双曲线练习题

1、圆锥曲线与方程（双曲线练习题）一、选择题x2y21.已知方程+= 1 的图象是双曲线，那么 的取值范围是（）2 - kk - 1A.B.C.D.2.双曲线x2  y2-2a   b21(a > 0，b > 0) 的左、右焦点分别为 F ,F ,P 是双曲线上一点，满足 | PF = F F | ，直线

2、60;PF 与1 2 2 1 2 1圆 x2 + y 2 = a2 相切，则双曲线的离心率为（）A.542 3 5B. 3     C.         D.3        35.已知双曲线  -&

3、#160;  = 1 的一条渐近线的方程为 y =   x ，则双曲线的焦点到直线的距离为(  )7.方程     -    1(k Î R ) 表示双曲线的充要条件是（   ）9.设为双曲线  -  y2 = 1 上一动点，为坐标原点，为

4、线段的中点，则点的轨迹方程是        y23.过双曲线 x2 -= 1 的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（）2A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条4.等轴双曲线 C:x2 - y 2 = a2 与抛物线 y2 = 16x 的准线交于 A,B 两点， AB 4

5、60;3 ，则双曲线 C 的实轴长等于（）A. 2B. 2 2C.4D.8x2y259m3A2B.C.D.6.若直线过点 (3,0) 与双曲线 4x2 - 9y2 = 36只有一个公共点，则这样的直线有（）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条x2y2k - 2k + 3A. k > 2 或 k < -3

6、B. k < -3C. k > 2D. -3 < k < 2二、填空题y 2x28.过原点的直线，如果它与双曲线-= 1 相交，则直线的斜率的取值范围是.34x24ab10.过双曲线x2  y2-2 2= 1(a,b > 0) 的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.11.已知双曲线x2 

7、 y 2-a2 b2= 1(a > 0,b > 0) 的渐近线与圆 x2 + y 2 - 4 x + 2 = 0 有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是三、解答题（本题共 3 小题，共 41 分）12.求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在轴上,虚轴长为 12，离心率为 54；（2）顶点间的距离为 

8、6，渐近线方程为 y = ? 32x13.已知双曲线x2  y 2-a2 b21 ( a 0， b 0)的右焦点为 F (c, 0) （1）若双曲线的一条渐近线方程为 y = x 且 c = 2 ，求双曲线的方程；（2）以原点 O 为圆心， c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A

9、0;，过 A 作圆的切线，斜率为 - 3 ，求双曲线的离心率= 1（a > 0,b > 0) 的离心率 e =    ，原点 O 到过点 A(a,0), B(0,- b) 的直线的距离是  .-14.已知双曲线x2  y2        

10、                  2 3 3a2 b2 3 2（1）求双曲线的方程；（2）已知直线 y = kx + 5(k ? 0) 交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值一、选择题1.C解析：由方程的图象是双曲线知，,即2.D解析：设 PF 与圆相切于

11、点 M ，因为 PF = F F ，所以 F 为等腰三角形，所以 F M =12121 2114PF .1又因为在直角 MO 中， FM= FO  2 - a 2 = c2 - a 2 ，所以 F M  = b =1111214PF .1又

12、 PF = PF + 2a = 2c + 2a ，12c2 = a2 + b2 ,c5由解得=a33.C解析：由题意知，.当只与双曲线右支相交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线符合条件；当与双曲线的两支都相交时，的最小值是实轴两顶点间的距离，长度为，无最大值，结合双曲线的对称性，可得此时有 2 条直线符合条件.综上可得，有 3 条直线符合条件.4.C解析：设等轴双曲线 C 的

13、方程为 x2 - y 2 = l 2 抛物线 y 2 = 16 x，p = 16，p = 8 ，p2= 4  抛物线的准线方程为 x = -4   等轴双曲线 C 的方程为 x2 - y 2 = 4 ，即  - 

14、; 1 .  双曲线 C 的实轴长为 4设等轴双曲线与抛物线的准线 x = -4 的两个交点为 A( - 4,y ),B( - 4,- y)(y > 0) ，则 AB =| y - ( - y) |= 2 y = 4 3 ， y

15、60;= 2 3 将 x = -4 ， y = 2 3 代入，得 ( - 4)2 - (2 3) 2 = l ， l = 4 .x2y 2445.C解析：双曲线x2  y2           

16、60;             m    5-   = 1的一条渐近线方程为 y =   x =   x ，即.不妨设双曲线的右焦点为,则焦点到9  m 3     3çç3 &#

