第三章内民大 恒定电流

1、第三章 恒定电流前几章（真空、导体与电介质）为静电学，涉及静止电荷的电现象；本章论述有关运动电荷知识。带电粒子运动伴有电量迁移而形成电流，若电流不随t而改变，则称为稳恒电流，即直流(DC)。§1 稳恒电流的稳恒条件及导电规律 一、电流电荷的定向移动形成电流。1、产生电流的条件产生电流需要两方面的条件： 2、电流方向惯例规定：正电荷流动的方向。多数情况下导电由负电荷引起，而正电荷沿某方向定向运动与负电荷沿反方向运动产生相同效果（注：有例外，如霍耳效应）。二、电流强度和电流密度矢量1、电流强度I金属中自由电子作无规则热运动，即使在，仍，但。故无宏观净电量迁移。定向运动形成宏观净电荷迁移，

2、此定向运动为漂移运动需由电场提供力作用来完成，虽小，约为10 量级，但却形成宏观电流。电流强弱用电流强度I描述，定义如下：即导体中单位时间通过的某一给定截面的电量为通过该面的电流强度。（不涉及导体截面粗细和截面上电流详细分布）。V说明+(1) I为标量，单位为:安培（A） SI制中基本单位之一。 ， (2) 仅粗略描述单位时间内通过某一曲面（可大可小、可任意形状）的总电量，不够点点详细，如图3-1所示。(a) I相同，但分布有别 (b) 高频趋肤+V(c) 电阻法探矿 (d) 用电流场模拟静电场图3-1下面引入电流密度矢量详细描述电流场分布。2、电流密度矢量 是空间坐标的矢函数，其定义为： 说

3、明 (1) 的单位为，一般，空间、时间而变，构成矢量场-电流场。可引入电流线、电流管的概念：电流线即线，其上切向代表电流方向、数密度表示的大小；电流管即由线围成的管状区域。例：导线表面为一自然电流管。(2) 与电流密度的关系 一种载流子：，为漂移速率，为荷电的粒子数密度，如图3-2； 多种载流子：。即使（电中性），但并不代表（因为可不同）。图3-2图3-33、I与的关系即强度与通量的关系，如图3-3所示。故类似于电通量与场强的关系：。 三、电流连续性方程 稳恒电流的闭合性1、电荷守恒定律的数学表述 研究通量与电荷时间变化率的关系：在电流场中任取闭合面S，其体积为V，如图3-4，其内含电荷总量为

4、sv图3-4单位时间内通过闭合面S流出的总电量为：，据电荷守恒，此流出量必等于面S内电荷的减少率，即此即电荷守恒定律的数学表述，也称之为电流连续性方程。它表明电流场中电流线是有头有尾的起自正电荷减少处、止于正电荷增加处。2、稳恒电流条件及闭合性(1) 稳恒电流条件一般，电流场总是伴随电场（因为推动q形成），而该电场又是由导体各处（内、外及表面上）分布着的电荷所激发，即： 欲使电流稳恒，即，则需空间各处的分布不随t而变，有，由电荷守恒得稳恒电流条件为(2) 稳恒电流的闭合性由可得稳恒电流线的一个重要性质闭合性：稳恒电流从闭合面S某处流入的电流线条数与流出数相等，电流场中找不到线的源和尾，即线闭合

5、而不中断。线的闭合性就决定了稳恒电路是闭合电路。如图3-5，分析如下： (a) (b) 图3-5在图3-5(a)中，已充电的C，让其放电形成暂时电流，空间乃至分布变化，因而不稳定；在图3-5(b)中，若C换成电源，则电流线闭合。(3) 说明点： 空间电荷分布不变，不意味着电荷不动，而应是动态分布，即：任何地方流失的电荷必被别处流来的电荷所补充。 稳恒电流对应的电场称为稳恒电场，仍遵从： ， 故仍可有电势概念，不过相比静电场，稳恒电场要求要放宽些，静电场仅为稳恒电场之特例。四、欧姆定律（不含源）1、欧姆定律的积分形式欲形成电流I，则需电场力推动电荷定向运动，有了，在导体两端就有电压U ，I与U

