高中函数值域求法小结

1、函数值域求法小结一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）1、求 y = -x 2 +4 -2的值域。由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：g ( x) = -x2+4 -2 Î0,+¥),所以yÎ-2,+¥)2、求函数y =1 x +1 +1的值域。分析：首先由x +1 ³0，得x +1+1³1，然后在求其倒数即得答案。解：Qx +1 ³0x +1+1³1， 1 x +1 +1£， 函数的值域为（，二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值

2、域）1、求函数y =2 - -x2+4 x ( x Î0,4)的值域。设：f ( x) =-x2 +4 x( f ( x) ³0) 配方得： f ( x) =-(x -2) 2+4( x Î0,4)利用二次函数的相关知识得f ( x ) Î0,4，从而得出：y Î-2,2。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： f ( x) ³0。2、求函数y =e-x2+4x -3的值域。解答：此题可以看作是 y =e u 和 u =-x2+4 x -3两个函数复合而成的函数，对u 配方可得：

3、u =-(x -2) 2 +1，得到函数u的最大值u =1，再根据y =eu得到 y为增函数且 y >0故函数y =e-x2+4x -3的值域为： y Î(0, e。3、若 x +2 y =4, x >0, y >0，试求 lg x +lg y的最大值。本题可看成一象限动点 p ( x , y )在直线 x +2 y =4上滑动时函数 lg x +lg y =lg xy的最大值。利用两点 (4 ， 0) ， (0 ， 2) 确定一条直线，作出图象易得： x Î(0,4), y Î(0,2), 而 lg x +lg y =lg xy =lg y (

4、4 -2 y ) =lg -2( y -1)2+2，y=1 时， lg x +lg y取最大值 lg 2。三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易1 / 8xx1212122反解出自变量的函数类型）对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反 函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求 原函数的值域。1、求函数 y =2 xx +1的值域。由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出 x，从而便于求出反函数。y =2 xx +1反解得x =y x即 y = 2 -y 2 -x故函数的值域为： y

5、 Î( -¥,2) U(2, +¥)。（反函数的定义域即是原函数的值域）2、求函数y =e x -1e x +1的值域。解答：先证明 y =e -1e +1有反函数，为此，设x <x12且x , x Î R 1 2，e x -1 e x -1 e x -e xy -y = - =2e x1 +1 e x 2 +1 (e x1 +1)(e x 2+1)<0。所以 y 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为： y x Î( -1,1)，故原函数的值域为 y Î( -1, 1)-1=ln 1+x 1-x。此函数的定义域为四、判

6、别式法 （分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为A( y ) x 2 +B ( y ) x +C ( y ) =0的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数y =2 x 2 +4 x -7 x 2 +2 x +3的值域。由于本题的分子、分母均为关于 x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：x 2 y +2 xy +3 y =2 x 2 +4 x -7 整理得： ( y -2) x 2 +2( y -2) x +3 y +7 =0当 y ¹2时，上式可以看成关于 x 的二次方程，该方程的 x 范围应该满足f ( x) =x2+2 x +3 ¹

7、;0即x ÎR此时方程有实根即³0，9= 2( y -2) -4( y -2)(3 y +7) ³0 Þ y Î - ,2.2注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是y =2, y =-92）代回方程检验。将y =2, y =-92分别代入检验得 y =2 不符合方程，所以9 y Î - ,2)2。2、求函数y =x +1 x 2+2 x +2的值域。解答：先将此函数化成隐函数的形式得：yx 2 +(2 y -1) x +2 y -1 =0 2 / 8，(1)这是一个关于 x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方

8、程 (1)的判别式D =(2 y -1)2-4 y (2 y -1) ³0，解得：-12£ y £ 12。故原函数的值域为：y Î -1 , 1 2 2。五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数 （用三角代换）等）1、求函数 y =2 x -3 + 13 -4 x的值域。由 于 题 中 含 有13 -4 x不 便 于 计 算 ， 但 如 果 令 ：t = 13 -4 x注 意t ³0从 而 得 ：13 -t 2 13 -t 2x = y = -3 +t (t ³0) 变形得 2 y =-(t +

