2019年北京市大兴区高考数学一模试卷(理科)

1、2019年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）8 小题，每小题5 分，共40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目第 5 页（共 21 页）要求的一项1 （ 5 分）已知全集UR，集合A x|x< 0， B 2，1， 0， 1， 2，那么（?UA）B 等于（）D 2，1， 0A 0 ， 1， 2 B 1 ， 2C 2，12 （ 5 分）已知a30.4，则（）A a> b> cBc> a> bC c> b> aD a> c> b3 （ 5 分）若x， y 满足则2x y 的最大值为（）A 6B 4C 6D 8S 值为16，则判断框内的条

2、件为（）5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的A n> 6？Bn 7？C n> 8？D n> 9？B 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件5 （ 5 分）已知抛物线C： y2 x，直线l： x my+1 ，则“ m 0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的（ ）A 充分而不必要条件C 充分必要条件木克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克6 （ 5 分） 中国古代将物质属性分为木、土、水、火” 五种， 其相互关系是 “金克木，A 8B 10C 15D 207 （ 5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（ABC

3、3D8 （ 5 分）设不等式组所表示的平面区域为D，其面积为S 若S 4，则 k 的值唯一； 若 ，则 k 的值有 2 个； 若 D 为三角形，则； 若 D为五边形，则k> 4以上命题中，真命题的个数是（）A 1B 2C 3D 4二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9 （ 5分）已知复数z满足z2+1 0，则|z|10 （ 5 分）若Sn为等比数列an的前n 项的和，8a2+a5 0，则11 （ 5分）在极坐标系下，点与曲线 2cos 上的动点Q距离的最小值为12 （5 分）已知函数f（x）sin（ x+），若存在一个非零实数t，对任意的xR，都有 f（ x+t）f（ x）

4、，则 t 的一个值可以是13 （5 分）已知点O（0，0） ，A（1，1） ，点 P 在双曲线x2y21 的右支上，则的取值范围是14 （ 5 分）在某些竞赛活动中，选手的最终成绩是将前面所有轮次比赛成绩求算术平均获得的同学们知道这样一个事实：在所有轮次的成绩中，如果由高到低依次去掉一些高分，那么平均分降低；反之，如果由低到高依次去掉一些低分，那么平均分提高这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1， a2， ，an 满足a1 a2an， 且a1，三、解答题15 （ 13 分） 在锐角ABC 中， 角 A， B， C 所对应的边分别是a， b， c，（）求A的大小；（）若， b 5，求c

5、的值16 （ 13 分）某机构对A 市居民手机内安装的“APP”（英文 Application 的缩写，一般指手机软件）的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取了100 人，获得了他们手机内安装APP 的个数，整理得到如图所示频率分布直方图：（）从A 市随机抽取一名使用智能手机的居民，试估计该居民手机内安装APP 的个数不低于 30 的概率；（）从A 市随机抽取3 名使用智能手机的居民进一步做调研，用X 表示这 3 人中手机内安装APP 的个数在20， 40）的人数 求随机变量X 的分布列及数学期望； 用 Y1 表示这3人中安装APP 个数低于20的人数， 用 Y2表示这3人中手机

6、内安装APP的个数不低于40 的人数试比较EY1 和 EY2的大小（只需写出结论）17 （ 14 分）如图1，正方形ABCD 的边长为2， E， F 分别为AB， AD 的中点，AC 与 EF交于点G， 将 AEF 沿 EF 折起到A1EF 的位置，使平面A1EF 平面EFDCB ， 如图2A1GC平面A1EF；F A1E B 的余弦值；（）判断线段A1C 上是否存在点M，使 FM 平面 A1EB？若存在，求出的值；若11不存在，说明理由18 （ 14 分）已知椭圆的离心率为， M 是椭圆 C 的上顶点，F 1， F2是椭圆C 的焦点，MF 1F2的周长是6（）求椭圆C 的标准方程；（）过动点

7、P（1，t）作直线交椭圆C 于A，B 两点，且|PA|PB |，过P 作直线l，使l 与直线 AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标19 （13 分）已知函数f（x）aex图象在x0 处的切线与函数g（x）lnx图象在x1 处的切线互相平行（）求a 的值；（）设h（x） f（x）g（x），求证：h（x）>220（ 13 分） 已知集合A a1， a2， ，a1000， 其中，a1<a 2<<a10002019如果集合A满足： 对于任意的m+nA（m，n1，2，1000），都有am+an A，那么称集合A具有性质P（）写出一个具有性质P 的集合A；（）证明：