6、的关系满足欧姆定律，或其中R为电阻，反映导体对电流的阻碍作用，单位：，且。称为电导，反映导体对电流的导通能力，单位：西门子。称为欧姆定律的积分形式，是因为其中各量均具有积分形式：对于粗细均匀、材料均匀的导体，其电阻为式中为电阻率（单位：），为几何尺寸。而电导率为+当导线的、S任一或都不均匀时，基于上述R表示形式和电阻串联规律，S、积分流动点的函数：，积分路径应沿电流线方向，如图3-6。 图3-6可见，R与电流方向有关。满足欧姆定律的媒质称为欧姆媒质。说明两点(1) 是不同的物理量。描写导体本身特性，与材料、温度有关；描写一段导体性质，除与上述有关外，还与几何形状、尺度等有关。(2) 导体或元件

7、的伏安特性，有线性、非线性之分，其伏安曲线如图3-7所示。线性时，R与I、U无关；非线性时，R与I、U有关（如：二极管）。图3-72、欧姆定律的微分形式电流由电场推动电荷形成，故有直接联系。如图3-8，与方向相同，有图3-8将代入上式，并考虑方向得该式表明，与点点对应，当地的推动当地的形成。稳恒，则也稳恒；一旦消失，则也消失。推广 (1) 以上指稳恒场，非稳恒场时也成立；(2) 以上不含非静电场力对应的场，而当在电源内时有五、电功率 焦耳定律1、电功 电功率电流通过导体时，正电荷从高电势到低电势。若电路两端电压为U ，则当q单位的电荷通过它时，电场力做功为因而，电功为而单位时间做功称为电功率表

8、明：若两端电压U ，流入电流为I ，则此段电路吸收功率即为IU，与该电路中用电器的性质无关。单位为：(1) 电功A J, 1KW·H =3.6×106 J 称为一度电；(2) 电功率p W ,10KW =103 W。2、焦耳定律电流通过欧姆媒质时，其电阻为 R，则电能以热的形式释放。热能：；热功率：-焦耳定律；热功率密度：，表示单位体积欧姆媒质所耗热功率。推导如下：在导体内，取S=1、V=1的截面体元，如图3-9。则图3-9，代入，得。对于欧姆媒质，所以。六、金属导电的经典微观解释1、金属经典电子论金属可视为晶格点阵上的原子实（微振动）与自由电子（热运动）之集合。忽略电子间

9、的相互作用，遵从（经典！），电子与晶格的作用仅考虑碰撞时，用一次碰撞理论（即一次碰撞，电子动能即丧尽，散向何方随机）。如图3-10，当无外电场时，自由电子参与无规则热运动，其平均值为零；当有外电场作用时，自由电子参与两种运动：热运动（与无关）、漂移运动（与有关），且。设电子数密度为n，则形成宏观电流为以下求（）。2、欧姆定律的解释即导出电导率与微观量的关系。匀加速 图3-10 图3-11自由电子在电场中获得加速度：。因与晶格碰撞受阻，速度增加受限制。下面考察相邻两次碰撞的细节：设相邻两次碰撞之间历经，其间平均速率为 （ 热运动速率）所以，且因v与E无关，故也与E无关。在相邻两次之间，由初始漂移

10、至末速，如图3-11，有求得自由程内平均漂移速度为将 代入之，得 再将此式代入前述，便得最后，将上式与以前对比，可得电导率为式中各量均与无关，故正比于，解释了欧姆定律。理论评价（ 据热力学，电子热运动） ，即 ，表明：随T，电阻增大，与以前定性地一致。但可惜地是与实验结果不符合。需借助量子理论加以解释。至于焦耳定律的解释，这里从略：其方法类似，考虑电子所获动能经碰撞交给晶格，单位体积传递给晶格能量为 。3、金属导线导电的图象室温下，电子平均热运动速率，而漂移，虽小却是形成I 的基础。电路以光速联系，表明：当地的推动当地的形成，电流非传播能量的载体，能量通过导线周围空间传递。电子在导体内既不是“

11、马拉松”、也不是“接力赛”式。电路导线起到引导能量从电源传向负载的作用。§2 电源及其电动势一、电源将其他形式能量转变成电能的装置。，欲形成稳恒电流，电路中电源不可少且电路闭合。分析如图3-12(a),若初始，导线相连后形成瞬时电流而达静电平衡。电能耗掉，仅靠静电力不能将此恢复原状，因而需要：电路闭合，含非静电力如化学力等，参见图3-12(b)。(a) (b)图3-12下面分析内、外电路电流成因：图3-131、电源内既存在稳恒电场，又存在与非静电力等效的非静电场：，和反向，克服使正电荷电势升高，如图3-13。总场为， 电源放电时：，正电荷由低电位到高电位，非静电力做功，其它能转化为电

