八年级竞赛数学培优正方形含解析

1、正方形【思维入门】1.四边形 ABCD是平行四边形，再从 AB= BC,/ ABC = 90°,AC= BD,AC丄BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD是正方形，现有 以下四种选法，其中错误的选项是A BCD 2.如图8-26- 1,在正方形ABCD的外侧，作等边三角形那么/ BFC为ADE, AC, BE相交于点F,A. 45°C. 60°B.55°75°3.如图8-26-2,正方形 ABCD和正方形CEFG中，点D 在 CG 上, BC= 1, CE= 3,H是AF的中点，那么CH的长是A. 2.5D. 2C.；,24

2、.如图8-26-3,在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且 AE= 3,点Q为对角线AC上的动点，那么 BEQ周长的最小值为.图 8 -26- 35. 如图8- 26-4,在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连结BP, DP，延长BC至U E,使 PB= PE.求证：/ PDC =图 8 -26 - 4【思维拓展】6. 如图8-26-5,将正方形OABC放在平面直角坐标系中，0是原点，A的坐标为1,3,那么点C的坐标为图 8 -26- 5A. ( . 3, 1)C. ( .3, 1)B . (- 1,3)D . (- 3,- 1)7. 如图8-26-6,正方形 ABCD中，

3、AB = 6,点E在边CD上，且CD = 3DE.将厶ADE沿AE对折至 AFE，延长EF交边BC于点G,连结AG, CF.那么以下结论：© ABGA AFG ; ® BG= CG; AG/ CF;S“GC= Saafe;/ AGB+Z AED = 145° .DEC其中正确的个数是图 8 -26 - 6B. 3C. 48. 如图8-26- 7,将n个边长都为2的正方形按照如下图摆放，点 Ai, A2,，An 分别是正方形的中心，那么这n个正方形重叠局部的面积之和是C.1D4n9. 如图8-26- 8,在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E, F分

4、别在BC和CD上.以下结论：CE= CF;/ AEB= 75°BE+ DF = EF;S正方形abcd = 2+茹.其中正确的序号是 把你认为正确的都填上.图 8 -26- 810. 在平面内正方形 ABCD与正方形CEFH如图8-26- 9放置，连DE, BH，两线交于M.求证：(1)BH = DE; (2)BH 丄 DE.图 8 -26- 911. 如图8-26- 10，在正方形ABCD中，E, F分别是边 AD, DC上的点，且AF丄BE.(1) 求证：AF = BE;(2) 如图8-26- 10，在正方形 ABCD中，M , N, P, Q分别是边 AB, BC, CD,DA

5、上的点，且MP丄NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由.C12. 如图8-26- 11，正方形ABCD的边AB, AD分别在等腰直角厶AEF的腰AE, AF上，点C在厶AEF内，那么有DF = BE(不必证明).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度«0°< *90° )后，连结BE, DF.请在图8-26- 11中用实线补全图形, 这时DF = BE还成立吗？请说明理由. 图 8- 26- 1113. (1)如图8-26- 12， ABC, 以 AB, AC为边向 ABC外作等边厶ABD和等 边厶ACE.连结BE, CD.请你完成图形，并证明：BE = C

6、D ;(尺规作图，不写做法， 保存作图痕迹)图 8- 26- 12(2)如图8-26- 12， ABC,以AB,AC为边向外做正方形 ABFD和正方形ACGE.连结BE, CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图8- 26- 12，要测量池塘两岸相对的两点 B,E的距离，已经测得/ ABC= 45°, / CAE= 90°, AB= BC= 100 m, AC = AE, 求 BE 的长.【思维升华】14. 如图8-26- 13,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点，连结BP,过P作PQ丄BP,PQ交CD于Q,假

7、设AP = CQ = 2,那么正方形ABCD的面积为 图 8 -26- 13A . 6 + 4 2B. 16D. 32C. 12+ 8 2F分别为MN , QR的中点，连结EF，设EF的中点为D时，点G移动的路径长为15. 如图8-26- 14,四边形 ABHK是边长为6的正方形，点 C, D在边AB上，且AC =DB = 1,点P是线段CD上的动点，分别以AP, PB为边在线段AB的同侧作正方 形AMNP和正方形BRQP, E,G,那么当点P从点C运动到点A CPD*VMXQF8- 26- 14C. 316.如图8-26- 15,正方形 ABCDAE是A点关于线段EF的对称点，那么AD的边长

8、为等于MBF C 图 8 -26 - 154, M点为CD边上的中点，假设M占八、B.|1D.2A.f17.如图8-26- 16,正方形 ABCD中，点M在边CD上，且DM = 3, MC= 1,C. 2线段AM绕点A顺时针旋转，使点M落在BC所在的直线上的点N处，那么N , C两点 的距离为第17题答图图 8-26 - 16 AEP为等腰直角三角形，/18.如图8-26- 17,四边形 ABCD为正方形,EAP= 90°，且 D, P, E 三点共线，假设 EA= AP= 1, PB= , 5,贝U DP =DC图 8 -26- 1719.如图8-26- 18,四边形 ABCD是正