8、对任意具有性质P 的集合A， 2000?A；（）求具有性质P 的集合 A 的个数第 33 页（共 21 页）2019年北京市大兴区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8 小题，每小题5分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 （ 5 分）已知全集U R，集合A x|x< 0， B 2，1， 0， 1， 2，那么（?UA）B 等于（）A 0 ， 1， 2 B 1 ， 2C 2，1 D 2，1， 0【分析】由全集U R，以及A，求出 A 的补集，找出A 补集与 B 的交集即可【解答】解：全集UR，集合A x|x<0，B2，1，0，1， 2，

9、 ?UA x|x 0，则（?UA）B 0 ， 1 ， 2故选： A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2 （ 5 分）已知a 30.4，则（）A a> b> cB c> a> bC c> b> aD a> c> b【分析】容易得出，从而得出a， b， c 的大小关系【解答】解：，； a> c> b故选： D【点评】考查指数函数、对数函数的单调性，增函数、减函数的定义3 （ 5 分）若x， y 满足则 2x y 的最大值为（）A 6B 4C 6D 8【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z

10、 的几何意义，进行平移，结合图象得到z 2x y的最大值【解答】解：由z 2x y 得 y 2x z，作出x， y 满足对应的平面区域（阴影部分）如图：平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过A（4，2）时，直线y2xz的截距最小，此时z 最大即 z 2× 4 2 6是解决此类问题的基本方法4 （ 5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为16，则判断框内的条件为（A n> 6？B n 7？C n> 8？D n > 9？【分析】 根据框图运行后输出的结果是16， 从 s 0， n 1 开始假设判断框中的条件不满足，执行“否”路径，依次执行到 s 的值为

11、16 时看此时的n 值，此时的n 值应满足判断框中的条件，由此即可得到答案【解答】解：框图首先赋值s 0， n 1，执行s 0+1 1， n 1+2 3；判断框中的条件不满足，执行s1+34，n3+25；判断框中的条件不满足，执行s4+59，n5+27；判断框中的条件不满足，执行s9+716，n7+29；此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，输出结果为16由此看出，判断框中的条件应是选项C，即n> 8故选：C【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型循环，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足算法结束，是基础题5 （5 分）已知抛物线C：y2x，直线l：xmy+1 ，

12、则“m0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件【分析】由直线与抛物线的位置关系得：联立，消 x 得：y2 my 1 0，由 m2+4> 0，得关于y 的方程有不等两解，由充分必要条件得：直线l： x my+1 与抛物线C： y2 x恒有两个不同交点”， 即 “ m 0”是“直线 l 与抛物线C 有两个不同交点”的充分不必要条件，得解【解答】解：联立，消 x 得：y2 my 1 0，由m2+4>0，得关于y 的方程有不等两解，即直线l： xmy+1与抛物线C：y2x恒有两个不同交点”，即“m

13、0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系及充分必要条件，属中档题6 （ 5 分） 中国古代将物质属性分为 “金、 木、土、水、火” 五种， 其相互关系是 “金克木，木克土，土克水，水克火，火克金 ”将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为（）A 8B 10C15D 20【分析】由题意，可看作五个位置排列五种事物，由分步原理求解即可，本题需要考虑的因素：相克的两种物质不相邻，注意满足此规则，计算符合条件的排列方法种数【解答】解：根据题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假

14、设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5× 2× 1× 1× 1 10；故选： B【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，涉及分步计数原理的应用，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景7 （ 5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（）ABC 3D【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据去，最长棱长即可【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P ABC，长方体的底面是边长为3

15、， 2 高为2， CF DC DE 1，所以最长的棱长为PB，PB故选： B本题考查三视图求解几何体的棱长，判断几何体的形状是解题的关键8 （ 5 分）设不等式组所表示的平面区域为D ，其面积为S 若S 4，则 k 的值唯一； 若 ，则 k 的值有 2 个； 若 D 为三角形，则； 若 D为五边形，则k> 4以上命题中，真命题的个数是（）A 1B 2C 3D 4【分析】画出不等式组表示的区域，讨论k 的变化，结合图形和面积的求法，可判断正确结论【解答】解：|x|+|y| 2 表示边长为2 的正方形和其内部的区域，y+2 k（ x+1）表示直线y+2 k（ x+1）和下方的区域，当k>

