2019-2020学年北京市房山区高一第一学期期末检测数学试题(解析版)

1、2019-2020 学年北京市房山区高一第一学期期末检测数学试1 已知点A(1,2)， 5( 3,0) ，则线段AB 的中点坐标为()A ( 1,1)B ( 2,2)C( 2,1)D ( 4, 2)直接利用中点坐标公式求解即可AB 的中点坐标为1320第 21 页 共 16 页即 ( 1,1).故选： A本题主要考查中点坐标公式的应用，属于简单题2在平行四边形ABCD 中， AC ， BD 交于点O，则(uuurA AOuuurABuuurADBuuurAO1 uuur12(ABuuurAD)uuurC AOuuurABuuurADDuuurAO1 uuur12(ABuuurAD)如图，在根据

2、向量加法的平行四边形法则和数乘求解即可Y ABCD 中，AC ， BD 交于点 O ，uuur uuur uuurAB AD ACuuur2AO ，uuur 1 uuur uuur所以 AO 1 (AB AD) .故选： B【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则和数乘的几何意义，属于简单题r3与向量a (3,4) 平行的单位向量是()34A (0,1)B (1,0)C,D ( 3, 4)55【答案】Cruur a【解析】由 a0r 计算即可得出答案.a【详解】rruur a与向量 a 平行的一个单位向量a0r ，ara32 425 ，ruur a 3 4所以 a0r ,.a55故选： C

3、【点睛】本题主要考查向量的模和向量的坐标运算，属于基础题.4 “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间 0,10 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的75%分位数是()A 7B 7.5C 8D 8.5【答案】C【解析】先计算 75% 分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10 个人的幸福指数已经从小到大排列，因为75% 10 7.5，所以这 10 个人的 75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.故选： C【点睛】本题主要

4、考查分位数的概念和计算，属于基础题.5甲、乙两人某次飞镖游戏中的成绩如下表所示甲、乙两人成绩的平均数分别记作x甲，x乙，标准差分别记作s甲，s乙.则（）A x甲x乙，s甲s乙B x甲x乙，s甲s乙C x甲x乙，s甲s乙D x甲x乙，s甲s乙【答案】B【解析】分别求出甲、乙的平均数和方差即可判断.【详解】由题意，1x甲6 7 2 8 4 9 2 108，101x乙6 7 8 9 4 10 38.7，10所以x甲x乙 ；2122222s甲 26 82 7 848 82 9 810 81.2，102122222s乙 216 8.77 8.78 8.74 9 8.73 10 8.72.79，乙 10所

5、以s甲s乙故选： B【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查学生计算能力，属于基础题.6下列函数中是奇函数且在（0,） 上单调递增的是（）1123A y xB2C y = xD y xyx【答案】D【解析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.1对A，函数y x 1 是奇函数，在(0,) 上单调递减，故错误；1对 B ，函数2 是非奇非偶函数，故错误；yx对C，函数y = x 2是偶函数，故错误；对D，函数y x3是奇函数，在(0,)上单调递增，故正确.故选： D【点睛】本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性，考查学生对基础知识的理解掌握，属于基础题.7已知a 20.2， b 0.2

6、2， c log20.2 ，则()A a b cBb c aC c b a D c a b【答案】C【解析】分别判断出a 、 b 、 c 的范围，然后比较大小即可.【详解】a 20.2 20 1 ，0 0.22 0.20 1 ，c log20.2 log2 1 0，所以 c b a .故选： C【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的图像和性质，注意比较大小时与0 和 1 比较， 属于基础题 .r r rrr r8 已知向量a， b ， c在正方形网格中的位置如图所示，用基底 a,b 表示 c， 则 ()A cr 3ar 2bB cr3ar 2brr rrC cr2ar 3bD cr 2ar 3

