小学尖子生训练之-分解质因数模块练习(含答案)

1、5-3-4.分解质因数.题库教师版Page 10 Of 7gM 教学目标1. 能够利用短除法分解2. 整数唯一分解定理： 让学生自己初步领悟 任何一个数字都可以表示为 的结构，而且表达形式唯一 ”知识点拨、质因数与分解质因数(1) .质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数(2) .互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数 .(3) .分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数例如：30 =2 3 5 其中2、3、5叫做30的质因数又如12 =2 2 3 =22 3，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数

2、约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征(4) .分解质因数的方法：短除法212例如：26 , (是短除法的符号)所以12=2 2 3 ;3、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n -p1a1 Py 歸 川Pak其中为质数,a1 <a2ak为自然数，并且这种表示是唯一的该式称为n的质因子分解式例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数分析：I 210=2×3×5×7, 可知这三个数是 5、6和7.三、部分特殊数的分解111 =3 37; 1001 =7

3、11 13; 11111=41 271 ; 10001=73 137; 1995=3 5 7 19 ; 1998 = 2 3 3 3 37; 2007 =3 3 223; 2008=2 2 2 251; 10101 =3 7 13 37.模块一、分数的拆分希+望+杯”=1例11算式*+ Y=中，不同的汉字表示不同的自然数，则【考点】分数的拆分【难度1 1星【题型1填空【关键词】希望杯，五年级，初赛，第19题，6分【解析】三个分数中一定有大于三分之一的，那个数是二分之一，剩下的两个数必有一个大于四分之一，即 是三分之一，那么剩下的只能是六分之一希+望+杯=2+3+6=11【答案】11【例2】3个

4、质数的倒数之和是他，则这3个质数之和为多少.1986【考点】分数的拆分【难度】3星【题型】解答【解析】设这3个质数从小到大为 a、b、c,它们的倒数分别为 1、1、1 ,计算它们的和时需通分，且通a b C分后的分母为a b C ,求和得到的分数为-L ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为 a、 abc1661b、C或它们之间的积现在和为1661 ,分母1986=2 3 331 ,所以一定是a =2 , b=3, c = 331 , 1986检验满足 所以这3个质数的和为2 3 33336 【答案】2 3 331 =336【例3】一个分数，分母是 901 ,分子是一个质数.现在有下面

5、两种方法：分子和分母各加一个相同的一位数； 分子和分母各减一个相同的一位数.用其中一种方法组成一个新分数，新分数约分后 是L 那么原来分数的分子是多少.13【考点】分数的拆分【难度】3星【题型】解答【解析】因为新分数约分后分母是 13 ,而原分母为901 ,由于90113=69 I川|4 ,所以分母是加上 9或者减 去4 若是前者则原来分数分子为7 70 -9 =481 ,但481=13 37 ,不是质数；若是后者则原来分数分子是69x7 +4=487,而487是质数.所以原来分数分子为487 .【答案】487【例4】 将1到9这9个数字在算式=的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并(

6、)()(1)且要求所填每一个括号内数字均为质数？【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】填空【解析】本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2, 3, 5, 7将原始代入字母分析有b -d ="c匸ad,即有cb-ad=1 ,那么很容易发现只有3×5-2 >7=1。符合原式的填法为a C a C a C32 _丄7535。【答案】3 _2175351 1 1【例5】 求满足条件一- 一的a、b的值(a、b都是四位数).a b 1001【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】解答【解析】取1001的两个不同约数 x、y(x：y),得到：匚一=Xy1 ,因为X、y都是

7、1001的约10011001(x+y)1001(x+y) 1001(x + y)1001 (y)1001(y)Xy数，所以1001、1001都是整数.所以只需令 a J001(x+y) , b =1001(x+y就可以了 .而 a、bXyXy都要大于1001,要保证a、b都是四位数，所以a、b的比值都要小于10,即x、y的比值小于10.而1001的两个互质且比值小于10的约数有以下几组：(1,7)、(7,11)、(7,13)、(11,13)、(11,91)、(13,77) 所以我们依次取 x、y为上面所列的数对中的数，代入a、b的表达式，得到本题的答案:a = 8008,2574,2860,2

8、184,9282,6930b =1144,1638,1540,1848,1122,1170【答案】a = 8008,2574,2860,2184,9282,6930b =1144,1638,1540,1848,1122,1170【巩固】若_211 ,其中a、b都是四位数，且 avb,那么满足上述条件的所有数对(2004 a b【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】填空a,b)是【解析】2004的约数有：1,2004,2,1002,3,668,4,501 ,满足题意的分拆有:11211+20042004(1 2)2004(1 2)6012300611311 +20042004(13)2004(1