16、; 0 时，表示直线右侧的区域；k< 0 时，表示直线左侧的区域当 k 由 0 变化到无穷大时，面积S增加到7，当k< 0 时，表示直线左侧的区域，如果区域非空，可得k<2，此时S 的范围是（0， 1） ，由分析结合图象可得 若 S 4，则k 的值唯一，且为正，故 正确； 若 ，则 k 的值有 2 个，一正一负，故 正确； 由直线经过点（2， 0） ，可得k；经过（2， 0） ，可得k2，若 D 为三角形，则或k<2，故 错误； 由直线经过（0， 2） ，可得k 4，若 D 为五边形，则k> 4，故 正确故选：C【点评】本题考查不等式表示的平面区域，考查直线旋转所

17、形成的区域和面积变化，考查数形结合思想和分析、推理能力，属于中档题二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9 （ 5分）已知复数z满足z2+1 0，则 |z|1 【分析】结合复数的运算和性质，求出z i 或 i ，结合复数的模长公式进行计算即可【解答】解：由z2+1 0，得z21，则zi 或i ，则|z|1 ，故答案为：1【点评】本题主要考查复数的模长的计算，结合复数的运算求出z 是解决本题的关键10 （ 5 分）若Sn为等比数列an的前n 项的和，8a2+a5 0，则 7 【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出q3 的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n 项和公式，即

18、可求出结果【解答】解：由8a2+a5 0，得到 q 877故答案为：7【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n 项和公式化简求值，是一道基础题11 （ 5 分）在极坐标系下，点与曲线 2cos 上的动点Q 距离的最小值为【分析】 将点 P 的极坐标化成直角坐标，圆的极坐标方程化成直角坐标后，PQ 的最小值等于点 P 到圆心的距离减去半径【解答】解：点P（ 1， ）的直角坐标为（0， 1） ，曲线 2cos 的直角坐标方程为：（ x 1） 2+y2 1，其圆心为（1， 0） ，半径为1，点 P（ 0， 1）与圆心（1， 0）的距离为， |PQ |min故答案为 1

19、 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题12 （ 5 分）已知函数f（ x）sin（ x+） ，若存在一个非零实数t，对任意的x R，都有f（ x+t）f（ x） ，则 t 的一个值可以是2 【分析】先判断 t 是函数的一个周期，再利用三角函数的周期性得出结论【解答】解：对于函数f（ x）sin（ x+） ，若存在一个非零实数t，对任意的x R，都有f（ x+t）f（ x） ， t 是函数的一个周期，可以是t 2，故答案为：2【点评】本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题13 （5 分）已知点O（0，0），A（1，1） ，点 P 在双曲线x2y21 的右支上，则的取值范围是（ 0，

20、 +） 【分析】 用坐标表示出则， 利用 P 与双曲线的渐近线的位置关系，即可得出结论【解答】解：设P（ x， y） ， x2 y2 1（1 ， 1） （? x， y）x+y，P 是该双曲线上且在第一象限的动点接近双曲线的渐近线时，可知+，P 是该双曲线上且在第四象限的动点接近双曲线的渐近线时，可知 0，则的取值范围是（0， +） 故答案为：（ 0， +）【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14 （ 5 分）在某些竞赛活动中，选手的最终成绩是将前面所有轮次比赛成绩求算术平均获得的同学们知道这样一个事实：在所有轮次的成绩中，如果由高到低依

21、次去掉一些高分，那么平均分降低；反之，如果由低到高依次去掉一些低分，那么平均分提高这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a1， a2， ，an 满足a1 a2an， 且 a1，a2，an 不全相等，则； （答案形式不唯一）【分析】根据平均数的等于可以知道，一组数据若是按照从小到大的顺序排列起来，可以做出这组数据的平均数，如果把这组数据中的一部分较小的数据去掉，则这组数据的平均数减小反之则增大【解答】 解： 根据平均数的等于可以知道，一组数据若是按照从小到大的顺序排列起来，可以做出这组数据的平均数，如果把这组数据中的一部分较小的数据去掉，则这组数据的平均数减小，若把这写数据中的较大的一些数据