7、br【答案】Arrr r r r【解析】建立直角坐标系，用坐标表示出a 、 b 和 c，并设c ma nb，联立方程组求出 m 和 n 即可 .如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，rr则 a 1,1 ， br2,3 ， c 7, 3 ，r设向量 crrma nb，m 2n 7 m 3m 3n 3 n 2rrr所以 c 3a 2b .故选： A本题主要考查向量线性运算的坐标形式，属于基础题x9 当强度为x的声音对应的等级为f (x) 分贝时， 有 f (x) 10lg (其中A0 为常数)A0装修电钻的声音约为100 分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈

8、话的声音强度的比值为()5544AB 1 3C 10D e3【答案】C【解析】由解析式分别求出装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度，再求比值即可 .设装修电钻的声音强度为x1 ，普通室内谈话的声音强度为x2 ，所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度比值为f (x1) 100 10lg x11A0f (x2) 60 10lg 22A0x1 A01010x2 A0106x1A01010x2A0106104.故选： C【点睛】本题主要考查对数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.10 已知函数f x x a x b （其中 a b ）的图象如图所示，则函数xg x a b 的图象大致

9、是（）【答案】D【解析】根据 f x 的图像，判断a, b 的初步范围，再结合指数函数的图像，即可进行选择 .【详解】因为函数f x x a x b 对应方程的两根为a,b，数形结合可知1, 1 b 0.故函数g x 是单调增函数，且在y 轴的截距范围是0,1 ，故选：D.【点睛】本题考查指数型函数的单调性，以及图像的辨识，属基础题二、填空题311 计算：42 ； lg2 lg5 .【答案】813【解析】利用指数的运算法则计算432 ，利用对数的运算法则计算lg 2 lg5 即可 .【详解】313由题意， 424223 8，lg2 lg5 lg 2 5 lg10 1 .故答案为：8； 1【点睛

10、】本题主要考查指数和对数的运算法则，属于简单题.12 按先后顺序抛两枚均匀的硬币，则出现一正一反的概率为.1【答案】12【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可.【详解】1由题意，每次抛硬币得到正面或反面的概率均为1 ，211111则出现一正一反的概率P.222221故答案为：12【点睛】本题主要考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，考查学生理解分析能力，属于基础题.13为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5 条 .利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 条 .【答案】350【解析】

11、设池塘中原来有鱼n 条，由带标记的鱼和总的鱼比例相同列等式求解即可.【详解】由题意，设池塘中原来有鱼n 条，505则由比值相同得，n 50 40解得， n 350故答案为：350【点睛】本题主要考查古典概型的应用，属于简单题.14已知点A(0,1)， B (2,5) ， C(x, 3)，则向量uAuBur的坐标是 ；若A， B， C三点共线，则实数x【答案】(2, 4)2【解析】利用点 A和点 B的坐标直接求出向量uAuBur 的坐标；再由共线定理求出求出x即可.【详解】uuur因为A(0,1)，B (2,5) ，所以 AB 2 0,5 12,4 ；uuur向量 AC x 0, 3 1 x,

12、4 ，uuur uuur因为A， B， C 三点共线，所以AB/AC ，所以 24 4x 0，解得 x 2故答案为：2,4 ；2【点睛】本题主要考查向量的坐标表示和共线定理的坐标表示，属于基础题x 2, x 1,115 已知函数f (x) x当 a 时， f (x) 的值域为； 若 f (x) 在3ax,x 1.2R 上单调递减，则a 的取值范围是.1(0,)0, 13f (x) 在 R 上1当 a 时，分别求出x 1 和 x 1 时的值域，再求并集即可；2单调递减，则需要x 1 时单调递减和1 2 3a ，即可解出答案1a 时， f (x)2x 2, x 1x13,x12所以当 x 1 时，

13、 f (x) 的值域为 (1, +? )，13当 x 1 时， f(x) 单调递减，f (1) 3 2 2 ，又 f(x) 0，3所以 x 1 时 f (x) 的值域为0,2所以 f (x)的值域为(0,)；1 时单调递减，若 f (x) 在 R 上单调递减，则需x 1 时， 1 2 3a ，0a11 2 3a0a111 0a ，a33故a0,13 .1故答案为：(0,)；0, 13本题主要考查求函数值域、指数函数和分段函数的图像性质，属于中档题16 为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取200名学生，收集了他们一年内的课外阅读量(单位：本)等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.

