(word完整版)复变函数总结完整版,推荐文档

1、第一章复数1i2=-1=-1iJ1欧拉公式z=x+iyz=x+iy实部 ReReZ虚部I IImImZ2 运算Z1Z2ReZ1ReZ2ImZ1ImZ2Z1Z2ReZ1Z2ImZ1Z2ReZ1Rez2ImZ1ImZ2Z1Z2QX1iy1X2iy2x-ix2ix“2ix2y1ymX1X2y1y2iX1y2X2y1勺Z2Z1Z2X1iy1X2iy2XM2Y1Y2i%X2X“2Z2Z2X2iy2X2iy22X22y2i2 2X2y2Zx iy共轭复数Z Zx iy2x iy x2y共轭技巧运算律P1P1 页3 代数，几何表示辐角 当ZM0 0 时，向量 z z 和 x x 轴正向之间的夹角记作B=Ar

2、g=Arg z=z=02k 3 3把位于-n0Wn的叫做 ArgArgZ辐角主值 记作= =argZO4 如何寻找 argZ例：z=1-iz=1-i4z=iz=i2z=1+iz=1+i4Z=-1n5 极坐标：x r cos,y r sinZx iy r cosz x iyz z 与平面点x, y-对应，与向量-对应k=k= 1 1 i sin禾 U 用欧拉公式eicos i sin可得到z reii 2kz re第二章解析函数1 极限2 函数极限复变函数对于任一Z D都有W与其对应f z注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例f z zlim f zzZo称f z当z Zo时以 A A 为极限

3、z z当f Zo时，连续例 1 1 证明f zz在每一点都连续证：f z f z0z z0z z00 zz0所以f zz在每一点都连续3 导数f z C时有z-iz2r1ei 1r2ei 2r1r2ei 1ei 2r1r2ei 1 2高次幂及 n 次方n inrecosni sin n凡是满足方程z的3值称为 z z 的 n n 次方根，记作2k2kf ZolimzZof ZoZodf zZ Zo0证：对z有limlim 0z 0所以C 0例 3 3 证明f zZ不可导解：令Zf z f Z0ZZ0zZ00时, 不存在,定理：fx, yz Z0Z。z z。x iyx iy所以不可导。iv x,

4、 y在ziy处可导u u，v v 在x, y处可微，且满足 C-RC-R条件-x例 4 4 证明解:解:例 6 6：解：fz不可导Rezz2根据 C-RC-R 条件可得iy其中u x, y不满足 C-RC-R 条件Re zz2x22xv x,yyu,vu,v 关于 x,yx,y 可微所以在每一点都不可导u x, y x v不满足 C-RC-R 条件2y其中u x, y0,2y0 x所以该函数在z 0处可导4 解析若f z在Z0的一个邻域内都可导，此时称用 C-RC-R 条件必须明确 u,vu,v四则运算f gx, y 0所以在每一点都不可导x2v x, y 00,y在Z。处解析。f gzkf

5、kfn 1nz例：证明f zezez解:f zezexcosy iexsin y初等函数I常数H指数函数ezexcosy i sin y 定义域 eziez2eziz2ez2 1ezcos2isin2ezezez皿对数函数称满足z e的 叫做z的对数函数，记作lnz则u x, y excos y v x, yexsin yxe cosyvxe cosyux e sinyvx .e sin y任一点yx所以ez处处解析f zu.v ixx练习:求下列函数的导数f z2z z解：fzz2z2 2x y x iy3x3223u x, yx xyv x, y x yyuv2xy2xyyxu亠22v2_

6、23xy x 3yxyu2xy2xyx0,yyx所以当z0时fz存在导数且导数为0 0， 其xe cosyxie sin yze 22 3323ix yxyiy xxyi x y y所以-u2 23x yv2o2x 3yxy根据C-RC-R方程可得z x iy处满足 C-RC-R 条件i分类：类比nz的求法（经验）目标:寻找arg幅角主值可用:ireu iv过程:ireiviveu ie ,eeiv例:0,arg 1Ln 1arg1Ln 1arg iLn iIn r, v2kk 0,1,ivIn r2kIni rgzInz iargz 2k1, 2Ln 1Ln 1Ln i的值Inarg 12k