17、160;÷ø直线 l 的距离为 d =5´ 143æ 5 ö2  = 5 .÷ + 1è7.A  解析：方程    -    1(k Î R) 表示双曲线，当且仅当 (k - 2)(k + 3)>0

18、60;，  k > 2 或 k < -3 .反之，当 k > 2 或 k < -3 时，双曲线方程中分母同号，方程    -    1(k Î R) 表示双曲线.x2y26.C解析：将双曲线化为标准方程为-= 1则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与 x&

19、#160;轴垂直的直线94满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意，因此这样的直线共有 3 条.x2y2k - 2k + 3x2y2k - 2k + 3二、填空题, +÷÷2  ÷øçè  23   42æ8. çè-, -ö3 ö æ&

20、#160;3                   y2  x2                     3÷ ç 解析：双曲线 -

21、   = 1的渐近线方程为 y = ±øx .若直线 l 与双曲线相交，则 k > 3或k < -322.0 , y =   y9.解析：设,，则 x =x2 20 ，即，.将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为4x24- 4 y2 = 1 ，即.10.2解析：设双曲线的

22、左焦点为右顶点为又因为 MN 为圆的直径且点 A 在圆上，所以 F 为圆的圆心，且所以b2c2 - a2c= c + a ，即= c + a .由 e =，得 e2 - eaaa0)11. (1,2解析：由圆 x2 + y 2 - 4 x + 2 = 0 化为

23、 (x - 2)2 + y 2 = 2 ，得到圆心 (2， ，半径 r = 2 = 1(a > 0,b > 0) 的渐近线 y± x 与圆 x2 + y 2 - 4 x + 2 = 0 有交点， 双曲线x2&

24、#160; y 2-a2 b2ba   2 ，  b2  a2   1e   1 +2ba2 + b2c     b2a     a2 2  该双曲线的离心率的取值范围是 (1,2 -所以双曲线的标准方程为   -

25、60;  = 1 三、解答题12.解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为ì2b = 12,ï c5ìa = 8,由题意，得 í =,解得 íï a4îb = 6.ïîa2 + b2 = c2 ,x2y26436x2  y2a2 b2= 1(a >

26、 0,b > 0)由题意，得 í b 3  解得 í  9（2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为ì2a = 6，ìa = 3,ïïîîï a = 2 ，ïb = 2 ,x2y2= 1 所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为-981x2

27、0; y2-a2 b2(=1 a > 0,b > 0)同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为  -   = 1 3                         x2  y24

28、y2x294方法二：设以 y = ?x 为渐近线的双曲线的方程为-= (  ? 0).2499x2y2当  时， 2 4 = 6 ，解得 此时，所求的双曲线的标准方程为-4981= 1 当  时， 2  - 9 = 6 ，解得  此时，所求的双曲线的标准方程为  -  

29、 = 1 4y2x2941 的渐近线方程为 y = ±x ，13.解：（1） 双曲线x2  y 2-a2 b2ba由此可得双曲线的方程为   -  1 . 若双曲线的一条渐近线方程为 y = x ，可得a 2 + b2 = 2 ， a = b =&#

30、160;2 . c =x2y 222ba= 1 ，解得 a = b .（2）设点 A 的坐标为 (m,n ) ，可得直线 AO 的斜率满足 k = 以点 O 为圆心， c 为半径的圆方程为 x2 + y 2 = c2 ，n   -1=  &

31、#160;  ，即 m = 3n .m  - 3 将代入圆方程，得 3n2 + n2 = c2 ，解得 n =12c ， m =32c .将点 A ççæ   3   ö2c ÷ç   c 

32、÷æ 1   ö22ø  - è 2   ø  1 .c ÷÷ 代入双曲线方程，得 è2a2b2æ 1è 2c,3 öøç化简，得  31c2b2 - c2a2 = a2b2 .44

33、0;c2 = a2 + b2 ， 将 b2 = c2 - a2 代入上式，化简、整理，得34c4 - 2c2a2 + a4 = 0 .两边都除以 a 4 ，整理，得 3e4 - 8e2 + 4 = 0 ，解得 e2 =23或 e2 = 2 . 双曲线的离心率 e > 1 ， 该双曲线的离心率 e = 2 (负值舍去）.=  ab14.解：（1）因为c  2 3=a   3，原点 O 到直线：的距离 d =aba2 + b23=   ，c   2所以 b = 1, a&