14、这200名学生阅读量的平均数可能是26本；这200名学生阅读量的75%分位数在区间30,40) 内；这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间20,30) 内；这200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间20,30) 内 .所有合理推断的序号是.【答案】【解析】由学生类别阅读量图表可知； 计算75%分位数的位置，在区间内查人数即可； 设在区间0,10 内的初中生人数为x，则x0,15 ,xN ，分别计算x为最大值和最小值时的中位数位置即可； 设在区间0,10 内的初中生人数为x，则x0,15 ,xN ，分别计算x为最大值和最小值时的25%分位数位置即可.【详解】在 中， 由学生

15、类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这 200 名学生的平均阅读量在区间 24.5,25.5 内，故错误；在 中， 200 75% 150， 阅读量在0,30 的人数有7 8 31 29 25 26 126人，在 30,40) 的人数有62人，所以这200 名学生阅读量的75%分位数在区间30,40) 内，故正确；在 中，设在区间0,10 内的初中生人数为x，则 x 0,15 , x N ，当 x 0 时，初中生总人数为116 人， 116 58，2此时区间0,20 有 25 人，区间20,30) 有 36 人，所以中位数在20,30) 内，x 15 时，初中生总人数为131 人， 131 6

16、5.5，2区间 0,20 有 15 25 40人，区间 20,30) 有 36 人，所以中位数在20,30) 内，当区间 0,10 人数去最小和最大，中位数都在20,30) 内，所以这 200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间20,30) 内，故正确；在 中，设在区间0,10 内的初中生人数为x，则 x 0,15 , x N ，当x0 时，初中生总人数为116 人，116 25%29 ，此时区间0,20 有 25 人，区间20,30) 有 36 人，所以25%分位数在20,30) 内，当x15时，初中生总人数为131 人，131 25%32.75，区间 0,20 有 15 25 40人，

17、所以25%分位数在0,20 内，所以这 200名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间20,30) 内，故正确；故答案为：【点睛】本题主要考查频数分布表、平均数和分位数的计算，考查学生对参数的讨论以及计算能力，属于中档题.三、解答题17已知函数f(x) loga(3 x)，其中 a 0且 a 1 .( 1)求函数f (x) 的定义域；( 2)求函数f(x) 的零点；(3)比较 f ( 1) 与f (1)的大小.【答案】(1)(, 3)； ( 2)零点为2；( 3)答案不唯一，具体见解析【解析】(1)由真数大于0求解即可；(2)由loga 1 0，可得函数f(x)的零点；( 3)对a 分类

18、讨论，结合对数函数的单调性求解即可.【详解】(1)由3 x0 ，得x 3 ，所以函数f (x) 的定义域为(,3)；(2)令f (x)0，即loga (3x) 0，则 3 x 1 ，所以 x 2 ，所以函数f (x) 的零点为2；( 3)f( 1) loga(3 ( 1) loga4，f(1) loga(3 1) loga2，当 a 1 时，函数y loga x是增函数，所以loga 4 loga2 ，即 f ( 1) f(1)当 0 a 1 时，函数y logax是减函数，所以loga4 loga2 ，即 f ( 1) f(1).rrr r 1r r18已知向量a (1,3) ， b ( 2

19、,1).向量mr ar 2b ， n a b .2r1)求 a ；rr2)求向量m ， n 的坐标；3)判断向量mr 与 nr 是否平行，并说明理由.rurr 51ur r( 1) a 10 ； ( 2) m (5,1)， n ,； ( 3)向量m与 n平行；详见22( 1)利用向量的模的计算公式求解即可；2)利用向量坐标的数乘和坐标的加减法运算求解即可；3)由向量共线的坐标运算判断.rr1)由 a (1,3)，得 a 12 3210；ur r r2)m a 2b (1,3) 2( 2,1) (5,1)，) 1 2,152) (5, urm） 3ur rm 与 n 平行 .19 中学生研学旅行

