数学建模 -的范例

1、针对问题三，本文首先对主要风险因子进行了灰色预测，计算出未来几年水资源总量、降水量、平均气温、生活用水量、工业用水量。然后采用问题二中的BP神经网络预测每年的缺水量。最后通过整合往年的数据，运用问题二中的熵值取权的模糊评价模型预测出未来几年内水资源短缺的风险等级。由于考虑到降水量和地下储水相关系数高，我们依据历年的降水量估测出平水年，偏枯年，枯水年三种不同年份的水资源总量，并应用问题二的风险评价模型进行评估，得到三种不同年份水资源短缺风险等级依次为高，较高，较低。最后我们分析了南水北调工程对北京市未来两年水资源短缺的风险等级影响，风险等级依次变为低，偏低，无。针对问题四，我们从北京市水资源现状

2、及分析、北京市严重缺水的原因探究、北京市水资源开发利用对策三个层面向相关行政主管部门提交建议报告，以求帮助其合理规避水资源短缺风险。关键字：水资源短缺风险、灰色关联度分析、主成分分析，模糊综合评价、BP 神经网络、熵值取权一、问题重述1.1 问题背景水是生命之源，万物之本，是人类生存和发展不可或缺的物质，是地球上最普遍、最常见同时也是最珍贵的自然资源。水是人类一切生产活动的基础，有水的地方欣欣向荣，水资源枯竭的地方则文明消失。长期以来，我们注重经济社会发展，却忽略了水资源的承载能力，注重水资源开发利用，却没有同等重视节约和保护。随着经济社会发展，1.2 问题重述水资源短缺危险泛指在特定的时空环

3、境下，由于来水和用水的不确定性，室区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及有此产生的损失。近年来我国水资源短缺问题日趋严重，以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，属严重缺水地区。虽然政府采取了一些列措施，如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。我们可以利用资料分析并解决给出的下列问题问题一：评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因

4、子是什么？影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。问题二：建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？问题三：对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。 问题四：以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。二、问题分析与模型假设问题一：我们应该首先分析出影响水资源短缺的相关因素，如：水资源总量、降水量、气候条件、农业用水、工业用水、生活用水等。由于主成分分析法就是将1多项指标转化为少数几项综合指标,用综合指标来解释多变量的方差- 协方差结

5、构的方法，综合指标即为主成分，故首先考虑主成分分析法。所以水资源缺乏相关因素进行主成分分析法进行定量的分析，计算不同风险因子的贡献率，画出风险因子率图。当然由于数据之间的处理补课避免的存在误差，我们同时利用灰色关联度分析法进行二次分析，比照两种结果进行核对，如果在误差允许范围之内，结果可以较好的符合，则建立的模型比较真实，并对模型进行优缺点分析。问题二：我们依据问题一中选出的主要风险因子进行水资源风险体系评价的初步分析，但是对于风险度，我们在问题一中选取的主要风险因子不能很好的表现其风险等级，所以我们考虑把主要风险因子转换成风险率、损失性、可恢复性、可重现期和风险度。再由于模糊综合评价的基本思

6、想是应用模糊关系合成的原理，根据被评价对象本身存在的形态或类属上的亦此亦彼性，从数量上对其所属给以刻画和描述。由于风险概念本身具有模糊特性，因此用模糊数学的概念和方法，建立水资源短缺风险模糊评判的理论与模型，比传统的评价方法更能符合现象的实际情况。另外，在模糊评价中，权重的确定是一项关键的内容，对评价的结果具有重要的影响。熵权法确定权重由于其客观合理性，已在工程技术、社会经济、环境科学等领域得到广泛的应用。基于熵权的水资源短缺风险模糊综合评价就是在运用信息论中的熵技术计算各评价指标的权重的基础上，结合传统的模糊综合评判法对水资源短缺风险进行评价。所以我们采用熵权模糊综合评价作为水资源短缺风险等