22、去掉，则这组数据的平均数增大，则，故答案为：，【点评】求两组数据的平均值和方差是研究数据常做的两件事，平均值反映数据的平均水平，而方差反映数据的波动大小，从两个方面可以准确的把握数据的情况三、解答题15 （ 13 分） 在锐角ABC 中， 角 A， B， C 所对应的边分别是a， b， c，（）求A的大小；（）若， b 5，求c 的值【分析】 （）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可求 A 的值（）由余弦定理可得c2 5c+4 0，解得c 的值【解答】 （本题满分为13 分）解： （）在ABC 中，由正弦定理，（2 分）得 asinB bsinA又，得（4 分）由于

23、，所以（6 分）（）， b 5，在 ABC 中，由余弦定理a2 b2+c2 2bccosA，（7 分）得，即 c 5c+4 0，解得c 1 ，或c 4（11 分）c 1时，此时，ABC 为钝角三角形，舍去经检验，c 4 满足题意（13 分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16 （ 13 分）某机构对A 市居民手机内安装的“APP”（英文 Application 的缩写，一般指手机软件）的个数和用途进行调研，在使用智能手机的居民中随机抽取了100 人，获得了他们手机内安装APP 的个数，整理得到如图所示频

24、率分布直方图：（）从A 市随机抽取一名使用智能手机的居民，试估计该居民手机内安装APP 的个数不低于 30 的概率；（）从A 市随机抽取3 名使用智能手机的居民进一步做调研，用X 表示这 3 人中手机内安装APP 的个数在20， 40）的人数 求随机变量X 的分布列及数学期望； 用 Y1 表示这3人中安装APP 个数低于20的人数， 用 Y2表示这3人中手机内安装APP的个数不低于40 的人数试比较EY1 和 EY2的大小 （只需写出结论）（） 从 A 市随机抽取一名使用智能手机的居民，结合频率分布直方图，求解 a，然后求解居民手机内安装APP 的个数不低于30 的概率；X 表示这 3 人中手

25、机内安装APP 的个数在20， 40）的人数 求出变量X 的可能取值，求出概率即可得到分布列，然后求解X 的数学期望； 直接判断EY1 和 EY2的大小即可（共 13 分）解： ()由(0.011+0.016+ a+ a+0.018+0.004+0.001 )×10 1，得a 0.025(1 分）从 A 市随机抽取一名使用智能手机的居民，该居民手机内安装“APP”的数量不低于30P(0.025+0.018+0.004+0.001 )×10 0.48(3 分） 从 A市随机抽取一名使用智能手机的居民，该居民手机内安装“APP”的数量在 20， 40）的概率估计为P（0.025

26、+0.025）×10 0.5（1 分） X 所有的可能取值为0， 1 ， 2， 3，则（2 分）3 分）4 分）5 分）（6 分）X0123P所以 X 的分布列为所以 X 数学期望为8 分） EY1> EY2(10 分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力17（ 14 分）如图1，正方形ABCD 的边长为2， E， F 分别为AB， AD 的中点，AC 与 EF交于点G， 将 AEF 沿 EF 折起到A1EF 的位置，使平面A1EF 平面EFDCB ， 如图2A1GC平面A1EF；F A1E B 的余弦值；A1C 上是否存在点M ，使F

27、M 平面A1EB？若存在，求出不存在，说明理由【分析】 （）证明AC BD AC EF得到 GC EF，推出GC 平面A1EF然后证明平面A1GC平面A1EF（）以G 为原点，建立空间直角坐标系G xyz，求出平面A1EF 的一个法向量，平面A1EB 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角F A1 EB 的余弦值（）设（ 0 1） ，通过FM平面A1EB，则，解得，然后求解的值【解答】（共14 分）（）证明：因为正方形ABCD 中，E， F 分别为AB、 AD 的中点，所以EFBD，ACBD所以ACEF所以GCEF（2分）又因为 GC? 平面 EFDCB，平面A1EF 平面EFDCB，平面A

