Proakis的数字通信第四版的习题答案(中文版)(共43页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上2.9 根据柯西分布有 当很大时， 所以有 (b) 当 当，因此有：2.10 (a) (b) (c)因为n, 不是高斯分布，因此中心极限定理不适用，原因是柯西分布没有有限的差异。2.11 假定 是实值随机过程。复值过程的处理也类似。(a)(b)当x(t), y(t)不相关时，同理因此(3)当x(t), y(t)不相关并且零均值时：2.12 随机过程x(t)的功率谱密度为：滤波器输出功率谱密度为：因此滤波器输出总功率为：2.14 令 因此 2.16 滤波器的传递函数为: (a) (b) 令a = RC, v =2f. 那么2.19 因为 输出序列的自相关： 这里的最后等

2、式来自于X(n)的自相关函数： 因此离散时间系统的频率响应为：综上，系统输出的功率密度谱为 ：2.20 已知功率密度谱为：2.21 本题中引用下标d表示离散过程，下标a表示连续时间过程，同样，f表示模拟频率。fd表示离散频率。(a) 因此取样信号的自相关函数等于X(t)的取样自相关函数。(b) 令fd = fT，则有：又因为离散时间的自相关函数是它的功率谱密度的反变换，于是有：比较(1),(2):得(c) 从(3)式可以得出：否则出现混叠。2.22 (a)(b) 如果 那么： K=0 其他因此序列X(n)是白噪声序列，T的最小值可以从下图的取样过程的功率谱密度得到为了得到一个谱平坦序列，最大的

3、抽样速率应满足：(c) 可由 得到。 因此，2.23 假设 那么：这里Y(f)是y(t)的傅里叶变换，因为：又 有：当f=0时：2.24由于G=1，有 对低通滤波器，可得到： 将H(f)代入可得下式3.4 要证 而利用不等式 当且仅当 可得因为3.6 通过定义，差熵为： 对均匀分布随机变量(a) a=1,H(X)=0(b) a=4,H(X)=log4=2log2(c) a=1/4,H(X)=log=-2log23.7 (a)(b)每信源字符的平均二进制个数为：(c)信源熵为：通过比较，信源熵要少于每个码字的平均长度。3.9 (a) (b)3.11 (a) P(x)可以通过 求得。 因此类似地可

4、证明(b)利用不等式和，可以得到将不等式两边乘以P(x, y)并对x，y求和，即可得故有当 =1时取等号。(c) 从(b) 联立两个关系式可得： 当x，y独立取等号。3.13 对于平稳过程 和 中n是独立的，因此就有3.18 在给定的下，的条件互信息可定义为： 又因为 有：3.19 假设a>0，已知Y = aX + b是线性变换，有 令 那么同理，当a<0时，有：3.20 线性变换因为 yi和xi有相同的概率分布，即有因此DMS的熵通过线性变换是不产生影响的。3.21 (a)霍夫曼码的设计如下，平均比特率： (b)一次编码两个电平符号，霍夫曼码的设计如下： 每电平对的二进制平均比特

5、数为： 一个电平的平均比特数为： (c)因为3.25 采用Lempel-Ziv编码方法分解题中序列，可以得到一下码段：0, 00, 1, 001, 000, 0001, 10, 00010, 0000, 0010, 00000, 101, 00001, , 11, 01, , 110, . 码段数是18，对每一码段需要5位加一个附加位来表征一个新的信源输出。3.27 因为 可得 下图描述了R(D)在取0，1，2，3时的值，从图中可看出，增加，失真率也在增加。3.30 (a) 由于X,G是相互独立，因此有p(x, g) = p(x)p(g), p(x|g) = p(x).(b) 因为X,G是相互

6、独立，所以Y也是独立，由于Y=X+G，有所以： 这里，利用了从H(Y ), H(Y |X)，3.313.363.38 一阶预测器 系数a11 对预测数据的预测误差的正交性可使得均方误差减小： 最小均方误差为：(b)对二阶预测器， 根据Levinson-Durbin算法 最小均方误差为：3.39 如果用相同的间隔长度分别量化，所需要的电平数为:比特数： 利用矢量量化，有，比特差：3.41 X,Y的联合概率密度函数为： 边缘分布P(x)： 当，当，的图如下: 根据对称性：(b) 总的失真为每对(x,y)所要的比特数为：(c)采用矢量量化，失真度D 4.2 这里h(t)= , 它的傅里叶反变换：而4

