异面直线所成的角求法-归纳加分析

1、异面直线所成的角、平移法:常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处 理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1.在空间四边形 ABCD中，AD = BC= 2, E, F分别为AB、CD的中点，EF= 、3 ,求AD、 BC所成角的大小.解：设BD的中点G,连接FG, EG。在EFG中 EF= ,3 FG= EG= 1AZEGF= 120 °/AD 与 BC 成 60 ° 的角。2 .正 ABC的边长为a, S为 ABC所在平面外

2、的一点，SA= SB= SC= a, E, F分别是SC 和AB的中点.求异面直线SA和EF所成角.答案：453. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图 SA = SB= SC,且 ASB = BSC=CSA分别是AB和SC的中点.求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.证明：连结CM ,设Q为CM的中点，连结QN则QN /SMAzQNB是SM与BN所成的角或其补角连结BQ ,设SC = a ,在BQN中BN = -Ya NQ =弓 SM =子 a BQ =aBN2 NQ2 BQ210BACOSZQNB =2BN NQ4.如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，/BCA = 90 

3、6;,M、N分别是AiBi和AiCi的中点,若BC = CA = CCi ,求BM与AN所成的角.解：连接MN ,作NG /BM交BC于G,连接AG , 易证ZGNA就是BM与AN所成的角.设：BC = CA = CCi = 2 ,贝U AG = AN = 5 , GN = BM = .6 ,COS ZGNA =6 5 52.6,5.30。io5.如图，在正方体 ABCDAiBiCiDi中，E、F分别是BBi、CD的中点.求AE与DiF所成的角证明：取AB中点G,连结AiG, FG,因为F是CD的中点，所以GF/AD ,又 AiDi/AD ,所以 GF/AiDi,故四边形GFDiAi是平行四边

4、形，AiG/DiF。设AiG与AE相交于H ,则ZAiHA是AE与DiF所成的角CiC因为 E是 BBi 的中点，所以 RtKiAGBE, ZGAIA= ZGAH,从而ZAIHA=90即直线AE与DiF所成的角为直角。6 .如图i 28的正方体中，E是A 'D'的中点(i)图中哪些棱所在的直线与直线 BA '成异面直?求直线BA '和CC '所成的角的大小；(3)求直线AE和CC'所成的角的正切值；求直线AE和BA '所成的角的余弦值解: (i)V A 平面BC ',又点B和直线CC'都在平面BC'内，且B CC；

5、直线BA ' 与CC'是异面直线同理，正方体i2条棱中的C'D '、DD '、DC、AD、B'' 所在的直线都和直线BA '成异面直线(2) V CC' BB ',BA '禾BB '所成的锐角就是BA '和CC'所成的角V ZA 'BB =45 ° BA ' 和CC'所成的角是45 °V AA ' BB' CC', 故AE和AA '所成的锐角公'E是AE和CC'所成的角AEIi在RtAA E中

6、，tan ZAAE = = ,所以AE和CC'所成角的正切值是？/ /取B'C'的中点F,连EF、BF,则有EF= A B = AB,/ ABFE是平行四边形，从而 BF=AE,即BF/AE且BF=AE. BF与BA '所成的锐角 'BF就是AE和BA '所成的角（图 1 29）设正方体各棱长为2 ,连A 'F,利用勾股定理求出 A BF的各边长分别为A B = 2 2 , AF= BF= .5 ,由余弦定理得：cos ZA BF=( ) (L)-2 22 557.长方体ABCD AiBiCiDi中，若AB=BC=3 , AA=4 ,求异

7、面直线BiD与BCi所成角的 大小。解法一：如图，过Bi点作BEBC交CB的延长线于E点。贝U/DB i E或其补角就是异面直线 DB i与BCi所成角，连结DE交AB于M , DE=2DM=35 ,7、一 347、一 34CoS XDB i E= jB i E= arc CoS i70i70AlA-.Bi 丿ClAfl 4解法二：如图，在平面 DiDBBi中过B点作BEDB交DiBi的延长线于E,贝UCBE就是异面直线DBi与BCi所成的角，连结Ci E,在ABiCiE中,ZCiBiE=135,CiE=3 字5 ,cos ZCi BE=需,/.ZCiBE= arc cos 74i70练习：8

