中考数学一轮复习【几何篇】21.切线的判定与性质

1、精品资源欢下载以O为圆心的圆与AB相切于21.切线的判定与性质知识考点：1、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点的半径, 切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内心。精典例题：【例1】如图，AC为。的直径，B是。外一点，AB交。于E点，过E点作。O 的切线，交 BC于D点，DE = DC,作EFLAC于F点，交AD于M点。（1）求证：BC是。的切线；(2) EM = FM。分析：（1）由于AC为直径，可考虑连结 EC,构造直角三角形来解题，要证 BC是。O 的切线，证到/ 1

2、 + / 3= 900即可；（2）可证到EF/ BC,考虑用比例线段证线段相等。证明：（1）连结 EC, DE = CD, ./ 1 = Z 2 DE 切。于 E, . / 2= / BAC. AC 为直径，/ BAC+/3= 9001 + Z 3= 90°,故 BC 是O O 的切线。(2) 1. / 1 + Z 3=90°,BCXAC又 EFXAC,EF / BCEMAMMF= =BDADCD BD = CD , .1. EM = FM【例2】如图， ABC中，AB =AC，。是BC的中点， 点D。求证：AC是O O的切线。分析：由于。与AC有无公共点未知，因此我们从圆

3、心 向AC作垂线段OE,证OE就是O O的半径即可。证明：连结OD、OA ,作OEXAC于EAB =AC, OB = OC, . AO 是/ BAC 的平分线.AB 是。的切线，ODXAB又 OEXAC,OE=ODAC是。的切线。B , OC平行于弦【例3】如图，已知 AB是。O的直径，BC为。O的切线，切点为AD , OA = r。（1）求证：CD是。的切线；（2）求AD OC的值；9（3）若AD + OC=2r ,求CD的长。2分析：（1）要证CD是。的切线，由于 D在。上，所以只须连结 OD,证ODLDC 即可；（2）求AD -OC的值，一般是利用相似把 AD OC转化为其它线段长的乘积

4、，若其它两条线段长的乘积能求出来，则可完成；（3）由一一一9AD OC , AD+OC=-r可求出AD、OC,根据勾股 2定理即可求出CD。证明：(1)连结OD,证/ ODC = 900即可；(2)连结BD AB 为。O 的直径，/ ADB =900 / OBC = 900,/ ADB = / OBC又/A = /3, .ADBsobcAD _ ABOB -OC2AD OC =OB AB =2r9(3)由(2)知 AD OC =2r ,又知 AD + OC= r2292, .AD、OC是关于x的方程x rx +2r = 0的两根2 r .解此万程得xi = - , X2 = 4r2 . OC&

5、gt; r, OC= 4r.-.CD= VOC2 -OD2 =d'16r2 -r2 =V15r探索与创新：【问题一】如图，以正方形 ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为 O,CG切半圆于 E,交AD于F,交BA的延长线于 G, GA= 8。(1)求/ G的余弦值；(2)求AE的长。略解：(1 )设正方形 ABCD 的边长为a , FA = FE = 6 ,在 Rt FCD 中，4b 4a b 5b 5(定值)，OO的圆心O在FC2 =FD2 +CD2, (a+b)2 =(ab)2 +a2,解得 a = 4b。CDcos dFCD = FC. AB /CD,G=Z FCD,

6、 cos/G.一/ G 为公共角， AEGA EBG(2)连结 BE, CG 切半圆于 E, AEG =Z GBE,AE GE16 1二二二一BE GB32 224在RtAAEB中，可求得AE = 455【问题二】如图，已知 ABC 中，AC = BC, /CAB = aAB上，并分别与 AC、BC相切于点P、Q。(1)求/ POQ;(2)设D是CA延长线上的一个动点，DE与。O相切于点 M ,点E在CB的延长线上，试判断/ DOE的大小是否保持不变，并说明理由。分析：(1)连结OC,利用直角三角形的性质易求/POQ; (2)试将/ DOE用含a的式子表示出来，由于 支为定值，则/ DOE为定

7、值。解：(1)连结OC. BC 切。于 P、Q, .1 = / 2, OPXCA , OQXCB-. CA = CB, COXAB/ COP= / CAB , / COQ = / CBA/ CAB = a , ,/ POQ = / COP+Z COQ = 2a(2)由CD、DE、CE都与。相切得：/ ODE = 1 / CDE, / OED = 1 / CED 22(/ ODE +/ OED), _ _0 ./ DOE = 180 = 1800-(/ CDE + Z CED)= 1800-( 1800-Z ACB )= 1800-21180 ( 180 - 20t )20= 180 -： /