9、3)8016267212311+-+20042004(23)2004(23)5010334013411丰2004"2004(3 4)2004(3 4)4676350711211+20042004(1 2)2004(1 2)6012300611311-4-4-20042004(13)2004(13)80162672【答案】12 312004 一 2004(23)2004(23) 一 50103340134112004 一 2004(3 4)2004(3 4) 一 46763507(1) 1 -1.1 = 1 . 1IIIII= = I =102020)()()()()(Z亠、111(2

10、)丄=10()()【考点】分数的拆分【难度】4星【题型】填空【例6】 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立.【解析】单位分数的拆分，主要方法是从分母N的约数中任意找出两个数 m和n ,有:1_m n_ mn _1.1N N(m n) 一 N(m n) N (m nA B '但是如果m和n从分母n的约数中任意找出两个 m和n (m n),有：1m nmn1 1NN (m n)N(m n)N (m n)A B本题10的约数有：1,10, 2, 5例如:选1和2,有：11 21丄21丄11010 (1 2)10 (1 2)10 (1 2)3015从上面变化的过程可以看出,如果取出的两组

11、不同的 m和n ,它们的数值虽然不同,的比值相同，那么最后得到的A和B也是相同的本题中，从 10的约数中任取两个数，共有C： *=10种，但是其中比值不同的只有5组：(1 , 1); (1, 2); (1, 5); (1 , 10); (2, 5),所以本题共可拆分成5组具体的解如下：3010的约数有1、2、5、10,我们可选2和5:15 _25210 10 (5 _2)10 (5_2) 10 (5_2)另外的解让学生去尝试练习IIIII 11【答案】(1)10 20 20 111 1 1(2)10 6151 16 一151111+ =+ = + = + 110126014351530【例7】

12、如果丄2009【考点】分数的拆分【关键词】101中学,- ?A B【难度】分班考试A B均为正整数，则 B最大是多少?【题型】填空【解析】从前面的例题我们知道，要将丄按照如下规则写成Nn1 1-的形式:A B【答案】1丄其中 N N (m n)N(m-n) N (m n) A B如果要让B尽可能地大，实际上就是让上面的式子中的 m取最大的约数，而 n应取最小的约数，因此B =2009 2008m和n都是N的约数。n尽可能地小而m尽可能地大，因此应当m=2009，n=1,所以 B = 2009 2008.巩固】丄=丄丄45 ()()【考点】分数的拆分1 1 1111【难度】4星【题型】填空【解析

13、】【答案】JL L 111L 丄45 一72120一18一30一40513581一9一15一451_11_11_111_11145 一72120"1830一40513581一91545【例8】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立.- 丄丄丄丄.丄丄IO=)Ir)=)(【考点】分数的拆分【难度】4星【解析】先选10的三个约数，比如 5、III1贝y：丄=1L10(4 ) (10 ) (20 )如果选10、5、2 ,那么有:【题型】填空2和1,表示成连减式5 -2 -1和连加式5 2 1 111804016丄一丄_丄_丄丄丄103615173485 °就是先将单位分数拆分

14、，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的3个单位分数的和或差 -11 ,再选择10 12 60另外，对于这类题还有个方法， 一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了IIII1 =丄,根据前面的拆分随意选取一组，比如了比如，要得到10其中的一个分数进行拆分，比如111IIII丄,所以丄=丄1213156101360156【答案】丄二丄 1101360156【例9】已知等式丄=其中a,15 a b【考点】分数的拆分【难度】5星b是非零自然数，求 a+b的最大值。【题型】填空【关键词】 华杯赛，决赛，第 13题【解析】易知，亠以T面篙+面二），令5 n）为互质的一对数，现在要

15、让分母为 需m n是15的一对互质的约数即可。1 ,只【答案】当(m,n)=(1,1)时，11丄,此时，a+b=60;153030 ,当(m,n)=(1,3)时，11丄,此时，a+b=80;156020 '当(m,n)=(1,5)时，1151901 +18，此时，a+b=108;III当（m，n）=（ 1，15）时，亦 二血 16 ,此时，a+b=256;III当（m， n）= （ 3，5）时，15 =后 * 24，此时，a+b=64;所以，a+b的最大值为256。256模块四、分解质因数的综合应用【例10】A， B都是整数， A大于B ,且A B =2009,那么A-B的最大值为，最

16、小值为。【考点】【难度】 【题型】填空【关键词】 走美杯，3年级，初赛【解析】2009 =2009 1 =287 7 =49 41最大值为2009 1 =2008最小值为49 -41 =8【答案】最大为2008 ,最小为8【例11】写出所有数字和为11,数字乘积为20的四位偶数： .【考点】【难度】 【题型】填空【关键词】 走美杯，3年级，初赛【解析】 本题属于数字拆分，目的就是讲11拆成四个数字和，20拆成4个数字的乘积，需要确定的是个位数字为偶数。根据拆分的特点应该从20开始拆分。先将20分解质因数为：20 = 2X2X5 ,所以各个数位数字乘积为 20的数字有：2、2、5、1; 4、5、