7、i 2k 10, 1,In1i arg2k1-In 220, 1,Inii arg i 2ki22k0, 1,IV幕函数对于任意复数，当Lnzz e1 1 ：求i1 i的值0, 1, 22 2:求1 i3 iV三角函数i1In i1ee1 iLnii ln| i iArg ii!2ki 1 2k2eIn 1eIn 1|n2 i 2k2400eiyeiycosy i sin ycosy i sin yiy iye e cosy2a iye esin y2i定义: 对于任意复数iy,由关系式可得z的余弦函数和正弦函数coszizize e2sin zizize e2i例：求sin 1cos 5解：

8、sin 1 icos 5 i丄2i12第三章复变函数的积分1 复积分定理 3.13.1 设 C C 是复平面上的逐段光滑曲线u x, yiv x, y在 C C 上连续,f z u x, y iv x, yf z dz u x,y dx v x, y dyCCx, y dyx,ydx注：C C 是线方式跟方法一：思路：复数f实化元一样把函数f z u iv与微分dz dxidy相乘，可得f z dz u x,y dx v x, y dyCCiCu x,y dyx,ydx方法二：参数方程法核心：把C C 参数C C:ztCfzdzt dt例:czdzC C： O Of 1Ci的直线段01解： C

9、 C：ztitzdzct itit dt1 i 1 i dt 1C1: ztC2: z t 1 it0 t 1解：已知，直线段 L L 与 C C 构成一条闭曲线。因f z 2z28z 1在全平面上解析,则2z28z 1 dz 0C L即2z28z 1 dz 2z28z 1 dzCL把函数沿曲线 C C 的积分化为沿着直线段 L L 上的积分。由于2z2L8z1 dz2a22x28x 1 dx 20822aa 8 a 13故2z28z 1822dz 2 aa 8 a1C3关键:恰当 参数合适准确带入 z zCzdzCzdzC?dz1tdtit dt结果不一样2 柯西积分定理例:dz以 a a

10、为圆心,dz例:p为半径的圆，方向: 逆时针x iy积分与路径无关:求C2z28zdziien0n单联通处处解析1 dz，其中 C C 是连接 O O 到点0,2a的摆线:a sina 1 cosC2: z t 1 it0 t 13 不定积分定义 3.2 设函数f z在区域 D D 内连续，若 D D 内的一个函数z满足条件z定理 3.73.7 若可用上式，则f z dzz0i例：计算ezdz0ii.解：ezdz ezei1002 i 3异1练习：计算ze dz24 柯西积分公式定理处处解析f z在简单闭曲线例 1 1:ez1 iz1zdzsin z ,2dz2z21一dz7-dz一次分式找到

11、f Z f z在 D D 内处处解析解:ze3z21dz-2 ie3z2 1d z222i3z212e3z 1d 3z24i 12解:dz7z9z2z 2z idzz9 z2z Zo乙ZoDC C 所围2i解:匸dzzl1zlzl1zOdzez10z 0例 2 2：解:|z|sin z ,dz1z21sinz ,dz2lz 2z 11 sinz,2z2dz2 i sin1|z|例 3 3：|z|C2isin z z , dz例 4 4:z22z z 1sinz zdzz22zz 1sin z z-dzz 2z1lzlsinz z2dz z 0.sinz zI2sin z zi sin1 15

12、解析函数的高阶导数公式:n!2 i-rdzz Dn=1n=1，应用要点：zn例:所以精准分离sin z ,丁dzZ 12z3sin z2 i2!sin z2调和函数x, y2u2xdz满足g2g2x27 70则称g x, y叫做 D D 内的调和函数yx, yIV x, y在 D D 内解析2u2y把u, V称为共轭调和函数第四章级数理论1 1 复数到Znn1距离d Z, Z谈极限 对zn若有z0D使得dzn,z0znz00n此时Zo为Zn的极限点记作Zolim Zn或ZnZnn推广：对一个度量空间x,d都可谈极限2 2 极限的性质ZnnZnZonZnnnoZnn3 3ZnXniynZoXoi