8、DOE为定值。跟踪训练：一、选择题：1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是(A、经过半径外端点的直线是圆的切线；B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线；C、垂直于半径的直线是圆的切线；D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、在 RtAABC 中，/ A = 900,E、F,若 AB = a ,A、abB、点O在BC上，以 则。O的半径为( a bO为圆心的。O分别与AB、AC相切于3、正方形ABCD中,A、1 ： 2AE切以B、abBC为直径的半圆于1 : 3C、E,C、)aba b交CD于1 : 4a bD、F,2则 CF ： FD=()D、2 ： 54、如图，过

9、。O外一点PB、PA上分别取一点 =( )P作。的两条切线PA、PB,切点分别为D、E、F,使 AD = BE, BD=AF,连结A、B,连结 AB ,在 AB、DE、DF、EF,贝U/ EDFA、900/ PB、C、180°/ PD、450- - Z P2二、填空题:5、已知PA、PB是。的切线，A、B是切点，/ APB = 780,点C是O O上异于A、B的 任一点，则/ ACB =。6、如图，AB ± BC , DC± BC , BC与以AD为直径的。相切于点 E, AB = 9, CD = 4, 则四边形ABCD的面积为。7、如图，O。为RABC的内切圆，

10、点 D、E、F为切点，若 AD =6, BD = 4,则 ABC 的面积为。8、如图，已知 AB是。O的直径，BC是和。O相切于点 B的切线，过。上A点的直线 AD / OC,若 OA = 2 且 AD + OC = 6,贝U CD =。B第8题图9、如图，已知。的直径为AB , BD = OB, Z CAB = 300,请根据已知条件和所给图形写出4个正确的结论(除OA = OB=BD外)：; 。10、若圆外切等腰梯形 ABCD的面积为20, AD与BC之和为10,则圆的半径为 。 三、计算或证明题：11、如图，AB是半。O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动(不 与点M重合)

11、，点Q在半O。上运动，且总保持PQ=PO,过点Q作。O的切线交BA的延 长线于点Co(1)当/ QPA=60°时，请你对 QCP的形状做出猜想，并给予证明；(2)当QPXAB时， QCP的形状是 三角形；(3)则(1) (2)得出的结论，请进一步猜想，当点P在线段AM上运动到任何位置时， QCP-一定是 三角形。c12、如图，割线 ABC与。相交于B、C两点，D为。上一点，E为BC的中点，OE 交 BC 于 F, DE 交 AC 于 G, / ADG = / AGD。(1)求证：AD是。的切线；(2)如果 AB =2, AD = 4, EG = 2,求。O 的半径。13、如图，在 A

12、BC中，/ ABC =900,。是AB上一点，以 O为圆心，OB为半径的 圆与AB交于点E,与AC切于点D, AD =2, AE = 1,求SCD。14、如图，AB是半圆(圆心为 O)的直径，OD是半径，BM 切半圆于 B, OC与弦 AD平行且交BM于C。(1)求证：CD是半圆的切线；(2)若AB长为4,点D在半圆上运动，设AD长为x ,点A到直线CD的距离为y , 试求出y与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围。第14题图15、如图，AB是。O的直径，点 C在OO的半径AO上运动，PCXAB交。于E, PT 切。于 T, PC=2.5。(1)当CE正好是。的半径时，PT = 2,求

13、。的半径；(2)设PT2=y, AC =x，求出y与x之间的函数关系式；(3) APTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出 PTC的面积;若不能，请说明理由。跟踪训练参考答案一、选择题：DCBB 二、填空题：5、51 或 129; 6、78; 7、24; 8、2J3;9、/ACB = 90°, AB = 2BC, DC 是。的切线，BD=BC 等；10、2 三、计算或证明题：11、(1) 4QCP是等边三角形；(2)等腰直角三角形；(3)等腰三角形12、( 1)证 ODLAD ; (2) 2V3 ;1813、过 D 作 DFBC 于 F, S为cd =；514、(1)证/ ODC = 90°； (2)连结 BD,过 A 作 AE CD 于 E,证 ADB AED ,ADAB口 yx12 _、则有=，即二=一，y=-x (0<x<4)AEAD x4422215