9、方形，/ 1 = / 2=/ 3./ 1 = 30°, DG = .3,求正方形 ABCD的边长；(2)求证：AG-GF = GE.E图 8 -26- 18正方形【思维入门】1.四边形 ABCD是平行四边形，再从 AB= BC,/ ABC = 90°, AC= BD,AC丄BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD是正方形，现有 以下四种选法，其中错误的选项是B A B.C.D 2如图8-26- 1,在正方形ABCD的外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE相交于点F，那么/ BFC为BA(C )7CD图 8 -26- 1A. 45°B. 55

10、76;C. 60°D. 75°3. 如图8-26-2,正方形 ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上, BC= 1，CE= 3,H是AF的中点，那么CH的长是B 图 8 -26- 2A. 2.5B. 5C.； .2D. 2【解析】 如答图，连结AC, CF,第3题答图正方形ABCD和正方形CEFG中，BC= 1, CE = 3, AC= 2, CF = 3 2,/ ACD =/ GCF = 45°,:丄 ACF = 90°,由勾股定理得，AF= AC2 + CF2= ' ( .2) 2+( 3,2) 2 = 2 5. H是AF的中点，1 1二

11、 CH =，AF= 2X 2 5= 5.4. 如图8-26-3,在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且 AE= 3,点Q为对角线AC上的动点，那么 BEQ周长的最小值为 6.图 8 -26- 35. 如图8- 26-4,在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连结BP, DP，延长BC至U E, 使 PB= PE.求证：/ PDC图 8 -26 - 4证明：在正方形 ABCD 中，BC= DC,/ PCB= Z PCD ,又 PC= PC, PCBAPCD(SAS),Z PBC=Z PDC. PB= PE,/ PBC=Z PEC./ PDC =/ PEC.【思维拓展】6. 如图

12、8-26-5,将正方形OABC放在平面直角坐标系中，0是原点，A的坐标为1,3,那么点C的坐标为(A )A7A. (- 3, 1)C. ( 3, 1)图 8 -26- 5B . (- 1, .3)D . (- 3,- 1)7. 如图8-26-6,正方形 ABCD中，AB = 6,点E在边CD上，且CD = 3DE.将厶ADE沿AE对折至 AFE，延长EF交边BC于点G,连结AG, CF.那么以下结论：© ABGA AFG ; ® BG= CG; AG/ CF;SGC= Saafe;/ AGB+Z AED = 145° .其中正确的个数是C A . 2B. 3C.

13、4D. 5【解析】 根据翻折变换的性质和正方形的性质可证RtAABG也Rt AFG ;在直角 ECG中，根据勾股定理可证 BG = GC;通过证明Z AGB=Z AGF =Z GFC =Z GCF, 由平行线的判定可得 AG / CF;分别求出Saegc与Saafe的面积比拟即可；求得Z GAE =45°,Z AGB+ Z AED = 180°- Z GAE= 135° .8. 如图8-26- 7,将n个边长都为2的正方形按照如下图摆放，点 A1, A2,，An分别是正方形的中心，那么这n个正方形重叠局部的面积之和是 B 4图 8 -26- 7A. nB. n-

14、1D.n1 1【解析】 由题意可得一个阴影局部面积等于正方形面积的 4,即4X 4= 1,5个这样的正方形重叠局部阴影局部的面积和为1X4, n个这样的正方形重叠局部 阴影局部的面积和为1 x n -1 = n -1.9. 如图8-26- 8,在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E, F分别 在BC和CD上.以下结论：CE= CF;/ AEB= 75°BE+ DF = EF;S正方形abcd = 2+萌.其中正确的序号是_把你认为正确的都填上.图 8 -26- 810. 在平面内正方形 ABCD与正方形CEFH如图8-26- 9放置，连DE, BH，两线交于M.求证：

15、1BH = DE; 2BH 丄 DE.图 8 -26- 9证明：四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形,A第10题答图CB = CD, CE = CH，/ BCD=/ECH= 90° ./ BCH = 90°+/ DCH，/ DCE= 90°+/ DCH./ BCH = / DCE.在厶BCH和厶DCE中，TCB = CD, / BCH = / DCE, CH= CE, BCH DCE(SAS). BH = DE.如答图，连结BD.四边形ABCD是正方形，/ DBC + / BDC = 90° . BCHDCE，/ CBH =/ CDE./ DBM +

16、 / BDM = / DBM + / CDE+ / BDC=/ DBM + / CBH+ / BDC =/ DBC + / BDC = 90° ./BMD = 180° (/ DBM + / BDM) = 180° 90°= 90° . BH 丄 DE.11. 如图8 26 10，在正方形ABCD中，E，F分别是边 AD，DC上的点，且AF丄BE.(1) 求证：AF = BE;(2) 如图8 26 10，在正方形 ABCD中，M， N, P，Q分别是边 AB，BC，CD，DA上的点，且MP丄NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由.BC图 8- 2

