数理经济学第6章课后题答案

1、第六章 习题答案1考虑如下最优化问题 用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩塔克极大化条件解： 可行域为OAB BAOx1x2利用图解法求的均衡点为，对于来说，有，因此该约束规格是紧的。构建拉格朗日函数 符合条件2考虑如下最优化问题用图解法解此题。并检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩塔克极大化条件解：利用图解法求的均衡点为， 求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数 符合条件 x1Ox23. 考虑如下最优化问题检验均衡解点是否满足（1）约束规格；（2）库恩塔克极大化条件解： x2x1利用图解法求的均衡点为， 求法同上，可知约束规范是紧的构建拉格朗日函数

2、 不符合条件4写出下面优化问题的一阶必要条件解：一阶必要条件为：5求解下面最优化问题（1） （2） （3） （4） （5） 解：（1）一阶必要条件为：解得（2）图解法x1BCA0x2可行域为，均衡解点(3) 一阶必要条件为：(4) 一阶必要条件为：解得(5) 一阶必要条件为：解得6考虑如下最优化模型 证明：（1）均衡解不满足库恩-塔克条件；（2）当引进新乘数，把拉格朗日函数修改成如下形式，则在点处满足库恩-塔克条件。解：（1）一阶必要条件为：不符合K-T条件。（2）此时，一阶必要条件为：当时，符合K-T条件7消费者对两种商品的偏好用效用函数表示为假设消费者的收入为12元，两种商品价格分别为。试

3、求最优的商品组合。解：由题意知，一阶必要条件为：解得8求解消费者问题效用极大值点，并利用二阶充分条件判断极大值点是否为最大化值点。解：一阶必要条件为：解得验证其为负定。9一个消费者生活在小岛上，那里只生产两种产品，和，生产可能前沿是，他消费所有的产品，她的效用函数是，这个消费者同时面临环境对于她所能生产的两种产品总额上的约束，约束条件是（1）写出库恩塔克一阶条件（2）求消费者最优的和，确定约束条件是否发挥限制作用。解：（1）K-T一阶条件为：（2）假设第二个约束条件（定量配额）没有发挥作用，由互补松弛性得，故有解得，因故为K-T条件最终解。反之解得，因故被拒绝。10一家电子公司在外国设立一个发

4、电站。现在需要规划其产能。电力需求的高峰时段的需求函数是,非高峰时段的需求函数是。变动成本是20（两个市场都要支付），产能成本是每单位10，只要一次支付并且可以在两个时期中使用。（1）写出这个问题的拉格朗日条件和库恩塔克条件。（2）求出这个问题中的最优产量和产能。（3）每个市场分别能支付多少（即和的值是多少）（4）现在假设产能成本是每单位30（只需要支付一次）。求出数量、产量以及每个市场为产能所支付的费用（即和）。11给定最优化问题（1） 为了得到可应用的极大化的充分条件，哪些凹凸条件需要追加在和上？（2） 论述极小化问题的库恩塔克条件。解：（1）对于极大化问题，存在下列充分条件： 如果满足：

5、 a.目标函数为凹函数且可微； b.每个约束函数为凸函数且可微； c.点满足库恩塔克极大化条件。 则点为目标函数的整体极大值点。 对于极小化问题，存在下列充分条件： 如果满足： a.目标函数为凸函数且可微； b.每个约束函数为凹函数且可微； C.点满足库恩塔克极小化条件。（2）构造拉格朗日函数，如果若为该问题的均衡解，则存在拉格朗日乘数使得满足库恩塔克必要条件： 12对于下面问题，库恩塔克充分性定理是否适用（1），（2）  13考虑如下模型 （a）库恩塔克充分性定理可以应用这个问题吗？库恩塔克极小值条件是充分必要条件吗？（b）写出库恩塔克条件，并求解最优值（）。由库恩

6、83;塔克充分性定理知：要满足：a.目标函数为凸函数且可微；b.每个约束函数为凹函数且可微；（1） 中，为两个凸函数之和，故为连续可微凸函数；为线性函数，连续可微凹函数。（2） （2）中，为线性函数；为凸函数与线性函数之和，不为凹函数，故，不满足充分性条件。（1）满足上题a.b条件，即可适用充分性定理：题中为两个凸函数之和，为连续可微凸函数；为线性函数，故，满足充分性定理； 又，为满足必要性定理，则需满足约束规格：任意x，存在，梯度矩阵秩为1，故，满足约束规格。（2） 极小化问题的带非负约束的库恩塔克一阶必要条件为： 构造拉格朗日函数，如果若为该问题的均衡解，则存在拉格朗日乘数使得满足库恩塔克