17、1、1;数字和分别为10和11,符合条件的是 4、 5、1、1这四个数字组成的四位偶数，所以答案为1154、1514、5114这3个答案。【答案】1154、1514、5114【例12】在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8,由此得乘积为1872.那么原来的乘积是多少？【考点】分解质因数的综合应用【难度】3星【题型】解答【解析】1872=2×2×2×2×3×3×13= 口口 口口，其中某个口为 8, 验证只有：1872=48×39, 1872=78×24 满 足.当为1872=48

18、5;39时，小马虎错把 5看成8,也就是错把 45看成48,所以正确的乘积应该是 45 ×39=1755 .当为1872=78 ×4时，小马虎错把 5看成8,也就是错把75看成78,所以正确的乘积 应该是75×24=1800 .所以原来的积为 1755或1800.【答案】1755或1800【例13】两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是936.如果正确的乘积不能被 6整除，那么它等于多少？【考点】分解质因数的综合应用【难度】4星【题型】解答【解析】注意936中有质因数13,故易见

19、将其分解成两个两位数相乘的形式有13 72 , 26 36 , 39 24 ,52 18 , 78 12这5种可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数 字相同经枚举可知，他们所抄错的算式可能是 (13 72 ,18 52),(13 72 ,12 78) ,(26 36 ,24 39) 或(52 18 , 12 78).对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘数的个位数字和第二个乘数的十位数 字，正确的算式应是13 52或18 72 ,后者乘积是6的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正 确的乘法算式是13 52 =676.对后三种情况作类似分析，可得出 2 3=6种可能的

20、原乘法算式，但它 们的结果都是6的倍数，不合题意.因此676即为所求.【答案】676【例14】在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”脱靶),或者是不超过10的自然数甲、乙两名运动员各射了 5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总环数比乙少4环求甲、乙的总环数各是多少？【考点】分解质因数的综合应用【难度】4星【题型】解答【解析】应对应为5个小于10的自然数乘积.通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因数，从而这5个因数一定都是大于1的，于是得到了如下几种分解情况1764=4×3×3×7×7 =2 ×5 ×3 &

21、#215;7 X7=2 × ×9 × ×但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有 1环存在，从而要考虑含有因数 1的另外2种情况1784=1×6×3×7×7=1×4×9×7×7.所 以总的情况对应的和依次为4+3+3+7+7=24 , 2+6+3+7+7=25 , 2+2+9+7+7=27 , 1+6+6+7+7=27 ,1+4+9+7+7=28 .对应的和中只有 24, 28相差4,所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7,乙的5箭环 数

22、为1、4、9、7、7.所以甲的总环数为 24,乙的总环数为28。【答案】甲的总环数为24 ,乙的总环数为28【例15】某校师生为贫困地区捐款1995元.这个学校共有 35名教师，14个教学班.各班学生人数相同且多于30人不超过45人.如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？【考点】分解质因数的综合应用【难度】3星【题型】解答【解析】这个学校最少有 35+14×30=455名师生，最多有35+14×45=665名师生，并且师生总人数能整除1995 . 1995=3 × ×33 ,在455665之间的约数只有 5 ×133=665 ,

23、所以师生总数为 665人，则平均每 人捐款1995÷565=3元.【答案】3【例16】张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？【考点】分解质因数的综合应用【难度】3星【题型】解答【解析】因为总棵数是每人种的棵数和人数乘积，而每个人种的棵数又不超过10所以通过枚举法来解(注意人数是减去1后是3的倍数):1×312 , 3121=311不是3的倍数；2056 , 1561=155不是3的 倍数；3 104 , 104 -1 =103不是 3 的倍数；4 78

24、, 78-1 =77 不是 3 的倍数；6 52, 52-1 =51 是 3的倍数；8汇39 , 39-1 =38不是3的倍数；共有51个学生，每个人种了 6棵树.【答案】共有51个学生，每个人种了 6棵树【巩固】某班同学在班主任老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生每人种树一样多，共种了 1073棵，那么平均每人种了棵树？【考点】分解质因数的综合应用【难度】3星【题型】解答【解析】因为总棵数是每人种的棵数和人数的乘积，所以首先想到的是把 1073数相乘，一个数为人数一个数为每人种的棵数，1073=29×37 ,注意到人数是减去1是3倍数，所以人数是37均每人种了 29棵。【答案】29【例17】幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋友就要少分2个苹果。原来有个小朋友。【考点】分解质因数的综合应用【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，6年级，决赛，第8题，10分【解析】420 =22 3 5 7 =2 210=3 140=5 8