数列求和不等式的证明策略

1、数列求和不等式的证明策略一. 直接放缩型例1.求证：<!+2 n + 1 n + 2 证明：丄5丄5丄 2n n + k n +11 1 1 1+ + + <+ +v 1(川n 2)2n(k二2)2/7即丄v2例2.1+<2n2n2n n +1 n + 2111 fl+ + << 兀 +1 n + 22n n +1ci =11,tz 2." y vnaa. =11w1 h + +n 2a 3a na 2232 n21，2z 3丄+丄+丄, n +1 n +1n +1an < 2又，=kk>k(k )221 1 1 1v=,k2 r 伙一 1)

2、k- kqs b八111(八1、1、z 11、c1丁足色 < + + + - + < 1 + (1 三)+ (：-；) + + () 一 2< 2.2322 3n-l n n二.可放缩成等差数列型仮!11.求证:z?(/? + 1) < vb2 + vt3+ v(" + d (nwn+)2 2证明：.*+= n /. jl 2 + v2-3 + +n(n +1) >1 + 2 + n ="又顾帀v圧丄沁2 2+ +讪+ 1) v*(3 + 5 + . + 2 + l)二 ；2v(xl),.得证。三可放缩成等比数列型 例 1 数列an满足 an+

3、i=an2-nan+l (ne n+),且 a“nn+2 求证： 一! + ! + + ! < 丄1 + tzj 1 + 禺1 + a n 2证明： an+i=an(an-n)+l>an(n+2-n) +l=2an+l/.an+i+l>2(an+l) r. an+l>2(an-i+l)即金 5 2(/ +1)5 22(° +1) § § 2心(i +1) *( i 9丄+丄+ +丄v丄+丄+ +丄显一丄v丄1 + e 1 +。21 + d“22232n+i 22m+12例 2.已知 f (x) = -,xg (0,+8),数列x满足 xn+

4、i=f (xn) (ne nj ,且 x】二 1,设 an= | xn- v2 i, x + s“为%前n项和，证明：sn<o2证明时=|和-血l = |心-血1 =彳+2-妊厂° |二(血_i)13匚迦兀”+1£+1丨兀”+11又 xn>0 .乳|< (d 1)丨兀” 一血 i < (血 一 1) 2 丨 xn_1-v2l<.<(v2-l)z, lx, -v2i = (v2-1)曲 50=3)+32+ + an<(v2-l) + (v2-l)2 + + (© 1)"得证。四.可放缩成裂项差式型例1求证：1+丄+

5、厶+ < 2 (ne n+) 2232 n2+证明： < =- -(n>2)n_ n(n-l) n -1 n1+w + gvl + j +丄-丄+ +2232 n2223例2.求证:1+斜容+ +咅3(n> 2, ne n)证明：卫*nn vn n4n + n4n (n - l)4n + njn -1qn(n -1)(j” -1 + 4n)_ 1)(n -1 yjn),1+4+4+.+4<1+2(1 i i i+. i i)=3 i <3.2 3-nv2 v2 v3_ 1 vh4n五.两项配凑放缩型例 1已知 xf2+ ,求证：(-1)xi+(-1)2x2+

6、-+ (-l)nxn<l (ne n+)(-2)匕证明：(-1)%=(-1广2 +-27叫不妨考虑n为奇数时，(-l)nxn+(-l)n+1xn+1=t + 2n+l , 2" + 2,+11 1 » »+1 (2”+ )(2"匕)2 2于是n为偶数时,(-1血+(-1)%+(-1)%* + £ +芥n为奇数时，前n-1项为偶数项,于是有(-1)xi+(-1)2x2+ (-1) nxn<l+ (-1) nxn=l-xn=l- (2+(一 2)”)二一1+例2已知an=- 2n-2+(-l)n-1(nwn+),证明：对任意的整数n)&

7、gt;4,有丄+丄+ +3a4 a5证明：由通项公式得a4=2,当nn3且n为奇数时，丄+ -an +1丄亠+丄丄x27"222 +1一 122加7 + 2心-2?,"2乏=仝(丄+亠,2 22,_3 2 2,_2 2,_12h-3当 m>4 且 m 为偶数时， + + + = 4- ( + ) + + (4-)勺 a55 a4 a5 a6am_x am乙+ 2(丄+厶+厶)j +冬丄m 一亠)v丄+ j?,2 2 2 242心 2 2 42心 2 8 8当 m>4 且 m 为奇数时， + + + < + + + +< ,勺 a5a,na5a.n知+

8、18综上对任意整数m>4有丄+丄+ +丄v?。a4 a5am *评析：由于通项中涉及有(-1广这一符号法则，因此结合两项之和将其消去，再行放缩便能易 于求和使问题得证。六.利用题设结论例1已知不等式丄+ + +丄 > 丄|log2 n,ne nn > 2.|log0 n表不不超过log9 n的最大整23刃 2数。设正数数列©满足：a. =b（b>o）,an <na,-,7? >2.n + an-求证<冷而山.简析当«>2时° §上亠=>丄仝沁=丄+丄，即n + an-%an-l% 斤(-)>ta

