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文档简介
1、导数研究根的个数问题大题优练12优选例题例1已知函数,()(1)讨论函数的单调性;(2)若函数有两个零点,求的取值范围【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)定义域为,令,解得当时,在上恒成立,在上单调递增;当时,若时,;若时,在上单调递增,在上单调递减,综上所述:当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减(2)令,则,过点作的切线,设切点为,则切线斜率,解得,切线斜率,若有两个零点,则与有两个不同的交点,如下图所示:由图象可知:当时,与有两个不同的交点,即若函数有两个零点,的取值范围为例2已知函数(1)讨论的单调性;(2)设函数,若在上有且只有一个零点,求m的取值范围【答案】(1
2、)当时,在R上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增;(2)或【解析】(1),若,则,在R上单调递增;若,令,则当时,;当时,在上单调递减,在上单调递增,综上,当时,在R上单调递增;当时,在上单调递减,在上单调递增(2)由题意知,则,易知在上单调递增,且若,则,在上单调递增,在上有且只有一个零点,即,当时,在上有且只有一个零点;若,则,存在,使,即,当时,;当时,在上单调递减,在上单调递增,又,在上有且只有一个零点,即把代入上式可知,因为,从而综上,当或时,在上有且只有一个零点例3已知函数(1)当时,一次函数对任意,恒成立,求的表达式;(2)讨论关于x的方程解的个数【答案】(1);(2)见
3、解析【解析】(1)当时,函数,可设,则,令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,又因为,所以,设,因为,所以在上恒成立,所以在上恒成立,所以,解得,所以,又由,可得,当时,单调递增;当时,单调递减,所以当时,取得最大值,最大值为,所以,综上(2)由方程,整理可得,即,可得,令,可得,即,设,可得当时,可得,此时单调递减,又由,所以此时函数在上只有一个零点,即方程只有一个零点;当可得,令,则(i)当时,即时,可得,即,此时单调递增,又由,所以此时函数在上只有一个零点,即方程只有一个零点;(ii)当时,即时,此时,即方程有两解,且,不妨设,则当时,单调递增;当时,单调递减;当时,单调
4、递减,当时,函数取得极大值,当,函数取得极小值,又因为,所以,当时,所以在上有唯一的解因为时,当时,可得,所以且,解得,所以在上恰有一根,所以可得函数在上恰有三根,综上可得,当或时,方程恰有一根;当时,方程恰有三根模拟优练1已知函数在处取得极值(1)求实数的值;(2)若函数在内有零点,求实数的取值范围2已知函数(1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若方程在上有两个不同的解,求实数的取值范围3已知函数(1)求曲线在点处的切线方程;(2)设,若函数在上恰有两个不同的零点,求实数t的取值范围4已知函数,其中(1)若存在唯一极值点,且极值为0,求的值;(2)讨论在区间上的零点个数
5、5已知函数(1)讨论函数的单调性;(2)设,求函数在区间上的零点的个数(附:对于任意,都有)参考答案1【答案】(1);(2)【解析】(1),在处取得极值,所以经验证时,在处取得极值(2)由(1)知,所以极值点为,将,在内的取值列表如下:012/-0+/极小值由此可得,在内有零点,只需,所以2【答案】(1);(2)【解析】(1)函数的定义域为,所以曲线在点处的切线的斜率又,所以切线的方程为,即,所以切线与两坐标轴的交点坐标分别为,所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积(2)方程,即,因为,所以分离参数得记,则,记,则,记,显然,所以函数在上单调递减,故当时,所以当时,函数在上单调递减,而,所以函数
6、在上有且仅有一个零点所以当时,即,函数单调递增;当时,即,函数单调递减,所以当时,而,由题意,原方程在上有两个不同的解,即在上有两个不同的解,即直线与函数的图象有两个不同的交点,数形结合可得实数的取值范围为3【答案】(1);(2)【解析】(1)由题意,函数定义域为,又,所求切线方程为,即(2)函数在上恰有两个不同的零点,等价于在上恰有两个不同的实根,等价于在上恰有两个不同的实根,令,则,当时,在递减;当时,在递增,故,又,即4【答案】(1)或;(2)答案见解析【解析】(1)由已知,可得若,则当时,恒成立,在上单调递增,与存在极值点矛盾;若,则由,得当时,;当时,在上单调递减,在上单调递增,存在
7、唯一极小值点,或(2)当时,在上恒成立,在上单调递增,(i)当时,;(ii)当时,由零点存在性定理,知在上有1个零点;当时,当时,;当时,在上单调递减,在上单调递增,(i)当时,此时在上有1个零点;(ii)当时,此时在上无零点;(iii)当时,(a)当,即时,在上有1个零点;(b)当,即时,在上有2个零点;当时,在上恒成立,在上单调递减,在上有1个零点,综上,当时,在上无零点;当或或时,在上有1个零点;当时,在上有2个零点5【答案】(1)在,上单调递减,在上单调递增;(2)存在三个零点【解析】(1)的定义域为,设,当,即,即,当且仅当,时,所以在上单调递减;当,即时,令,得,且所以当时,;当时,所以在,上单调递减;在上单调递增(2)由(1)知,当时,在和上单调递减,在上单调递增,又,所以,又在上
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