(完整word版)五邑大学《概率论》历真题

1、 1 1、设 A,B,C A,B,C 是三事件，且 P(A)=P(B)=P(C P(A)=P(B)=P(C ) =1/4 =1/4 , P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8.P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8. 求 A,B,CA,B,C 至少有一个发生的概率。 解:卩仏民C至少有个发生)二理4+君+G =(3/4)-(1/84-0=5/8, 2 2、 设 A A、B B 为两个事件，P(B)=0.5P(B)=0.5, p A_B =0.3=0.3。求 P( A P( A B) )。 解：P(AB) =1 P(A B) =1 一 P(B) P(A 一 B) =1 一 0.5

2、 0.3 -0.2 . 6 6 分 2 3 3、 设x服从 N(a,二)分布，求 P| X -a|：；。(叮 1=1= ) P( X -a ：二)=P(-：: X a ：；)= P(a - ；X ： a 二) ,a ；-a , a - ；-a , , =N( )-( ) =G(1)-(-1)=2 0.84131=0.6826 cr cr A 4 4、设离散型随机变量 X X 的分布函数 3 F(x)二 3 B 解：由 F(-：)=0=A, F( ：)=1 = B，得 A = 0,B = 1, , . 3 3 分 P(X =2) = F(2) -A =鲁 P(X =6) = B - F(6 -0

3、) =1-鲁=鲁，于是 X X 的分布律为 X X 2 2 6 6 3 5 P Pk 8 8 j j . 6 6 分 I I 第一只盒子装有 10 只红球，8 只白球；第二只盒子装有 8 只红球，10 只白球。先从 |第一只盒子中任取 2 只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到 i i白球的概率。(1010 分) I 解：记 G G 为“从第一盒子中取得 2 2 只红球”，C2为“从第一盒子中取得 2 2 只白球”，C3 |为“从第一盒子中取得 1 1 只红球，1 1 只白球”，D为“从第二盒子中取得白球”。且三种情况互 斥，由全概率公式有 . 2 2 分 ! P(D) = P

4、(D CJP(G)+P(D C2)P(C2)+ P(D C3)P(C3) I 1 2 0 1 1 1 1 ! .一 C10 X C10C8 + C11 迸 C10C8 + C12 丫 12 12 1 C20 C18 C 1010 分 解: x x : 2 : 2 ,求参数 A A、B B 及 X X 的分布律。 2 冬 x : 6 x亠6 C0 C2 Ct054 2 2 / / 1010 i i 设根据以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏的情况共有三种：损坏2 2% (这一事件 3 3 / / 1010 ;记为Ai), ,损坏 1010%(这一事件记为 A2), ,损坏 9090%(这一

5、事件记为 A)，且知P(A) =0.8 , I ! ! P(A)二0.15, P(Ag)二0.0 5 ,现从已被运输的物品中随机取 3 3 件，发现这 3 3 件都是好的(这 I I i 一事件记为B )，试求P(A1 | B)。(这里设物品数很多， 取出一件后不影响后一件是否是好品的 |概率)(1010分) I i 解：因为B表示取得三件好物品。 B = A|B亠A2 B亠A， i ! 且三种情况互斥，由全概率公式有 I i P(B) =P(B Ai)P(A) +P(B A2)P(A2)+P(B 乓厅(人) 3 3 3 0.8 0.98 0.15 0.9 0.05 0.1 i； =0.862

6、4 上 1000 x,x 1000 f 0 *1000。 !现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立) I :1500:1500 小时的概率。(1010 分) I 解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为 PXY50l-PX2) = l-73(r2)二 1-尸F 二 0+陀二 1 | ($+磅(扌)学口-孚亘】-磊二翥 f e_y I I 五、设二维随机变量 X,Y的概率密度为f x,y = i i 求两个边缘概率密度及 Cov X,Y ( 1212 分)P“* “8731 0.8624 1010 分 !四、某种型号的电子管的寿命具有以下的概率密度: 。任取 5 5 只，求其中至少有

