解析几何中有关参数范围问题的求解策略

1、解析几何中有关参数范围问题的求解策略曾庆宝解析几何中的参数范围问题是平时考试和高考中的重要考查内容，但这一类题综合性 强、变量多、涉及知识血广，是难点问题。解答这类问题往往运用函数思想、方程思想、数 形结合思想等，将问题转化为求函数的值域划最值等来解决。一. 运用数形结合探求参数范围r2 (v - n?例l.m为何值时，直线y = -x + m与半椭圆 +§= 1 © » "只有一个公共点？y2 (y分析：因为椭圆莎+卩5=1 (y n 1)为半条曲线，若利用方程观点研究这类问题,则需转化成根的分布问题，较麻烦且易岀错。若川数形结合的思想來研究则直观易解

2、。如图,j厶、厶是直线系y =-兀+加中的三条直线，这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的“界线”,在人与匚之间的直线(含人,不含厶)及厶都是与半椭圆只有一个公共 点的直线，而m是这些直线在y轴上的截距，由此可求m的范围。解：厶过（一2后，1）,贝ijl = 2v5+m, m = -25 4-14 过（2后，1）,则 1 = 一2 v5 4-777 , 7/2 = 275+1y = -x + m120得到关于兀的一元二次方程。(y»i)利用=()得m = 6综上所得，1 2后5加1 + 2后或加=6二. 构建函数关系探求参数范围例2.p、q、m、n四点都在椭圆宀冷1上，f为椭圆

3、在y轴正半轴上的焦点。已知pf与f0共线，mf与fn共线,且pf mf = q.求四边形pmqn的而积的最小 值和最大值。分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知mn和pq是椭恻的两条弦，相交于焦点f （0, 1）,且pq丄mn, 直线pq、mn中至少有一条存在斜率，不妨设pq的斜率为k,又pq过点f （0, 1），故 pq方程为y = kx + .代入椭圆方程得（2 +比2）兀2 + 2匕一 1 = 0设p、q两点的坐标分别为（“，儿）,（兀2,儿），则当icho时，mn的斜率为一一，同上可推得 kmn =故四边形面积s = pq （2 +曰（

4、2 +右）5 +心令 u = k2 +得 s = 4（2 + "）= 2（ 1 5 + 2u v 5 + 2 w /因为u = jl2+-l>2,此时k=±l, w = 2, s = , us是以u为自变量的增函 k29数，所以<s<2o9当r=0吋，mn为椭圆长轴，|w| = 2v2, pq = /2s = pq mn = 2综合知，四边形pmqn而积的最人值为2,最小值为匹。三. 构造含参数不等式探求参数范围例3已知抛物线b =2/x（p0）,过m （a, 0）且斜率为1的直线/与抛物线交于 不同的两点a、b, ab<2p.（1）求a的取值范围；

5、（2）若线段ab的垂直平分线交兀轴于点n,求anab而积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1）,可以设法得到关于。的不 等式，通过解不等式求出"的范围，即“求范围，找不等式”。或者将。表示为另一个变量 的函数，利川求函数的值域求出。的范围。对于（2）首先要把anab的面积表示为一个变 量的函数，然后再求它的最大值。解（1）直线z的方程为：y = x 0，将y二兀d代入抛物线方程y2 = 2px，设得x1 - 2(。+ /;)% +。2 = 0设直线z与抛物线两交点的坐标分别为a（“，儿），b（x2 ,儿），则4(。+ py -4a2 > 0< 兀

6、+兀2 = 2(a + ), 并口)=兀_a, y2 = x2-axjx2又0v ab < 2p, 8p(p + 2a)>0=8p(p + 2a)所以 0 v8p(p + 2a) <2p解得（2）令ab中点为q,= 1ab-qn = pq j ab<p 2p = 42p2 2即anab的回积的最大值为v2/?2。->例4已知梯形abcd中,|ab| = 2|cd|,点e满足4e = 2ec,双曲线过c、d、e2 3三点，冃以a、b为焦点。当一525二时，求双曲线离心率e的取值范围。3 4分析：显然，我们只要找到e-4a的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出

7、 e的范围。解：如图建立朋标系，cd丄y轴，因为双曲线经过点c、d,且以a、b为焦点，由双 曲线的对称性知c、d关于y轴对称。(c i依题意，记a(-c, 0), c=, /*, e(x(), y(j，其c = -ab为双曲线的半焦原，h是梯形的高。解得:兀0-»-由 ae = a ec,(2-2)c2(1 + 2)设双曲线的方程为令-令"则离心率e手由点c、e在双曲线上，将点c、e的坐标和幺二£代入双曲线的方程得: a/?2 t一厂1< 112)2< a )1久+ 1丿j久+ 1丿44>h22 h2=1<2>将vl式代入2式,整理得

8、:-(4-42)=1 + 2223233依题设齐久行得齐耸解得：v7 <e< v10所以双曲线的离心率的取值范围是<< vio2 2例5.已知椭圆四. 运用几何性质探求参数范围（ab0）, a、b是椭圆上的两点，线段ab的垂直平分线与x轴相交于点卩（兀（），0）o证明:分析：欲证满足关于参数b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可 知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：a h ,因此问题转化为寻求与兀的关系。证明：由题设可知，点p在线段ab的垂直平分线上,所以ap = bp若设力（旺，yj, b（x2,儿），则有：（习一*0）2汀=（x2_x°）2儿2-2

9、 , ?因为点a、b在椭|员|上，所以）= b2x2, y22 = b2x22cr cr从而由一d < xx <a, -a < x2 < a at得,<兀0 v-b2a五. 构造方程运用判别式探求参数范围例6.己知抛物线，2=2"（“工0）上存在关于直线x + y = 1对称的相异两点，求p 的取值范用。分析：解决本题的关键是建立方程，运用判别式找到关于p的不等式。解：设抛物线上关于直线x + y = l对称的两点是mfr】，yj, 7v（x2, y2）设直线mn的方程为y = xb,代入抛物线方程，得x2 +（2b 一 2p）x + b2 = 0则 &

10、#163; + 乙=2p - 2b, y, + y2 =+ x2 + 2b = 2p则mn的中点p的朋标为（p-b, p）又因点p在直线x + y = l上，所以2p b = ,即b = 2p-乂 a =（2/?-2p）2 -4/?2 =4/? _8 切0将b = 2” 一 1 代入得：4p2 -sp（2p -1） > 0, 3p2 -2p <02解得：ovpv 【练习】1.设椭圆 齐+1的两个焦点是f,（-c,（）与f2（c, 0）,且c0,椭圆上存在一点p,使得直线与（1）求实数m的取值范围;（2）设z是相应于焦点&的准线，直线p&与/相交于点q若p斗=2-求22阴直线p&的方程。2.在以0为原点的直角坐标系中，点a(4, 3)为厶oab的直角顶点。已知ab =2 oa ,且点b的纵坐标大于零。(1) 求向量ab的坐标;(2) 求圆/ 6兀+ b + 2y = 0的关于直线ob对称