28、1EF 平面EFDCB EF，所以GC平面A1EF又因为 GC? 平面A1GC，所以平面A1GC平面A1EF （4 分）GE、 GC、 GA1 两两垂直，所以，以G 为原点，建立空间直角坐标系Gxyz，如图，（1 分）则G（ 0， 0， 0） ，所以，是平面A1EF 的一个法向量（2 分）令 x1 ， 则 y1 ， z1设平面A1EB 的法向量为，所 以（3分 ）由图可知所求二面角为钝角，所以二面角F A1 EB 的余弦值为（5分）（）设（ 0 1） ，（1 分），（2 分）若使 FM 平面A1EB，则（3 分），解得（4 分）所以存在点M，使 FM 平面A1EB，此时的值为（5 分）本题考查

29、直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空18 （ 14 分）已知椭圆的离心率为， M 是椭圆 C 的上顶点，F 1， F2是椭圆C 的焦点，MF 1F2的周长是6（）求椭圆C 的标准方程；（）过动点P（1，t）作直线交椭圆C 于A，B 两点，且|PA|PB |，过P 作直线l，使l 与直线 AB 垂直，证明：直线l 恒过定点，并求此定点的坐标【分析】 （ I）根据椭圆的离心率以及过点，建立方程组即可求椭圆C 的方程；（）设出直线MN 的斜率和方程，联立直线方程和椭圆方程，根据中点弦的性质进行求解即可【解答】解： （）由于M 是椭圆 C 的上顶点，由题意得2a+2c 6，又椭

30、圆离心率为，即，解得a 2， c 1又 b2 a2 c2 3，所以椭圆C 的标准方程证明： （）当直线AB 斜率存在，设AB 的直线方程为y t k（ x 1） ，联立，得（3+4k2）x2+8k（tk）x+4（tk）2120，由题意，>0，设A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，|PA| |PB|，所以P 是 AB 的中点即，得， 4kt+3 0又 l AB，且k 0， l 的斜率为直线 l 的方程为把 代入 可得：所以直线l 恒过定点AB 斜率不存在时，直线AB 的方程为x 1 ，此时直线l 为 x 轴，也过综上所述直线l 恒过点本题主要考查椭圆方程的求解以及中点弦的应用

31、，联立方程转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键19 （13 分）已知函数f（x）aex图象在x 0 处的切线与函数g（x）lnx图象在x1 处的切线互相平行a 的值；h（x）f（x）g（x），求证：h（x）2（） 由 （fx）aex，得f（'x）aex，从而f（ '0）a由g（x） lnx， 得，从而g'（1 ）1 由导数的几何意义得f'（0） g'（ 1 ） ，由此能求出a，设，h （ x）f（ x） g （ x）ex lnx， x> 0，则，推导出 （x）在区间（0，+ ）存在唯一零点，设零点为x0，则，且，由此利用分类讨

32、论思想和导数的性质能证明h（ x）2，（共 13 分）解： （）由f（x）aex，得f'（x）aex，所以f'（0）a（1 分）由 g（ x）lnx，得，所以g'（ 1）1（2 分）由已知f'（ 0）g'（ 1 ） ，得a 1 （3 分）经检验，a 1 符合题意（4 分）证明： （）h（x）（fx）g（x）exlnx， x>0， 设， （ 1 分）则，所以 （ x）在区间（0， + ）单调递增，（3 分）又 （ 1）e 1> 0，（4 分）所以 （ x）在区间（0， + ）存在唯一零点，设零点为x0，则，且（5 分）当x（0，x0）时，h&#

33、39;（x）<0；当x（x0，+） ，h'（x）>0所以，函数h（ x）在（0， x0）递减，在（x0， + ）递增，（6分），（7 分）由，得lnx 0x0所以，（8 分）由于， h（ x0）>2从而h（ x）>2，命题得证（9 分）【点评】本题考查实数值求法，考查不等式的证明，考查导数性质、导数的几何意义、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题20（ 13 分） 已知集合A a1， a2， ，a1000， 其中，a1<a 2<<a10002019如果集合A满足： 对于任意的m+nA（m，n 1，2，1000） ，都有am+an A，那么称集合A具有性质P（）写出一个具有性质P 的集合A；（）证明：对任意具有性质P 的集合A， 2000?A；（）求具有性质P