13、ynXnXonynyo4 4Zn级数问题SnZiZ2Z3ZnSn若lim SnSoZn则Znn 1性质：1 1 右Znn都收敛，则Zo oZo onn0Zoo部分和数列收敛，反之则发散。ZnnZn n收敛2 2 若一个收敛，一个发散，可推出发散3 3SnSn 1SoSonn若anan绝对收敛若an但an收敛，为条件收敛n例：求 的收敛半径及收敛圆n 1n解：因为lim匕丄丄lim 1所以级数的收敛半径为 R=1R=1，收敛圆为Z1nGnn 1泰勒级数泰勒定理：设函数f Z在圆 K K :Z Z0R内解析，贝y f Z在 K K 内可以展成幕级数nntTz0f zCnZZ0） ， 且展式还是唯一

14、的。其屮，Cn, (n=0,1,2n=0,1,2n 0n!例 1 1:求f z ez在z0处的泰勒展式解：f z eZ在全平面上解析,所以在z 0处的泰勒展式为nznf z e,f 01等比级数：Snz z2nnZ 1 Z Z1 zSnZTzZ 1时收敛，其他发散n幕级数CnZnZoZZoCn求收敛域Cn 1limnCnZ2,ZnZe1Z2!n!z内展成罗朗级数。nnn 112 11 2n 11nznozznozn1z例 2 2:将函数f2展成z i的幕级数11 z21r_zn 1z in1 i罗朗级数罗朗定理若函数f z在圆环Zo内解析,则当z D时，有f zCnnZo其中Cn百dZo0,

15、1,例：将函数fz 1 z 2在圆环（(2)(2)内，由于11,2zzf z1111 11 1z 1 z 2z 2z 121zz112z1nnn1z11z2n 02zn 0zn 1n 02nn 0z1解：（1 1 ）在1 z12内，由于一z(2(2)在2z21z11, -1，所以21，所以孤立奇点定义：若函数f z在Z0的去心邻域Z ZoR0内解析，在Zo点不解析，则称zo为fZ的孤立奇点。2Z3!4Z5!2nZ2n0为可去奇点sin z2zz3!2n2n 1 !o为一级极点.1sinz1丄3! z31n12n 10为本性奇点第5章留数理论（残数）定义：设函数fz以有限项点Z。为孤立奇点，z在

16、z0的去心邻域Z0R内解析，则称积分 2 iCzdz的值为函数f z在点Z0处的留数记作:Res f z ,z0cfZdZ其中,C : zz。R，C的方向是逆时针。求函数f zsin z 在z 1处的留数。z 11为一级零点，而si n1 0,因此f z以z 1为一级极点。sin zsin z1 .,Res f z ,1 sinz41z 14z3z 141 z -例 2 2：求函数f z ez在z0处的留数1以z解：因为z41 z -f z ezze1ez21 Z 2!n 1Z1z1 1n 1!2! z20 z111 1所以C112!2!3!n 1 ! n!解：z 0是f z的本性奇点，因为丄

17、丄nn! z第7章傅里叶变换通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。Fft ei tdt为傅里叶变换。同时ftf t ei td为傅里叶逆变换注：傅里叶变换是把函数f t变为函数F3求傅里叶变换或傅里叶逆变换， 关键是计算积分4两种常见的积分方法：凑微分、分部积分1复习积分：exdx exd x2x sin x 2 xsin xdx可得Res f z ,01 1丄2!2!3!n 1 !n!定义：对满足某些条件的函数ft上有定义，则称傅里叶逆变换是把函数F变为函数f t1sin 7x 1 dx一sin 7x1d 7xcos 7x 13x2263 x |x e dx3 xx3x ee d x3 xx ex 23 e xdx3 xx 2X .2x e3 e xe dx3 xx ex 23e x6 exdx3 xx ec X 23e xx6 xeexdx3 x2亠x亠xx e3e6xe6ex2sin xdx32d 3x 33x23e2 .x sinx1e1e3x23 edx23x232d x0例 2 2:求ft0 ett 0t 0Ff t e1tdt00