20、是通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结是学校教育和校外教育衔接的创新形式，是综合实践育人的有效途.每年暑期都会有大量中学生参加研学旅行活动.为了解某地区中学生暑期研学旅行支在该地区各个中学随机抽取了部分中学生进行问卷调查，从中统计得到中学生.（ 1）利用分层抽样在40,45） ， 45,50）， 50,55 三组中抽取5 人，应从这三组中各抽取几人？（ 2）从（1）抽取的5 人中随机选出2 人，对其消费情况进行进一步分析，求这2 人不在同一组的概率；（ 3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点 值代替，估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值.【答案】 （ 1）从这三组中

21、抽取的人数分别为3， 1， 1（ 2） 7 （ 3） 38百元10【解析】 （ 1）利用分层抽样和频率分布直方图先求出再各区间的比例，再求出人数；（ 2）先求出基本事件的总数，再求出这2 人不在同一组的基本事件数，再求概率即可；（ 3）由频率分布直方图的性质和平均数的计算公式即可求解.【详解】1）由频率分布直方图可知40,45） ， 45,50） ， 50,55） 三组的频数的比为0.06:0.02:0.02 3:1:1 ，所以从 40,45） 中抽取：从 45,50） 中抽取：5从 50,55） 中抽取：5311131113111 人，1 人，所以从这三组中抽取的人数分别为3， 1， 1 ；

22、2）记40,45） 中的 3 人为a1，a2， a3， 45,50） 中的 1 人为b， 50,55） 中的 1 人为c，从这 5 人中随机选出2 人，则样本空间=a1a2,a1a3, a2a3,a1b, a1c,a2b,a2c,a3b, a3c, bc 含 10个样本点，设事件A：选出的2 人不在同一组，则A= a1b, a1c, a2b, a2c, a3b, a3c,bc 含 7个样本点，所以 P(A) 7 ； 10( 3) (30 0.04 35 0.06 40 0.06 45 0.02 50 0.02) 5 38，估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值为38百元.【点睛】本题主要考查

23、频率分布直方图的性质、分层抽样、平均数的求法和古典概型，考查学生的计算能力，属于基础题.20 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8， 乙破译密码的概率为0.7 .记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.( 1)求甲、乙二人都破译密码的概率；( 2)求恰有一人破译密码的概率；( 3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解： “密码被破译”也就是 “甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译 ”可以表示为A B 所以 P(A B) P(A) P(B) 0.8 0.7 1.5请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程.【答案】 ( 1) 0.56； ( 2

24、) 0.38； ( 3)详见解析【解析】 ( 1)由相互独立事件概率乘法公式求解即可；( 2) 恰有一人破译密码表示为AB+AB ， 再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式求解；( 3)小明求解错误的原因是事件A和事件 B 不互斥，然后将甲、乙二人中至少有一人破译密码表示为AB+AB AB ， 再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式求解.【详解】( 1)由题意可知P(A) 0.8， P(B) 0.7，且事件A， B 相互独立，事件 “甲、乙二人都破译密码”可表示为AB ，所以P(AB) P(A)P(B) 0.8 0.7 0.56；( 2)事件“恰有一人破译密码”可表

25、示为AB+AB，且 AB ， AB 互斥所以P(AB+AB) P(AB)+P(AB) P(A)P(B)+P(A)P(B)0.2 0.7 0.8 0.3 0.38( 3)小明同学错误在于事件A， B 不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式正确解答过程如下密码被破译”也就是 “甲、乙二人中至少有一人破译密码可以表示为AB+AB AB ，且 AB ， AB ， AB 两两互斥所以 P(AB+AB AB) P(AB)+P(AB) P( AB) P(A)P(B)+P(A)P(B) P(A)P(B)0.2 0.7 0.8 0.3 0.8 0.7 0.94【点睛】本题主要考查概率的求法、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式，考查学生运算求解能力，属于基础题.2521已知函数f(x) ax 3x2( a 0且 a 1 )的图象过点1, 2 ， g(x) ln x