8、.如图，PA 矩形ABCD ,已知PA=AB=8 , BC=i0 ,求AD与PC所成角的余切值为。9.在长方体 ABCD- A iBiCiDi 中，若棱 B Bi=BC=I ,AB= 3 ,求D B和AC所成角的余弦值.AB中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图连结BiC交BCi于O ,过O点作OEDB ,贝U ZBOE为所求的异面直线 DBi与BCI所成的角。连结EB,由已知有BID34 , BC1=5 , BE=乎,"os ZBOE=TOE= arccosA170DICIAIBI图AIADl EC31J

9、解法二：如图，连DB、AC交于O点，过O点作OE/DBi ,过E点作EFCB,贝UZOEFT3或其补角就是两异面直线所成的角，过 O点作OM /DC ,连结MF、OF。则OF=23 ,2CoS ZOEF=7 -. 34170异面直线BiD与BCi所成的角为arccos74解法三：如图，连结DiB交DBi于O,连结DiA,则四边形ABCiDi为平行四边形。在平行四边形ABCiDi中过点O作EFBCi交AB、DiCi于E、F,则ZDOF或其补角就是异35734面直线 DBi与 BCi所成的角。在ADF中DF=,cos ZDOF= , Z2i70DOF= arc cos 。 i70课堂练习i0.在正

10、四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线 AE和BD所成角的余弦值。补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A 2B2C2D2,连结D2B ,则DBi/D2B,C1BD2或其补角就是异面直线 DBi与BCi所成的角，连C1D2, 则厶C1D2C2为Rt , CoS CBD2=乙叟,二异面直线 DBi与BCi所成的角是170734arc cos i70B7D,/* f/CHD： -C图课堂练习：ii.求异面直线AiCi与BDi所成的角的余弦值。在长方体ABCD-A IBiCiDi的面BCi上补上

11、一个同样大小的长方体，将 AiCi平移到BE,则 DiBE或其补角就是异面直线 AiCi与BDi所成的角，在ABDiE中,BDi=3 ,D1E=42 + 2a = 25二、利用模型求异面直线所成的角模型i引理：已知平面的一条斜线a与平面所成的角为 i ,平面内的一条直线b与斜线a所成的角为,与它的射影a '所成的角为。求证：COS = COS i COS 20在平面的斜线a上取一点P,过点P分别作直线c、连接OB ,贝U OB丄b.在直角AAOP中,COS在直角AABC中,COS在直角AABP中,COSAQAPABAOABAP .所以 cos iCOS 2AP AOABCOSAP所以

12、COS I COS 2 COS *证明：设PA是的斜线，OA是PA在上的射影，OBb ,如图所示。则 PAO= i, ZPAB= ,OAB= 2, 过点O在平面内作OB丄AB ,垂足为B ,连结PBoOAABAB可知 PB AB。所以 cos i= , cos = , COS 2=PAPAOA所以 COS = COS i COS 2o利用这个模型来求两条异面直线 a和b所成的角，即引理中的角o 需：过a的一个平面,以及该平面的一条斜线 b以及b在内的射影。i2.如图，MA丄平面ABCD ,四边形 ABCD是正方形，且 MA=AB=a ,试求异面直线 MB 与AC所成的角。C解：由图可知，直线

13、MB在平面ABCD内的射影为AB ,直线MB与平面ABCD所成的角为45 ° ,直线AC与直线MB的射影AB所成的角为45 °， 所以直线AC与直MB所成的角为,满足1COS =cos45 ° cos45 O=丄，所以直线AC与MB所成的角为60213.已知三棱柱ABCAIBICI的侧棱与底面边长都相等,Al在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CCi所成的角的余弦值为(D(A)手(BV(C) ¥Bi(D)解：设BC的中点为D ,连结AiD，AD ,易知AIAB即为异面直线AB与CCi所成的角,由三角余弦定理，易知coscos AlAD co