7、.3 (a)然而，因此有：(b) , 从(a)的结果有4.5从傅里叶变换特性知道，如果x(t)是实值的，那么它的傅里叶变换满足，因此为实值的条件是：。对于带通信号，有。而，满足此条件的说明是实值低通信号，等效的带通信号正频部分在中心频率附近应该具有埃尔米特对称性，但一般来讲，带通信号不满足这个特性，因此，对应的低通信号是复值信号。4.6利用估计理论中基于均方误差准则的结论，当误差正交于级数展开式的每一个函数时，获得的最小值，因此:因为函数是正交的，(1)式只存在k=n的部分即可简化为：也即有相应的残余误差为：4.9信号波形的能量为：相关系数：4.10 (a) 波形是正交的，只要证明 因此是正交

8、的。(b)先确定加权系数由上看到，从信号波形，n=1，2，3来看，是正交的，因此它不能表示为这些函数的线性组合。4.11 (a)作为正交基函数集，考虑集合： 用矩阵表示4个波形为：因此波形的维数是4.(b) 波形由向量表示为：(c) 第1，2向量之间的距离为： 同理：因此，任意两个向量之间的最小距离为4.13 的功率谱密度从2.14题有：Y(t)的功率谱密度如图：4.14 (a) 因为每个序列信号速率是1/2T，g(t)的间隔为2T，在2nTt2nT+T，(b)功率谱密度：这里：又因为，很容易得到(c) 上述功率谱密度与MSK是相同的，因此MSK可以产生交错四相PSK信号，其中g(t)是半个周

9、期的正弦脉冲。4.16对于u(t)是广义平稳，必须有的条件。4.17 第一个基函数为： 第二个基函数：所以：表示的能量，第三个基函数：所以有第四个基函数 4.20 的自相关函数：令，那么：4.21 (a) 因为 ，所以有：每个符号概率，信号空间为：(b) 序列包含的独立符号为：所以(c)转移矩阵为： 相应的马尔可夫链：4.22 (a) 序列与随机变量不相关，所以有：(b) 而：因此有：(c)如果取0，1并且等概，那么E(an) = 1/2，则有：4.24 k=2，为了简化计算，定义，有：当时， 的乘积项可以忽略。那么就有：类似地，对(用m代替n)，如果n(m)是偶数，对于所有的，除了， 在这种

10、情况下：对于的乘积项可以忽略，因为没有频谱重叠，因此：和MSK信号比较，这个信号在频谱上有冲击脉冲。4.26 QPRS信号：(a) 同4.20题，序列可以取 P(Bn = 2) = P(Bn =2) = 1/4, P(Bn = 0) = 1/2 对序列，因为两个序列是独立的，有 PBn = i,Cn = j = PBn = 1PCn = j信号空间：(b) 如果令Zn = Bn + jCn，因为序列Bn, Cn是独立的，具有相同的统计特性，有： ，有(c) 马儿可夫链及转移概率： 4.28 相位树图：从相位树图模得状态网格图：状态图：4.31 脉冲Ck(t)定义为： 脉冲Ck(t)的持续时间只

11、需用找到使得S = L(2 ak,n) n, 易知=L-1，如果所有的，n=0,1,L-1是0，-4.33 如果，则。因此可以充足的消除线性频谱。 假想，例如，那么就有，s(t)是单脉冲。然而，如果对所有的n，S(n/T ) = 0，线性频谱消失。一个单脉冲就满足这个条件，如下图：在此种情况下， 所有对所有n，S(n/T ) = 0，所以条件是不必要的。4.34 有，(b) 对非独立的序列，功率谱密度S(t) , 然而因此：需要结果的功率谱：(c) 引入零点的条件在f = l/4T，= ±1,±2, . 得到，不是所有的都满足，通过预编码可以避免这个情况，设bn = an

12、+ kan4。 类似于(b),k=-1，在1/4T的倍数处出现频谱的零点。4.36 FSK的功率谱密度可以通过等式(4-4-60)且K=2，p0 = p1 = 1/2得到，因此在这个条件下，载波的相位是确定的，可以得到：这里是的傅里叶变换，特定情况下：同理： ，因为载波相位影响,对随机相位求平均值，有(b) 如果fk足够大，乘积因此对，按比例地衰减 接近5.2 (a)匹配滤波器的脉冲响应： (b)在t=T 匹配滤波器的输出：(c) 在t=T 相关器的输出： 5.4 (a) 因为： 相关器的抽样输出： ，噪声n是零均值，方差的高斯随机变量， 抽样输出的概率密度函数： 因为信号是等概的，如果 最优