7、2 2 只寿命大于 . 5 5 分 1010 分 0 x y, 其他 5UU 4 4 / / 1010 3=匚 fg yy =“曲宀 O y0 1 O NO X EX xfX x dx xe dx = 1 bo bo EY 二 yfY y dy 二。一 yyedy = 2 i EXY 二；.xyf x,y dx 二 dx xye*dx=3 Cov X,Y i= EXY - EXEY =1 0 _x i i . 12 12 分 i i i 六、设随机变量 X X 与 Y Y 独立，且均服从两点分布，即 PX =1 = p,PX =0H P， 1 0 :： p ：1为已知。求随机变量 U = X

8、Y及V =max(X,Y)的分布律。(1010 分) i ! 解： U U = X + = X + Y Y 的所有可能取值为 0 0, 1 1，2 2 I I i PU =0 = PX =0,Y =0 =PX =0PY =0 =(1 p)2 i I ； PU =1 =PX =1,Y =0 +PX =0,Y = 1 =2p(1 p) I I ! . 5 5 分 PV =0 = PX =0,Y = 0二(1 一 p) 2 PV =1 = PX =1, 0 PX =0,Y =1 =2p(1 - p) p2 V 0 1 P (1-P)2 2 2p(1-p) + p . 1010 分 I ; PU =2

9、 = PX =1,Y =1 = p U 0 1 2 P (1-P)2 2p(1-P) 2 p dy A0.1357._pf-400 xLl _ vr400.19 1.147 7 7 / / 1010 i 解 以丫记有一名家长来參加会议的学生数，则 i 7-6(400,0.8 I i由棣莫佛一拉普拉斯定理，所求耍率为 I i 3锄二 M y-400 x08 _ 340-400 x08. i 1 J 400 x0802 74000802； I W400 x 08x02 j i 2 b； 1 v-： . 12 分 I I 1 1 i 1、设 A, B, C 是三个 事件，且 P(A) = P(B)

10、= P(C)= - , P(AB)=P(BC= 0 , P(AC) = i 5 7 I |求 A , B , C 至少有一个发生的概率 I I 解： 由于 P(AB) = P(BC) = 0 , 而 ABC AB , ! 由 P(ABC) P(AB) = 0 所以 P(ABC) = 0 , 4 分 ! 贝 y P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(CM(AB)_P(AC)_P (BC)+P(ABC) 1111 16 : =十一十一一0 0+0 =止 0.457 10 分 ! 5 5 5 7 35 i 或 P(AUBUC) = P(B)+P(AUC) = P(B) + P(A) + P(C)

11、_ P(AC) = 16 : 35 I | 2、设随机变量 X 服从 N(1 , 22 ),试求：(1 ) P0 X 2; ( 2 ) P1 X 3, i (1) = 0.8413 ,(0.25) = 0.5987 , (0.5) = 0.6915 , (0.75) = 0.7734 , | (2) = 0.9772 ,(1.5) = 0.9332 , I I 01 -1 2_1 i 解：( 1 ) P0 兰 E C 2 = P - - - = F01 (0.5) _F0 1 (_0.5) ； 2 2 2 ； =2F0.1(0.5 仁 2x 0.6915 -1= 0.383 i . 1-11-

12、13-1 i ( 2 ) P1 兰匕 C 3 = P兰 -= F0.1( (1)F0.1( (0) i 2 2 2 ； =F0.1(1H0.5 = 0.84310.5 = 0.3431 三、设袋中装有 10 件正品 4 件次品，从袋中无放回地反复抽取，每 I L I 次取一件，直到取得正品为止，求抽取次数 的分布函数（假定袋 中余下的每个产品被抽到的机会均等）O I 解: 的分布律为 1 2 3 4 5 8 8 / / 1010 p 5 20 5 10 1 7 91 91 1001 1001 9 9 / / 1010 则的分布函数为： 0 x 7 =28, 1 1 A 所包含的基本事件数 r