12、能。2、电源外仅有稳恒电场，推动导线中正电荷由高低电势，途经其它用电器（或电阻）而将电能其它能。稳恒电场起着能量中转的作用。电源外。两点说明(1) 存在非静电力的空间，其静电平衡条件应从电荷受合力为零考虑，修改为： (2) 在没有非静电力的地方（例如电源外），稳恒电流条件给出均匀导体内没有净电荷，电荷只分布于导体非均匀或界面处：稳恒电场正是由这些电荷所激发。二、电动势将单位正电荷由电源负极经电源内移到正极时非静电力之功： （电源内）因为电源外，又无旋，所以上式也可写为：反映电源中非静电力做功的本领，与外电路无关，是标量。的单位为：伏特。 三、一段含源电路欧姆定律 即求电源路端电压。如图3-14

13、闭合电路中一段含源电路：因为，将代入上式，取积分路径：，则 图3-14现分述上式中的第二项：1、电源处于放电状态时如图3-15， ，故，经电源内有其中为电源内阻,故 即路端电压小于电动势。图3-15 图3-162、电源处于充电状态时 如图3-16，同上分析，因，而有 即路端电压大于电动势。 讨论(1) 一段含源电路欧姆定律表达式是的翻版，是场量公式在路论中的化身与表现。以上充、放电情况均符合顺沿积分路径写电压降规律，如图3-17。（放电）（充电）图3-17结果为：电源放电 电源充电 (2) 当内阻时，有恒定，即成为理想电压源。此时,不论I如何，电源输出恒定电压（无限大功率源）。 此时，有路端电

14、压而无电流，为电磁学实验中补偿法测提供了理论启示。 ，因为，故严禁如此。(3) 能量转换四、全电路欧姆定律 如图3-18简单含源闭合电路，处于放电状态。由，而此即外路电压：，所以，即，故放电等效电路图3-18讨论 全电路欧姆定律实质为 之对应的积公式； 推广至单闭路多电源、多电阻，有分母电阻相加恒正，分子是代数和，决定I方向的是净电动势。 含源电路会表现出有电流而无电压、或有电压而无电流现象，如图3-19。 (a) (b) 图3-19在图3-19(a)中：五个相同电源顺串成闭路，则但是在图3-19(b)中：两相同电源反串成闭路，则但是 输出功率匹配条件如图3-20，电路功率为 ，令，得，代入上

15、式得电源输出功率、负载获得最大功率分别为， 可见，效率，匹配时：。图3-20§3 简单电路直流电路中多见含电阻、电源，简单电路中能通过串并联化简解决问题。一、电阻串并联1、规律，串联同电流,大电阻 “当家”-分压大、决定I (略小电阻)；，并联同电压,小电阻“当家”-分流大、决定总I(略大电阻)。 混联：综合运用上述公式，最终可化成一等效电阻。2、变阻器 功用：可变电阻,制流、分压。 联接方式:原理如图3-21。使用须知: 两固定接头A、B和一个滑动头， 了解变阻器之； 接通电源前限流-达最大；分压-达最小。(a)制流（串入） (b)分压（并入） 图3-21 二、电压、电流的测量 即

16、电表改装原理。1、表头磁电式指针（模拟）型，灵敏度高的直流电流表G,规格用描述，即满度电流，量程较小，级。2、电压表测电路中某段电压总是跨接并联使用，直接用表头跨测时最大可测电压：，此不满足使用，需扩程-串联分压电阻（扩程电阻）。图3-22如图3-22，改装成量程为的电压表，所串扩程电阻计算如下：（并联支路）若扩程至的n倍，即，则改装后的电压表内阻为显然，内阻增大，有利；误差主要源于测量时的分流，需小，越小越好。3、电流表测电路中电流总是将电流表串入电路，直接测量最大只能达（级），过小，需扩程-并联分流电阻。如图3-23，改装成量程为I的电流表，所并电阻R计算如下：图3-23若扩程至n倍：，则

17、分流电阻为改装成电流表的总内阻可见，内阻变小。三、电阻的测量-直流电桥 比较法测电阻：比较电桥两端是否等位，电桥上用检流计G检查，如图3-24。当，即加在G两端电压为0，电桥即平衡。图3-24平衡条件：平衡时，（），所以即， 两式相除得， 或运 用：，已知三个电阻即可知第四（测双线断开点等）。说明 误差来源有； 型式变种； 非平衡电桥也有应用，如测，（此属复杂电路）。四、电动势的测量-电位差计补偿法测量：在没有电流通过电源情况下（因而内阻压降），测得电源端压即电动势。1、原理如图3-25(a)，-待测电动势，-可调电源，当时，由知，但不易确定。下面将电路演化为图3-25(b)。如图3-25(b