9、1) 4 22+8(t ³0)即： y Î(-¥,4注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。2、已知 p ( x, y )是圆x 2 +y 2 =4 上的点，试求 t =x 2 +y 2 -3 xy的值域。在三角函数章节中我们学过： sin 2 ¶+cos 2 ¶=1注意到 x x y x y( ) 2 +( ) 2 =1 令 =cos ¶, =sin ¶,¶Î0,2p)则2 2 2 22 +y 2=4可变形为：的值域。t =4 -3 ´2cos ¶´

10、;2sin ¶=4 -6sin 2¶又2¶Î0,4 3、试求函数 y =sin x +cos x sin x +cos xp)即 sin 2¶Î-1,1故 t Î -2,10题中出现cos x +sin x ，而 sin2 x +cos 2 x =1, (sin x +cos x ) 2=1 +2 sin x cos x由此联想到将cos x sin x视为一整体，令 t =sin x +cos x Î - 2, 2 由上面的关系式易得t 2 =1 +2sin x cos x Þ sin x cos x

11、=t2-12故原函数可变形为：t 2 -1 1y =t + (t Î- 2, 2)即2 y =(t +1) 2 -2, y = (t +1) 2 22-1Q t Î - 2, 21 y Î-1, + 22六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然 后利用函数图像求其值域）1、求函数y =3 -sin x2 -cos x的值域。分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式3 / 8ïî1y -yk = 2 1x -x2 1，将原函数视为定点(2，3)到动点 (cos x , sin

12、 x)的斜率，又知动点 (cos x , sin x )满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的 最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：y Î6 -2 3 6 +2 3, 3 32、求函数y = x -1 + x -3的值域。Y分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数。ì-2x+4, x Î( -¥,1, ïy =í 2, x Î(1,3), 2 x -4, x Î3, +¥),y=-2x+44y=2x-4在对应的区间内，画出此函数

13、的图像，如图 1 所示，易得出函数的2值域为 2, +¥)。O13 X七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如：图1a2+b2³2 ab , a +b ³2 ab），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取 件。）" ="成立的条1、当 x >0 时，求函数f ( x) =8 x +4x 2的最值，并指出 f ( x )取最值时 x 的值。4 4因 为 f ( x) =8 x + =4 x +4 x +x 2 x 2可 利 用 不 等 式a +b

14、+c ³33 abc即 ：f ( x ) ³3 ×34 x ×4x ×4x 2所以 f ( x ) ³124当且仅当 4 x = 即 x =1 时取“ = ”当 x =1 时x 2f ( x)取得最小值 12。2、双曲线x 2 y 2 y 2 x 2 - =1 的离心率为 e ，双曲线 - =1a 2 b 2 b 2 a 2的离心率为 e ，则 e +e2 1 2的最小值是（）。A2 2B4 C2 D2根据双曲线的离心率公式易得：e +e =1 2a2+b 2 a 2 +b +a b2，我们知道x +y ³2 xy4 / 8

15、2 2êú所以e +e ³2 1 2a 2 +b 2 ab（当且仅当a 2 +b 2 a 2 +b 2=a b时取“=”）而 a +b ³2ab故 e +e ³2 2 1 2（当且仅当a =b时取“=”）所以(e +e )1 2 min=2 2。说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。3、求函数y =x +2的值域。x +1解 答 ： y =x +2=x +1 + 1 ³2， 当 且 仅 当x =1时" ="成 立 。 故 函 数 的 值 域 为x +1x +1y Î2,

16、 +¥)。此法可以灵活运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域， 但是若能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程。4、求函数y = x2+2 x +2 x +1的值域。解答：此题可以利用判别式法求解，这里考虑运用基本不等式法求解此题，此时关键是在分子中分解出 "( x +1)"项来，可以一般的运用待定系数法完成这一工作，办法是设：( x +1)( x +b ) +c =x2+2 x +2，将上面等式的左边展开，有：x2+(b +1) x +(b +c )，故而b +1 =2，b +c =2。解得b =1，c =1。从而原函