14、s DABAD ADAlA AB33 .故选D14.如图，在立体图形 P-ABCD中，底面 ABCD是一个直角梯形， BAD=90 °,ADBC ,AB=BC=a , AD=2a , 且 PA 丄底面 ABCD , PD 与底面成 30 ° 角，AE 丄PD于D。求异面直线AE与CD所成的角的大小。解：过E作AD的平行线EF交AD于F,由PA底面ABCD可知，直线AE在平面ABCD内的射影为 AF ,直线AE与平面ABCD所 成的角为 DAE ,其大小为60 o ,射影AF与直线CD所成的角为 CDA ,其大小为45 °,所以直线与直PEF线所成的角满足cos =

15、cos60os45 =丄,所以其大小为4arccos 一4模型2 定理：四面体ADBCD两相对棱AC、BD间的夹角为，则有ADj ÷ BCa -AE3-DCli2AC，BD日=arccs5证明：BD? ACBD BDCoS而 BD BA ADBD?AC BA AD ?AC BA?AC AD?AC2 2 2 2 2 2AB AC BC AD AC CD2 2 2 2AD BC AB CD2 22ADa 十 BCa -ABa-DCi所以有:15.长方体 ABCD AiBiCiDi 中，AB=AA =2cm , AD=ICm ,求异面直线 AiCi 与 BDi 所成的角。解：连结BCi &

16、gt; AiB在四面体为三，易求得CO= AlD】十 ECF-血厅一 Dpf 由定理得：55所以二、向量法求异面直线所成的角i6.如图，在正方体 ABCD-A IBiCiDi中，E、F分别是相邻两侧面 BCCiBi及CDDiCi的中心。求AiE和BiF所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结BiE，取BiE中点G及AiBi中点H，连结GH ,有GH/A iE。过F作CD的平行线RS，HGERD分别交CCi、DDi于点R、S,连结SH ,连结GS.由 BHC 1D1FS , BIH=FS ,可得 BFSH 。在GHS中，设正

17、方体边长为a。6GH= a （作直线GQBC交BBi于点Q , 4连QH ,可知GQH为直角三角形）,HS=丄6 a （连AiS,可知AHAiS为直角三角形），GS=丄26 a （作直线GP交BC于点P,连241PD ,可知四边形 GPDS为直角梯形）°Cos ZGHS=-61i所以直线AiE与直线BiF所成的角的余弦值为-。6解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。以B为原点，BC为X轴，BA为y轴，BBi为Z轴，设BC长度为2 则点Ai的坐标为（0

18、, 2 , 2）,点E的坐标为（i , 0 , i）,点Bi的坐标为（0 , 0, 2）,点F的坐标为（2, i , i）;所以向量EAl的坐标为（-i , 2, i）,向量BiF的坐标为（2 , i , -i ）, 所以这两个向量的夹角满足COS =EAi BiF|EAi| IBiF |(i) 2 2 i i ( i)(i)2(2)2(i)2 . (2)2(i)2 ( i)2所以直线AIE与直线BIF所成的角的余弦值为6,M、N分别为BC和AD的i7.已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a中点，设AM和CN所成的角为,求COS 的值。（平移法也可）解：由已知得,

19、空间向量 AB , AC , AD不共面,且两两之间的夹角均为60。由向量的加法可以得到1 .-i AM = （ AB + AC ） , NC =- AD + AC2 2所以向量AM与向量NC的夹角（即角或者的补角）AM NC 卄亠满足COS =,其中| AM IINCl.1 一 一 1 -AM NC = ( AB + AC ) AD + AC )2 2111=( AB AD +AB AC + ( AD ) AC + AC AC )22212/111 彳、1 2=a2 (+1 ) = 一 a2;242421一1“13| AMI2=(AB+ AC )j( AB +AC ) = (1+1+1 )