13、= C5 XC3 = 3 =15 P(A)= 15 28 (2 )基本事件总数 n = 8 8=64, 1111 30 15 A 所包含的基本事件数r = 5 9+5 9=30 P( (A) )=匸五10 :五、设随机变量(x, y)的分布函数为F (x,y) = A(B arctg )(C arctg )求: : 2 3 I (1 )系数 A B 及 C 的值，(2 ) ( x , y)的联合概率密度(x , y) :, Il 兀、 4 解:(1 ) F (二，：)二 A(B )(C ) = 1 ! 2 2 JI jt F(-：,二)=A(B )(C _) =0 2 2 兀 JI F(：,：

14、)=A(B )(C )=0 2 2 1 兀 由此解得A 2,B =C , 兀 2 (x,y)二 6 2(4 x2)(9 y2) 5 分 10 分 1010 / / 1010 求：(1 )系数 A; ( 2 ) Ex Ux)。 I -be 解:(1 )由 _ (x)dx =1，则 I : 1 1 2Adx = 2Aarcs irx ; %1-x2 | ( 2 ) E = ；x (x)dx=0 *：、2 X D =E 2 一 (E )2 二 E 2 二 |0 = A = 1 故A Tt X2 =-2x 1 _ x2 I； - 1 _ x2dx= 兀 F 兀 1 ( (X) )dX= 2 0 1 -

15、 1 1 * n = 4 2 . 2 dx 二 2 - X 10 分 3 分 设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 服从区间 0, 1 上的均匀分布, 指数分布， 令 Z = XY，试求随机变量 Z 的密度函数. 由题意，可知 fx(X) )=： 0, 0 X 1, 其它. fY( (y)=叮, y 0, y _ 0. -=a 0 ： x : 1, z - x 0 若 z 乞 0 , fz z = 0 z 若0 z S，fz z = 1 z e4zJC)deJ eXdx =1e 若 z 1， 0 0 1 fz z 二 edxe 1 x z 1 z e dx = e -e 0 0 ； _A |

16、七、设随机变量X的概率密度为(x)=三1 - X2 i b -1 设随机变量 Z 二 X Y 的密度函数为 fz Z，则有 be -be fz z 二 f x X fY z - X dx fz z 二 fx X fY z - X dx. 综上所述，我们可得 z =X Y 的密度函数为 1111 / / 1010 1 111 、A,B 为随机事件，P(A)= ,P(B| A)=,P(A|B) 则 P(A_.B)= _ 4 2 3 2、连续型随机变量 X 的概率密度为 I x2 . i f (x) = Ae 则 A= _ . I 3、已知随机变量 Xb(10,0.4),则 E(X)=_ , D(X

17、)= _ . i 4、随机变量 X二，丫二(3),X 与丫独立，则 E(X+Y)= _ . I 5、随机变量 XN(1,4),用契比雪夫不等式估计P| X -11 _ . (本题 16 分) 已知男子有 5%是色盲患者，女子有 0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 |群中随机的挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？(结果用分数 I 表示) I 1 - 得分 得分 1212 / / 1010 概率论与数理统计期末考试 B 卷答案与评分标准(54 学时) ! 一、(20 分) I /、1 (4 分) 2、 _(4 分) 3、4(2 分)，2.4(2 分) ! 2 4、5(4 分

18、) 5、4(4 分) 二、(16 分) 解：设 A 表示随机抽取的人是男性，B 表示患有色盲。(2 分) !则依题意有，P(A)二 P(A) =0.5 , P(B| A) =0.05,P(B| A) =0.0025 !由贝叶斯公式知, P(B| A)P(A) P(A| B) 一 P(B | A)P(A) P(B | A)P(A) 20 0.05 0.5 0.0025 0.5 21 0.05 0.5 (4 分) (10 分) (16 分) 0 求(1)PX =2|Y =2， - - (本题 16 分，第 1,2 小题各 5 分，第 3 小题 6 分) 设二维随机变量(X,Y)的分布率为 12 12 i 三、（16 分） I 解：因为函数g（x） =x2,x （_：, ：）单调增，其反函数为 i （2 分） ! i 所以，Y =