17、数 y =( x +1)( x +1) +1x +1=( x +1) +1x +1；)当x >-1时，x +1 >0，1x +1>0，此时 y ³2，等号成立，当且仅当x =0。)当x <-1时， -( x +1) >0，- 1 >0x +1，此时有y =( x +1)( x +1) +1 1 é 1 ù=( x +1) + =- -( x +1) - £-2x +1 x +1 ë x +1 û，等号成立，当且仅当x =-2。综上，原函数的值域为： y Î(-¥,-2È

18、2, +¥)。八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数 转化为为 y =k ± f ( x ) ( k 为 常数)的形式）1、求函数y =xx 2 -x 2 -x +1的值域。观察分子、分母中均含有 x 2 -x 项，可利用部分分式法；则有5 / 8êçè)ú ê1 1= -+y =xx 2 -x x 2 -x +1 -1 =2 -x +1 x 2 -x +1=1 -11 3 ( x - ) 2 +2 4不妨令：1 3 1 é3f ( x ) =( x - ) 2 + , g

19、 ( x) = ( f ( x) ¹0) 从而 f ( x ) Î , +¥2 4 f ( x ) ë4)注意：在本题中应排除 f ( x) =0，因为 f ( x )作为分母。所以æ 3 g ( x) Îç0,4ù é 1 故 y Î - ,1 û ë 32、如对于函数y =x -13 x -2，利用恒等变形，得到：y =1 1(3 x -2) -3 33 x -2 3 3(3 x -2)，容易观察得出此函数的值域为y Î( -¥,1 ) È

20、( 1 , +¥)3 3。注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易 得函数值域。九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）1、求函数y =log (4 x -x12)的值域。2由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：f ( x) =-x2+4 x( f ( x ) ³0)配方得：f ( x) =-(x -2)2+4所以 f ( x ) Î（0,4)由复合函数的单调性（同增异减）知： y Î -2, +¥)。当函数 f在 ( a, b )上单调，

21、譬如 f在 ( a, b)上递增时，自然有函数 f在 ( a , b )上的值域为( f ( a +0), f (b -0)( 其 中 f ( a +0) = lim f ( x), f (b -0) = lim f ( x ) ， 当 x ® a-x ® a x ® b+时 ，f ( x ) ® ±¥也称其存在，记为 f ( a +0) );若 f 在 ( a , b )上递减，函数 f 在 ( a, b )上的值域为 ( f (b -0), f ( a +0)。在闭区间a , b 上也有相应的结论。2、求函数 y =3x +6 -

22、 8 -x的值域。此题可以看作y =u +v 和 u =3 x +6 ， v =- 8 -x的复合函数，显然函数u = 3 x +6为单调递增函数，易验证v =- 8 -x亦是单调递增函数，故函数y =3 x +6 - 8 -x也是单调递增函数。而此函数的定义域为-2, 8。当x =-2时， y 取得最小值 - 10 。当 x =8 时， y 取得最大值 30 。6 / 8故而原函数的值域为- 10 , 30 。十、利用导数求函数的值域（若函数 f 在（a、b）内可导，可以利用导数求得 f 内的极值，然后再计算 f 在 a，b 点的极限值。从而求得 f 的值域）在（a、b）求函数f ( x )

23、 =x3-3 x 在 ( -5,1)内的值域。分 析 ： 显 然 f 在 ( -5,3)可 导 ， 且f¢(x) =3 x2-3 。 由 f¢(x) =0 得 f 的 极 值 点 为x =1, x =-1。f ( -1) =2,f (1 -0) =-2。 f ( -5 +0) =140。所以，函数 f的值域为 ( -2,140)。十一、最值法（对于闭区间a，b上的连续函数 y=f(x)，可求出 y=f(x)在区间a，b内的极值， 并与边界值 f(a)、f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数 y 的值域）已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)0，且满足 x+y=1，求函数 z=xy+3x 的值域。点拨：根据已知条件求出自变量 x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：3x2+x+10，上述分式不等式与不等式 2x2-x-30 同解，解之得 1x3/2，又 x+y=1，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(-1x3/2)，z=-(x-2)2+4 且 x-1，3/2，函数 z 在区间-1，3/2上连续，故只需比较边界的