20、a2=a2;224411, -1132| NC |2= ( AD + AC ) ( AD + AC ) = 一 +1a2=a2。所以 cos = cos =22424318.已知空间四边形 ABCD中，AB=CD=3,E、F分别是BC、AD上的点，且BE: EC=AF :FGEDFD=1 : 2，EF= 7,求AB和CD所成的角的大小。解：取AC上点G,使AG : GC=1 : 2。连结EG、FG， 可知 EG/AB，FG/CD，3EG=2AB，3FG=CD。2 1 _由向量的知识可知 EF = EG + GF = BA + -CD，33设向量BA和CD的夹角为B。 2 1 2 1 则由 |

21、EF |2= ( BA+-CD ) ( BA+ CD ) =4+1+4cos =7，33331得cos =-,所以AB和CD所成的角为60 °。19.（思考题）如图，已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120求：（1）AC1的长；直线BD1与AC所成的角的余弦值.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用解：(1)|AC； |2 AC； AC1 (AA； AC)(AAI(AAi AB AD)(AAI AB AD)I AA； I2 I AB I2 I AD I2 2AAi AB 2AA；

22、由已知得：I AAl I2 b2,I AB I2 I AD f a2AC)AD 2ABADAA1 ,ABAA1, ADAAl AB b acos120120 , AB, AD1-ab, AA1 AD290b a cos120lab,AB AD 0,2IAC1 I . 2a2 b2 2ab.IAC1 I2 2a2 b2 2ab,(2)依题意得,IAC I 2a,AC AB ADBD； AD BA AAl AD ABAC BDi (AB AD)(AAI AD AB)ABAAIAD aA； ABADAD2 AB2 AB ADabBD I2 2AA |BDi BD1 (AAl2 2IADl IABlA

23、D2AAl|BDi |2 2、2a b cosAB)(AAI AD AB)ADBD1, ACBD与AC所成角的余弦值为2AB AD 2AAl2 2AB 2a2 b2BDi ACIBDi IIACI b.4a2 2b2b.4a2 2b2判断是非：(1) (3) (8)(10)正确，其余错;选择：1(C); 2(D); 3(D) ; 4(D) .5. (2)相交，(5)平行，其余异面；(6): (D),取 AB中点 M , CCi 中点 N ,连 BiE 和 BiF; (7)答案：(A),延长 BiAi 至 M ,使 AiM = AiDi ,连 MA ,取 AB 中点 N . 8(D); 9(E)

24、; 10(D) ; 11 (C);四.五.4 ,取 AD 中点 E,则MEN = 903-,取 AC 中点 F,连 EF、BF,求得 BE=丄 AD = 5 , BF= -AC = 3 2 ;5 2 225仝5 ,分别取AC、BiCi的中点P、Q,则PMQN是矩形，设CCi = MQ = a,则MP = 51-a;2=90 ° ;六.1丄，取 AC 中点 F,连 EF、BF,贝U EF= 4 , BE= BF = 3 .6异面直线所成的角-作业(C)平行或异面(D)不能确定班级：姓名：一、判断是非(下列命题中，正确的打“” ,(I) 梯形的四个顶点在同一平面内；(3)平行于同一直线的

25、两直线平行；(5)两条直线确定一个平面；(7)无公共点的两直线异面；(9)两异面直线可以同时平行于一直线；(II) 不同在一个已知平面内的两直线异面；二、选择题1. 没有公共点的两条直线的位置关系是()(A)平行(B)异面学号：错误的打“X”)(2)对边相等的四边形是平行四边形；(4)垂直于同一直线的两直线平行；(6)经过三点可以确定一个平面；(8)两异面直线无公共点；(10)两异面直线可以同时垂直于一直线；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是(A)异面(B)平行3. 两条异面直线指的是()(A)在空间不相交的两条直线(B)某(C)分别位于两个不同平面的两条直线4. a、b是异面直线，b、(C)平行或异面(D)平行或异面或相交平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(D)不同在任一平面内的两条直线C也是异面直线，那么a、C的位置是()(A)异面(B)异面或平行5. 说出正方体中各对线段的位置关系：(1) AB 和 CC1 ；(2)A1C 和 BD1；(C)异面或相交A1A 和 CB1；(D)相交、平行或异面(C)总共可能有一条，也可能有两条(D)有无穷多条AiCi 和 CBi;(5)AB 和 DC;