13、判决选取,否则，判决规则：或者等效为：最优门限：(b) 平均错误概率：5.5 因此对任意的n：5.8 已知的波形是等效低通信号：，(b) 每个匹配滤波器都有等效的低通脉冲响应：(c)(d) (e) 匹配滤波器的输出不同于相关器的输出，在取样周期t=T时，两个输出集合相同。(f)因为信号是正交的，AWGN的错误概率为：5.9 (a) a，b的联合PDF: (b)依题意可得：a = u cos, b = u sin， 这里用到变换(c)5.10 是个零均值高斯随机变量，发s(t)时，为：发-s(t)时，U = 2E+N, 为： 发0时，U=N, 为(b) (c) 为了减小 利用莱布尼兹公式：5.1

14、1 (a)发送信号能量： (b)两个信号的自相关系数： 因此相干检测的比特错误概率：(c)对非相干检测的错误概率：这里a，b有以下关系：5.14 下图显示四元信号的收敛域： 作一个变换, W1 = U1+U2, W2 = U1U2,变换后改变了收敛域，假定为发送，那么匹配滤波器的输出为：是不相关的零均值，方差的高斯分布，有：是高斯分布，E W1 = E W2 = 2，方差,易知是独立的，是每bit的发射能量，那么：5.18 对二进制相位调制，错误概率：，当数据速率为10kbps，此时比特间隔，信号幅度：同理：速率为bps和bps时，信号幅度分别为。5.225.23 发射信号能量： ，T是比特间

15、隔，A是信号幅度，因为载波都是在同一信道中传输，如果是常数，SNR, 也是常数。因此得到：5.25 (a) 如果加性噪声的功率谱密度是，在预白化滤波器输出的PSD噪声：为了使平坦，Hp(f)应该(b) =F1Hp(f) ，匹配滤波器输入 与 相匹配的滤波器频率响应为：(c) 整个系统的频率响应：(d) 广义匹配滤波器输出的噪声方差： 在抽样瞬间，匹配滤波器输出：因此检测器输入端SNR:5.26 每符号比特数：，4-QAM传输，错误概率：当，得到：(b)如果速率9600bps，k=4，16-QAM传输，错误概率：(c) 如果速率19200bps,256-QAM传输，错误概率：，得到：(d) 下表

16、给出了在(a)-(c)中所用的星座每比特的SNR 和相应每符号的比特数，通过观察，每附加1bit/符号，发射功率增加大约3dB。5.29 假定输入位0，1映射成-1，1，那么在时刻n，MSK的末端相位为：是初始相位，取取决于时刻k的输入位，以下表格显示了对两个不同值，且四对数据输入时00，01，10，11.5.31 h=1/2,L=2 可得：，在网格中状态是相位状态和相关状态的组合，取值，从一个状态到另一个状态的变换有：。状态网格和状态图如下：实线表示，虚线表示。5.34 对所有的，值都是相同的，是因为星座具有对称性。在右边的等式中，积分数为N，d是点之间的最小距离。所以：因此可得出错误概率为

17、：5.36 传输M元PAM信号所需要的带宽：又因为:可得：5.38 最优ML检测器选择序列，两个可能发送序列 和从上可以看出：最优ML检测器可依据其判决仅在最后n-w接收r个元素。那就是：或者等效(b) 因为，错误概率为：随机变量 是零均值，方差的高斯过程，因此有：，这两个序列是等概的：(3)当最大时，错误概率p(e)最小，也就是w=0.5.42 启闭键控信号的非相干包络检测器框图如下：(b) 如果发送，接收信号为，因此抽样输出，是零均值，方差的独立高斯随机变量，因此，随机变量瑞利分布，PDF为：如果发送，接收信号：r(t)与互相关，在t=T的抽样输出，也就有：nc 是零均值，方差的高斯随机变

18、量。随机变量 的PDF服从赖斯分布，有：(3) 对于等概的信号，错误概率为：因为r>0,上式可变为：当，最优门限接近，利用门限来简化分析，在很接近时，贝塞尔函数不能估算，用，x很大这种估算是有效的，这样SNR也很高，在这种情况下：如果SNR很高，这个整体还可进一步简化，在接近，被积函数是主要部分，因此，下限可以用取代，也就有：5.43 (a)(b)U1的方差：U1,U2的协方差：因为噪声分量是不相关且是零均值。同理，对任意的i，j都有：这也就说明了随机变量是不相关的，因为它们都是高斯过程，且统计独立。U3,U4是零均值高斯过程，随机变量服从瑞利分布，此外服从赖斯分布。(c) ,U1,U2的均值为，并且是统计独立的高斯变量，方差相同为：，W1服从非中心分布，PDF为： ，U3,U4有相同方差，零均值的高斯过程，因此W1服从中