18、)，上回路为辅助回路，其中R为制流电阻；下回路为工作回路，C为可动触头。A、C端之上部分代替图3-25(a)中的；以使在AB之间能存在C点，使，此时工作回路（平衡）。对应于辅助回路，在一定下，调节R可改变I；辅助回路中电流的调节，使，此时，即。已知，则可得。(a) (b)图3-252、实测由上述原理知，关键是对平衡时I和的测定。实用中对此两量设计和安排如下：滑线电阻由一系列标准电阻串联而成。在辅助工作电流I给定的情况下，与有 一一对应关系，因而可以把与各段电阻一一对应地标刻在仪器面板上。图3-26：标定为一定值，让电位差计统一工作在下平衡。综上可见，关键是调节R是I准确地工作于标准值，这就存在

19、着校准的问题。方法如下：如图3-26，其中-标准电池，其电动势已知且稳定（注：不许倒置！）。：滑动C，找到对应 的位置C，看G有无偏转：若，则恰好；若有偏转，则调R直至。此时已校准工作电流。：测量，不再调,只拨C找到的位置。拨动C即是改变，从面板上直接读出与此对应的即可。§4 复杂电路不能用简单电路方法解决的多电源、多电阻复杂联接的电路问题，解决这类电路计算的基本公式是基尔霍夫(Kichoff)方程组（KCL、KVL）。一、基本概念1、支路-电源与电阻串联而成的一段电路，其上相同。往往以为求解对象。2、节点-三条或更多条支路的联接点。还可推至广义节点。3、回路-由几条支路构成的闭合通

20、路。投影：以直流电桥为例，说明其中含有：6条支路、4个节点、7条回路。二、基尔霍夫方程组1、第一方程组（KCL：谈节点电流关系）理论依据： 将应用于节点。电流正方向：各支路电流真实方向事先难以判断，可预设，照此列方程，终结果为正则真、负则伪。此人为预设的流向，即参考正方向。规 定：流出节点的电流前冠“+”号，流入节点的电流前冠“-”号。内 容：。 即流入节点的各支路电流之代数和为零。注意事项(1) n个节点可列（n-1）个独立节点电流方程；(2) 定律公式中含双层正负号-形式上的“”，本身的正负；(3) 各支路电流正方向是人为选定的，一旦选定，中途不再随意改动。2、第二方程组（KVL：谈回路电

21、压关系）理论依据：将用于回路；绕行方向：即沿回路线积分的方向，人为事先任意选定，从某处开始，沿回路绕行一周回至原处。电位降落正负规定：沿回路绕行历经从低到高或从高到低电位的过程，统称电位降落。 具体做法是-顺流而下，R上电位降为正，反之为负； 从电源正负，电位降为正，反之为负。内 容： 。即沿回路绕行一周，电位降落之代数和为零。注意事项(1) 公式中仍存有双重正负号问题，各有其意；(2) 个独立回路可列个独立电压方程（平面网络，网孔回路即独立）。三、基尔霍夫方程组对复杂电路的可解性复杂电路多见求解各支路电流：条支路有个未知支路电流待求。此外，个节点：可列个独立节点电流方程；个独立回路：可列个独

22、立回路电压方程。拓扑学可证：，即方程数恰好等于未知数个数，可解。参见大学物理1985年第3期、第12期梁灿彬等的文章。四、例题与步骤例1：如图3-27电位差计电路。已知；。试求。图3-27解：标定各支路电流，选好绕行方向，判知两节点（A，B）、两网孔，可列三式：消去得代入数据，成为解出 表明均与实际预设方向一致。连带计算电位差为即B点电位高。例2：直流电桥电路中求。 图3-28如图3-28，标各支路电流及正方向；选网孔绕向；图中已标各电流，其中已用节点方程，可见有。三网孔，列三回路方程整理成 用线性方程组之行列式解法解，经算只要，则有：，其中欲电桥平衡，则，即，有电桥平衡条件一般步骤 设出各支

