(完整word版)2018年高考天津卷理科数学真题及答案

1、2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第I卷 1 至 2 页，第H卷 3 至 5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上， 并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在 答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一 并交回。祝各位考生考试顺利！第 I 卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考

2、公式：如果事件A, B互斥，那么P(AUB) P(A) P(B).如果事件A B相互独立，那么P(AB) P(A)P(B).棱柱的体积公式V Sh,其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱 的高棱锥的体积公式V - Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱3锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，的.(1)设全集为 R,集合A x0 x 2，B XX H，则AI (eRB)(A)x0 x 1(B)x0 x 1(C)x1 x 2(D)x0 x 2x y 5,设变量x，y满足约束条件2x y 4，则目标函数z 3x 5y的最大x y 1,y 0,值为(A)6(B)19(C) 21(D) 45输

3、出T的值为只有一项是符合题目要求(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为 20,则(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4/ 输入N /r= r-M设x R，则“|x1|1”是“x31”的2 2(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 已知a log2e,b ln 2,c log11，则a,b,C的大小关系为23(A)a b c(B)b a c(C)c b a(D)cab(6) 将函数y sin(2x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象对应510的函数(A)在区间-,-上单调递增44递减调递减2 2(7)已知双曲线 笃

4、爲1(a 0, b 0)的离心率为 2,过右焦点且垂直于a bx轴的直线与双曲线交于A, B两点.设A, B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d!和d2，且d!d26，则双曲线的方程为(A)xy1(B)xC)xy_1(D)x工13993(8)如图， 在平面四边形ABCD,AB BC,ADCD,BAD 120,ABAD 1.若点E为边CD上的动点，则urnAEuurBE的最小值为(A)2116(B) 3(C)2516(D)3222 2(B)在区间3,上单调4(C)在区间-,-上单调递增42(D)在区间吟,2上单器()题创注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题

5、卡上2.本卷共 12 小题，共 110 分。二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分已知正方体ABCD的棱长为 1 ,除面ABCD夕卜，该正方体其余各面的中心分别为点E, F,GHM如图），则四棱锥M EFGH的体积为恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是(9) i是虚数单位，复数乞厘1 2i(10)在（X 21x）5的展开式中，x2的系数为(11)(12) 已知圆x2圆相交于(13)已知a,b(14)y22x 0的圆心为C,直线A，B两点，则ABC的面积为已知a 0，函数f（x）2（t为参数）6 0,则2a8.的最小值为X：2ax a, x 0,若关于x的方程f(x

6、) x 2ax 2a, x 0.ax三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分 13 分)在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A a cos(B).(I )求角B的大小；(II )设a=2，c=3，求b和sin(2A B)的值.(16) (本小题满分 13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查.(I )应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(II )若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现

7、从这7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.(i )用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；(ii )设A为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.(17) (本小题满分 13 分)如图，AD/BC且A=2BCAD CD,EG/AD且EGAD,CD/FG且CO2FGDG平面ABCD,DA=DC=DG2.(I )若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN/平面CDE；(II )求二面角E BC F的正弦值；(III )若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADG所成的角为 60求线段DP的长.(18) (本小题

8、满分 13 分)设务是等比数列，公比大于 0,其前n项和为Sn(n N),bn是等差数列.已知ai1，asa22，bab42b6.(I )求an和bj的通项公式；(II )设数列Sn的前 n 项和为Tn(n N )，(i )求Tn；n(Tkbk 2)bk2n 2(ii )证明k一口k2(n N ).k i(k 1)(k2) n 2(19) (本小题满分 14 分)2 2设椭圆占1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B已知椭圆的a b离心率为逅，点A的坐标为(b,0)，且FB AB 642.3(I )求椭圆的方程；(II )设直线I:y kx(k 0)与椭圆在第一象限的交点为P,且I与直线AB交于点

9、Q若542sin AOQ(O为原点)，求k的值.(20)(本小题满分 14 分)已知函数f(x) ax,g(x) logax，其中a1.(I )求函数h(x) f (x) xlna的单调区间；(II )若曲线y f(x)在点(xi,f(xj)处的切线与曲线1(III )证明当a ee时，存在直线I，使I是曲线y也是曲线y g(x)的切线.y g(x)在点区2ln In aIn af(x)的参考答案:一、 选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5 分， 满分 40 分.(1) B(2) C(3) B(4) A(5) D(6) A(7) C(8) A二、 填空题：本题考查基本知识和基本运算.每

10、小题5 分，满分 30(15)本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式， 以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力.满分13 分.(I)解：在厶ABC中,由正弦定理,可得bsinA asinB,sin A sin B又由bsi nA acos(B -n)，得as in B acos(B -n)，即sin B cos(B -n)，可得6 6 6tanB 3.又因为B (0, n，可得B=n.3(U)解：在ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=n，有3b2a2c22accosB 7，故b=7.由bsi nA acos(Bf)，可得sin A

11、书.因为aC,故cosA手.因此4 321sin2A 2sin AcosA,cos2A 2cos A 1 .77分.(9) 4 - i1(12)2三、解答题8)8)77111 1所以，si n(2A B) sin 2 A cos B cos2As in B4 3丄 33勺727214 (16)本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.(I)解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 : 2 :2,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3