7、必要条件： 解：构造拉格朗日函数 库恩塔克一阶必要条件为 解之得，a.若，则可得，与（2）式矛盾。 b.若，则，或者，则，均与（1）矛盾； C.若，则可得，综上，（1,1）为其极值点。14给定非线性规划问题试确定满足该问题的库恩塔克条件的点，并且（1）在这些点处，检验约束规格是否成立；（2）在这些点处，检验库恩塔克充分性定理是否成立。解：构造拉格朗日函数：，则均衡解满足如下的一阶必要条件： （1） （2） （3）解之得，满足上面式子的解为。（1） 检验约束规格，带入（-1,0）得矩阵（-2,0），秩为1，满足线性独立约束规格；（2）下面验证二阶充分条件，由于，所以。构造如下海塞加边矩阵 验证后

8、一个加边主子式的符号即可。在点处，与同号，所以是目标函数的一个极大值点。15假定两种投入要素的生产函数，其中，分别为两种要素的投入量。假设两种要素投入的价格向量，每月费用支出不超过10000，为使每个月的产出极大化，该厂商应该如何安排每月的要素投入量（要求检验二阶充分条件）。解：有题目得极大化模型为： 首先验证约束规格，梯度矩阵秩为1，满足约束规格； 构造拉格朗日函数 库恩塔克一阶必要条件为 解之得，满足上式的极大值解为。 检验二阶充分条件，由于，所以。构造如下海塞加边矩阵 验证后一个加边主子式的符号即可。在点处，与同号，所以是目标函数的一个极大值点。16考虑下面最优化问题写出与其对应的拉格朗

9、日函数以及一阶必要条件，并求出该函数的鞍点。解：对应的库恩塔克条件为:分四种情况讨论：（1），解矛盾，舍去（2）则，解得（）是可能的极值点（3），则，解得（），（）是可能的极值点（4），解得（）是可能的极值点。17考虑下面最优化问题（1） 证明该问题得拉格朗日函数在可行域内没有鞍点；（2） 考虑该问题的等价形式其中为参数。该问题得拉格朗日函数是否也不存在鞍点？是说明理由。解：（1）拉格朗日函数为 库恩塔克一阶必要条件为 解得该拉格朗日函数载可行域内没有鞍点。（2）拉格朗日函数为 库恩塔克一阶必要条件为 时，该拉格朗日函数载可行域内没有鞍点。18考虑极大化问题（1） 求目标函数的最优值在处的导数

10、。（2） 根据（1），估计出当由1变为1.02时，目标函数的最优值的改变量为多少？估计新问题目标函数的最优值。解：拉格朗日函数为 库恩塔克一阶必要条件为 可得，当时，时； 时，； 时，；故（0,0）是极值点。同理，时，函数最优解为，。19考虑极大化问题利用包络定理解决下面的问题：（1） 求目标函数的均衡解在处分别关于和的偏导数。（2） 根据（1），估计当、由16变为16.03时，目标函数的均衡解的改变量为多少？估计新问题目标函数的均衡解？（3） 根据（1），估计当、由4变为3.98时，目标函数的均衡解的改变量为多少？估计新问题目标函数的均衡解？（4） 根据（1），估计由16变为16.03、由4变为3.98时，目标函数的均衡解的改变量为多少？估计新问题目标函数的均衡解？解：（1）拉格朗日条件为：，将（a,b）=(16,4)代入得，故（8,2，2）是均衡解，（2）目标函数均衡解的改变量为：，新目标函数的均衡解为16.06。（3）目标函数均衡解的改变量为：，新问题目标函数的均衡解为16.08。（4）目标函数均衡解的改变量为：0.06+0.08=0.14新问题目标函数的均衡解为16.14。20考虑极大化问题利用包络定理解决以下问题：（1）求目标函数的均衡解在处分别关于和的偏导数。（2）根据（1），估计当、由1变为1.01时，目