17、6- 10解：证明：如答图，设AF与BE交于点G,四边形ABCD是正方形， AB = AD，/ BAD = /D = 90°,/ FAD +Z AFD = 90° . AF 丄 BE,/ AGE = 90°,/ FAD +Z AEG = 90° ./ AFD = / AEG. DAF ABE.第11题答图 AF = BE.(2)如答图，过点A作AF / MP交CD于点F,过点BE / NQ 交 AD 于 E.得到？ BEQN 和？ AFPM， AF = MP，BE= NQ,由(1)得 AF = BE, MP = NQ.第11题答图B12. 如图8-26-

18、 11，正方形 ABCD的边AB, AD分别在等腰直角 AEF的腰AE, AF上，点C在厶AEF内，那么有DF = BE不必证明.将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度 «0°< av 90° 后，连结BE, DF.请在图8-26-11中用实线补全图形，这时 DF = BE还成立吗？请说明理由. 解：补全图形如答图所示.图 8- 26- 11DF第12题答图理由：四边形ABCD是正方形， AEF是等腰直角三角形，二AD= AB, AF=AE,/ FAE=/ DAB= 90°/ FAD =/ EAB. 在厶ADF和厶ABE中,AD = AB,/ F

19、AD=/ EAB,AF = AE. ADF ABE(SAS DF = BE.13. (1)如图8-26- 12， ABC,以AB, AC为边向 ABC外作等边厶ABD和等 边厶ACE.连结BE, CD.请你完成图形，并证明：BE = CD ;(尺规作图，不写做法， 保存作图痕迹)图 8- 26- 12(2)如图8-26- 12， ABC,以AB,AC为边向外做正方形 ABFD和正方形ACGE.连结BE, CD.BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；运用(1)(2)解答中积累的经验和知识，完成下题：如图8- 26- 12，要测量池塘两岸相对的两点 B, E的距离，已经测得/ ABC= 45 /

20、 CAE= 90°, AB= BC= 100 m, AC = AE, 求 BE 的长.解：(1)如答图，完成作图，字母标注正确. ABD和厶ACE都是等边三角形， AD = AB, AC = AE,Z BAD =/ CAE = 60/ BAD + / BAC= / CAE+ / BAC, 即 / CAD = / EAB. CADEAB. BE = CD.(2)BE = CD.理由同(1):四边形ABFD和ACGE均为正方形，第13题答图 AD = AB, AC = AE,/ BAD =/ CAE= 90 BE = CD.由(1),(2)的解题经验可知，如答图，过AB作等腰直角三角形A

21、BD, Z BAD= 90°那么 AD = AB= 100 m, Z ABD = 45°.二 BD= 100 2 由可知BE= CD.vZ ABC = 45°在 Rt DBC 中，BC= 100 m, BD = 100 2 m.CD = ,1002+( 100,2) 2= 100,3(m). BE 的长为 100 3 m.【思维升华】14. 如图8-26- 13,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点，连结BP,过P作PQ丄BP,PQ交CD于Q,假设AP = CQ = 2,那么正方形 ABCD的面积为图 8- 26- 13第14题答图A . 6 + 4 2C. 1

22、2+ 8 2B. 16D. 32【解析】如答图，过P分别作PE,PF, PG垂直于AB, CD , AD，垂足分别为E,F,G.易证 Rt EPBRtAFQPRt FDP，所以 FQ= FD= EP= , 2,因此正方形 ABCD的边长为2 + 2 .2,所以面积为(2 + 2.2)2 = 12 + 8 2.15. 如图8-26- 14,四边形 ABHK是边长为6的正方形，点 C, D在边AB上，且AC =DB = 1,点P是线段CD上的动点，分别以AP, PB为边在线段AB的同侧作正方 形AMNP和正方形BRQP, E, F分别为MN , QR的中点，连结EF，设EF的中点为 G,那么当点P

23、从点C运动到点D时，点G移动的路径长为(B ).-VN图 8- 26- 14C. 3【解析】 如答图，设KH中点为S,连结PE, 为平行四边形，ES, SF, PF, PS,可证明四边形PESFN、第15题答图 G为PS的中点，即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹CSD的中位线，v CD = AB- AC- BD = 6- 1- 1= 4, 点G移动的路径长为2.16. 如图8-26- 15,正方形 ABCD的边长为4, M点为CD边上的中点，假设 是A点关于线段EF的对称点，那么AE等于图 8-26- 15MBF C第16题答图A.f【解析】 如答图，连结EM , v M, A关于EF对称， EA= EM，设 AE= x,贝U ED = 4-x, EM = x,而 DM = 2,在直角 DEM 中, 股定理得(4-x)2 + 22=x2，解得 x=4-x= |, Ed = 3.B.C. 2D.1由勾17. 如图8-26- 16,正方形 ABCD中，点M在边CD上，且DM = 3, MC= 1,把 线段AM绕点A顺时针旋转，使点M落在BC所在的直线上的点N处，那么N , C两点的距离为_1或7.图8-26- 16第17题答图【解析】 如答图，把线段AM绕点A画弧，可见N, C两点的距离存在两种情况： 点N在边BC上，