23、路，并标注正方向参考； 列节点电流方程，独立方程； 列回路电压方程：先选独立回路，后标绕行方向，再列独立回路方程； 联立方程求解，讨论结果，指出的实际方向； 求出其它。§5 温差电及电子发射一、能量转换的可逆与不可逆现象不可逆：焦耳热电阻媒质导电产生热量Q、散发，与I 流向无关，一去不返； 热扩散热扩散（传导），单向过程； 浓度扩散粒子从扩散，单向进行。可 逆：电池充电，电能转化为化学能；放电，化学能转化为电能。 温差电实现：，下面即述：二、ThomSon effect 温差引起，发生于体内。1、汤姆孙效应及解释两端不等温的金属棒，当在其中通过电流时，除产生与R有关的焦耳热外，还要吸

24、收或放出一定的热量，且是吸收还是放出热量与I的流向有关，此即Thomsons effect.结合图3-29解释：设，则电子从高温向低温扩散，非静电力热扩散作用，形成 ：图3-29外加电流：两种情况。只看图3-30中A、B点之上的部分,可以理解为(1) 当I的流向在金属棒内，相当于电源放电，金属棒吸热；(2) 当I的流向在金属棒内，相当于电源充电，金属棒放热。（相当于电源放电）（相当于电源放电） 图3-302、汤姆孙电动势的计算实验表明：，其中三、Peltier effect 数密度差引起，发生于面上。1、及解释外加电流通过两种金属A、B（ ）间的接触面时，发生吸、放热现象，与I流向有关，过程可

25、逆。此即poltiers effect。分析如图3-31，设，则电子从扩散，非静电力自由电子扩散作用。，表示为，且。图3-31相当于放电相当于充电吸热放热图3-32如图3-32，外加电源提供I条件，仿照上述理解：(1) 当I的流向在金属棒内，相当于电源放电，金属棒吸热；(2) 当I的流向在金属棒内，相当于电源充电，金属棒放热；2、Peltier 电动势 单接触面：前足标代表n大者； 同一温度T下不同金属多段相连，如图3-33 ，指代数和。 同一温度不同金属联成闭路，则 综上说明：和两种电动势均不大，数量级：伏。 T 图3-33 图3-34四、温差电效应及应用（thermoelectric ef

26、fect and application）1、总结与回顾前已分述，仅靠单一形式均不能使电路形成稳流。2、办法不同材料不同温度下串成闭路，两种形式的电动势合作用于电路，可实现，如图3-34，有此称为温差电动势。3、能量关系吸、放热能之差=维持电流的能源。4、温差电偶和温差电堆、应用。参见教材（从略）。第三章 恒定电流 导体处于静电平衡时，导体内场强处处为零，电荷无定向运动。若导体内场强不为零，则导体内自由电荷将在电场力作用下定向运动，大量电荷的定向运动形成电流，本章研究电流问题。§1电流的稳恒条件和导电规律一、电流强度和电流密度（一）、电流强度1、电流导体中电荷作定向运动形成电流，方向

27、和大小都不随时间变化的电流叫做恒定电流。（也称传导电流）载流子：导体中形成电流作定向运动的电荷，称为载流子。不同导体中，载流子不同。例形成传导电流的条件：（1）存在可自由移动的电荷载流子（内因）；（2）导体中存在电场（电压）（外因）。电流分类：（1）传导电流：导体中电荷定向运动形成的电流；（2）运流电流：带电体作机械运动形成的电流（3）位移电流：变化电场。2、电流强度电流的强弱用电流强度来表示，其定义为：单位时间通过导体任一截面的电量，称为通过该截面的电流强度。假定在时间内，通过导体截面的电量为，用I表示电流强度，则有 （31） 方向：规定正电荷的运动方向为电流方向。（是标量，为研究方便规定了电流方向） 一般： 交变电流 =恒量时，电流的大小和方向都不变，称为恒定电流单位：制中，单位是安培(用A表示)，1安培1库仑秒。此外，还有、等。（二）电流密度虽能从整体是描写通过导体某一截面电流的强弱，但一般来说，导体内各点的电流分布是不相同的，为了描述电流分布的详细情况，我们引入一个新的物理量电流密度。定义：在电流通过的导体中的某处取一小面元dS ，使dS的法线单位矢量的方向和该处的电流方向一致，设垂直通过dS的电流强度为dI，则定义电流密度 为： = (32)该式表明，大小：导体中某点垂直通过单位面积的电流强度，方向：沿该处正电荷运动方向，即电流方向。与该处小面元dS的法线方