和“惯性”影响的物理量（速度、电流和电压）的乘 积为描述物体的另-属性的状态参量：动量厂从f弋,全磁通（磁通匝链数）e咼电荷量“、i咼类似的还有力矩、转动惯量、角速度:力矩宀当“动力学方程”矩的功 w = ma）t = m0,转动动能lay和角动量j = ia）、m =* 也就是说，质量、电感、电容的类比研究的合理角度是相应的“动力学方程”,相似时，其相应的结论也就相似。三、一个有趣的类比分析f _u t

10、j从线圈自感电动势的决定式e = e- %、殆=总和电容电流的决定式/二乞匕x i=r 类比，实际小也存在与速度成正比、方向与速度在一条直线上的力，比如电磁感应导轨问题小的安培 斥2/2力伐=、空气中物体下落问题所受的空气阻力常常假设为為二几那么下列问题就具有类r息似性：1、通电自感现象中线圈电流随时间变化规律、电容器充电时极板间电压随时间变化规律、重力作 用下空气屮物体下落速度随时间的变化规律、恒力牵引下导体棒在磁场导轨上的速度随时间变化规律;通电自感：e十e_%e-ij电容器充电：1 =-r物体下落:f - mg - kvr2 t2导体棒加速：f = f怕r总、这些问题的末态也都是上述表达式等于0时，时间常数分别为7二厶/? = cr = m/k o2、断电自感现象中线圈电流随时间变化规律、电容器放电时极板间电压随时间变化规律、物体以 某一初速度在空气阻力作用下减速时的速度随时间变化规律、光滑水平导轨上导体棒以某一初速度在 磁场中减速时的速度随时间