9、n cln- n k=2 ak ak- k=22b于是当h >3时有>-og n>a <an 2&2"2 +灿io% 川例2已知严（i + r）+丄.（/）用数学归纳法证明> 2（n > 2）；（）对 n" +n 2"ln（l + x）<x对兀>0都成立，证明a”v,（无理数 2.71828）解析（）结合第（/）问结论及所给题设条件ln（l + x）<x（x>0）的结构特征，可得放缩思、路：< (1 + - + )an => ln«,f+1 <ln(l +=>n

10、+ n 2/r +/?2八11工曰./11-lnfl"+ + f°于i以齐+刃'ipt c 1 1 =2< 2.j “ 2"2z (lne+|-lnq)s工)nati1=1f=l 1 +1 lin d w 1fn°in% - in。 v 2 n an <.f "注严+治f +1"+ -)(心+1)=> 77(/?-1)“ln(a”+i +1) - ln(a” +l)<ln(l +1) <1n(n-)nn-)ii=>工*(如 +l)-lna +1)v 工nln(a” +)-n(a2 +l)vl

11、vl，r=2/=2 (一1)ri即 ing +1) v l + ln3 =>d < 3e-l < e2.七.利用单调性放缩例1.设数列an满足汁=ci； - nan + l（n g皿），当ax >3时证明对所有n > h有”+1(i)an > /? + 2 ； (n)! + !1 + e l + a2丄v丄1 + q” 一2解析 用数学归纳法：当応1时显然成立，假设当n>k时成立即纵以+ 2,贝ij当兀=k +1 时ak+l 二务( k) +1 x 伙 + 2 k) + 1 n (r + 2) 2 + 1 > k + 3 ,成立。(n)利用上述部

12、分放缩的结论仏务+1来放缩通项，可得例2已知各项均为正数的数列atl的前n项和满足s” > 1 ,且6s” = (a“ + l)(an + 2),心矿(1) 求©的通项公式;(2) 设数列乞满足1) = 1,并记7；为仇的前n项和，求证：37； +1 >log2(an +3),ne n*(i )解：由a】=s| =2+1)+2)，解得a】 = l或a)= 2,由假设ai=s)>l,因此a】 = 2。又由 an+i = sn+i_ sn=2(a“+ +l)(%i +2) = 2 (a” +l)(a” +2),6 6得 an+i 為-3 = 0 或 an+i=an因an

13、>0,故an+i=an不成立，舍去。因此an+-a-3 = 0o从而(an)是公差为3,首项为2的等差数列，故aj的通项为an=3n-2o(ii)由碍(2” -1) = 1可解得3/? -1j因此 37； +l-logz(an + 3) = log3n + 2/(/? + !)3/1 + 2f (/?) 3n + 5<3n + 3<3n + 2(3n + 5)(3/? + 2)因(3舁 + 3)2-(3/? + 5)(3川 + 2)2=9/? + 7>0,故特别的 f(n) >/(l) = >1 o 从而 3tn + 1-log(d” +3) = log f

14、(n)x),即 37；+1>1(崔2(5+3)。例15数列&“由下列条件确定：兀严d>0, a；j+1=1l +al1e7v(i)证明：对刃上2总 2(兀”丿有g皿 (id证明：对心2总有兀肿辆(02年北京卷第(19)题)解析构造函数fx) = -x + -，易知f(x)在石,+8)是增函数。< x丿在爸,+oo)递增故忑+| >茴)=罷对(ii)有£_兀；?+1xn)，构造函数/(%)=!x - -i它在丽,+oo)上是增函数, 兀丿故有£ - x> f(4a) = 0 ,得证。xn)八.数学归纳法武汉市教育科学研究院命制的“武汉市2

15、005-2006学年高三年级二月调研测试”第22题：已知函数f(x)是在(0,+oo)上每一点处可导的函数，若xfz(x)>f (x)在x>0上恒成立，1)略；2)求证：当 xi>0, x2>0 时有 f (xi+x2) >f (xi) +f (x2) ； 3)已知不等式 ln(l+x) <x 在 x>t 且xh0时恒成立，求证:卩22+卩32+. +占吨+ 1)2>2(” +帥+ 2)其中第3问给出的参考答案为：由 2)结论推广到一般有 f(x1) +f (x2) + + f (x)<f(x1+x2+ + xn) (n>2),设 f

16、 (x) =xlnx,则 在 xi>0(i=l,/?)时，有 xilnxi+x2lnx2+ + xnlnxn<(xi+x2+ + xn) ln(xi+x2+ + xn),令xn=1s + l)2记se+x2+- + xf丄+ + lrsk丄 + 丄+ + = 1-22325 + 1)1-22-3 讪+ 1) h + 1又sn>3-41 1 1_i=(n +1)( + 2)2" + 2(xi+x2+ + xn) in(x1+x2+ + xn) 5e+ qln（l-占）-占也+勺+ + £）v-占（*-土）二一2（卄|）（卄2）卩卩却谆話护詁厂一乔e原不等式成立。上述证法的技巧性太强，通过结论2）的推广，及：的缩小与放大的同时运用，才使得 放缩的尺度恰如其分，笔者经过进一步研究，得出了以下简洁证法: 当 kw 皿时'伙+ )2 ln(w) > 伙+ 尸 ln“=伙+ )2 > 伙+ 1)伙+ 2)一石1 k 十2和22+932+.+占吨+小* + * +.+侖、11111