12、 人，2 人，2 人.(H)(i)解：随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X=k)k3 k=4CC3(k=0, 1, 2, 3).所以，随机变量X的分布列为X0123P11218435353535随机变量X的数学期望E(X)o -5 13| 2135 3172.353535357(ii ) 解:设事件B为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件C为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则A=BUC,且B与C互斥，由(i )知，P(B)=P；X=2),P(C)=RX=1)，故P(A)=P(BUC)=P(X=2)

13、+P(X=1)=-6.所以，事件A发生的概率为7.(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13 分.依题意，可以建立以D为原点，分别以DA,DC,DGi的方向为X轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2,0，0），B（1,2,0），C（0，2,0），E（2,0，32），F（0，1,2），G（0，0，2），M（0，-，1），N（1,0，2）.(I)证明：依题意DC= (0,2,0),DE= (2,0, 2).设n=(x,LULTy,z)

14、为平面CDE勺法向量，则nDC 即2X0不妨令 z=-noDE 0,2x 2z 0，1,可得n0= ( 1 , 0, - 1).又MN1= ( 1 , | , 1),可得MT? n0,又因为直线MN平面CDE所以MN/平面CDE(n)解：依题意，可得BC=(-1, o, 0),BE(1,2,),CF= (0,-1, 2).uuu设n= （x,y,z）为平面BCE的法向量，则：BC0即22z 0,不妨令z=1,可得n= (0, 1,1).uuu设mF （x,y,z）为平面BCF的法向量，贝 S: BC：即x 0,y 2z 0,不妨令z=1,可得m= (0, 2, 1).因此有 cos= 0，于是

15、 sin二蠱.|m | n| 1010所以，二面角E- BC- F的正弦值为 晋.(皿)解：设线段DP的长为h(h0, 2),则点P的坐标为UUU(0, 0,h),可得BP ( 1,2,h).易知，DC= (0, 2, 0)为平面ADGE勺一个法向量，故由题意，可得二二sin60 二f，解得Jh 523所以线段DP的长为三.3(18)本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分.(I )解：设等比数列a*的公比为q.由a11,a3a22,可得q2q 20.因为q 0，可得q 2，故an2n 1.设等差数列

16、bn的公差为d,由a4b3b5,可得b, 3d 4.由a5b42b6,可得3b113d 16,从而bi 1,d 1,故bnn.所以数列an的通项公式为an2n1，数列bn的通项公式为bnn.luin uuir cosBP DCuiu unrBP DCmu unirBP DC2(II ) ( i )由(I )，有Sn匸2 2n1，故1 2(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分 14 分.(I)解：设椭圆的焦距为 2c,由已知知禺5，又由a2=b2+c2,a 9可得 2a=3b.由已

17、知可得，FB a,AB 2b，由FB| | AB 6、2,可得ab=6，从而a=3,b=2.2 2所以，椭圆的方程为x仏1.94(H)解：设点P的坐标为(X1,y1)，点Q的坐标为(X2,y2).由已知有y1y20,故PQ sin AOQ V1亞.又因为AQ琴 ，而/sin OAB7OAB4，故AQ3 .由PQ乎sin AOQ，可得 5y1=9y2.y kx,由方程组x2y2“消去X，可得y11,(ii )证明：因为2)kk 2k12k22k1(Tk+bk+2)bk(2k1k 2 k(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)(k 1)(k 2)k2k 1，所以，5kbk2)bk(23(兰23)L

18、(22*12*2-)- 2.k 1(k1)(k 2)(3243n2n 1n 2Tnn(2k1)n2kn2 (1门n94_2 k_k一一 消去x,可得y2厂1.由 5y1=9y2，可得 5 (k+1) =3 9k24，两边 平方，整理得56k250k 11 0，解得k寸，或k28.为x+y- 2=0,由方程组y kx,x y 26k9k24.易知直所以，k的值为1或18-(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程 思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题 的能力.满分 14 分.(I )解：由已知，h(x

19、) axxl na，有h (x) axl na Ina.令h(x) 0，解得x=0.由a1,可知当x变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x(,0)0(0,)h(x)0+h(x)极小值Z所以函数h(x)的单调递减区间(,0)，单调递增区间为(0,).(II )证明：由f (x) axl na，可得曲线y f(x)在点(知帖)处的 切线斜率为a51In a.由g (x)1，可得曲线y g(x)在点(X2,g(X2)处的切线斜率为xln a1x2In a两边取以a为底的对数，得logax2为2log2In a 0，所以/ 、2ln In aXig%).In a(III )证明：曲线y f(x)在点(xi,axi)处的切线I1:因为这两条切线平行，故有为I a贡，即x2(lna)2y ax,ax1In a (x x1).11要证明当a ee时，存在直线I，使I是曲线y f(x)的切线，也是1曲线y g(x)的切线，只需证明当a e时，存在1因此，只需证明当a e；时，关于X1的方程有实数解.y u(x)存在零点.单调递减，又得U (Xo)