7、级的主要模型。BP神经网络是一个前向三层(输入层、隐层和输出层)的神经网络, 各层神经元仅与相邻层神经元之间相互全连接，同层内神经元之间无连接，各层神经元之间无反馈连接，构成具有层次结构的前馈型神经网络系统。单计算层前馈神经网络只能求解线性可分问题，能够求解非线性问题的网络必须是具有隐层的多层神经网络。同时我们还可以运用BP神经网络对北京市水资源风险状况进行等级评估，随后给出两种等级评价方法的适用范围，最后可以依据风险评价模型，给出相应的风险因子调控方法。问题三：灰色系统是既含已知信息又含未知信息或非确知信息的系统。灰色系统论的主要任务是对于一个不甚明确的整体信息不足的灰色系统，从控制论角度提

8、出一种新的建模思想和方法。通过分析各种因素的关联性及其 量的测度，用“灰数据映射”方法来处理随机量和发现规律，使系统的发 展由不知到知，知之不多知之较多，使系统的灰度逐渐减小，白度逐渐增 加，直至认识系统的变化规律。灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未 知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。灰色系统理论则认为 不确定量是灰数，用灰色数学来处理不确定量，同样能使不确定量予以量化 。灰色预测模型只要求较短的观测资料即可，这和时间序列分析，多元分析等 概率统计模型要求较长资料很不一样。因此，对于某些只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具。所以我们我们首先选用灰色预测对

9、北京未来几年水资源的主要风险2因子进行预测，再运用BP神经网络对缺水量进行预测，然后应用问题二的熵权的模糊风险评价模型进行评估。并结合南水北调工程分析出北京市未来两年水资源短缺的风险变化情况。问题四：最后以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告，以帮助相关部门更好的预测风险，从而避免风险因子。我们对未尽条件合理假设:1.问题一所考虑的风险因子的值均为平均正常情况，不考虑突发事件如自然灾害（洪涝）等的影响。2.假设模型中所使用的数据均真实有效，能反映出水资源供需的状况。3.假设水资源供需可有曲线拟合，和年份存在相互之间的年份关系。4.假设1979年-2009年间，无偶然因素对水资源供需关

10、系产生重大影响。三、符号说明3四、模型的建立与求解4.1 问题一：北京市水资源短缺主要风险因子的评价 4.1.1 水资源缺乏风险敏感因子分析通过借鉴孟凡德、王晓燕（2004）以及朱一军、夏军（2005）年关于水资源承载能力评估方法的相关研究以及专家知识，依据科学性原则，我们将从以下四个维度综合考虑影响水资源缺乏的相关因素。表1北京市水资源短缺风险指标体1.自然因素本文所述自然因素分为气候条件因素和水文条件因素。水文条件主要指水资源总量，包括地表水资源和地下水资源量。地表水资源主要指河川径流，这是地球上开发利用度最高的水体，而地下水资源指的是循环期较短的浅层地下水。因此，我们选取了水资源总量(4

11、)作为代表水文条件的风险因子其中。 另外，作为气候的主导因素，降水和气温都对一个地区的水资源产生着重要影响：降水的多寡决定了区域的地表径流进而影响了区域的水资源量；而温度则是通过影响蒸发量对地表水资源量产生双向作用。因此，我们选取了降水量(1)和平均气温(2)作为代表气候条件的风险因子。2.技术工程因素工业(6)、农业(5)、生活(7)和生态用水(8)分别是水资源利用的四个主要渠道。我们就选取工业用水、农业用水和生活用水和生态环境用水这四个风险因子来衡量，以期得到良好效果。3.社会经济因素北京市作为我国的政治中心和国际知名都市，人口高度集中，经济发展迅速，这对水资源的需求和利用均提出了较高的要

12、求。因此，我们选取了能够代表地区经济发展水平的常驻人口总数(9)和人均GDP(10)作为风险因子。44.水资源管理因素城市对于水资源的相关管理和循环利用主要包含两大渠道： 一是对储水渠道的培育，二是对城市污水的处理。因此，我们选取了城市绿化覆盖率(3)、污水处理率(11)和污水处理能力(12)这三个因素为代表水资源管理因素的风险因子。mîlxm11m22mpp+K+lx+lx= zïïKKKíl2pxp+K+l22x2+l21x1=z2ïïl1pxp+K+l12x2+l11x1=z1ì影响水资源缺乏的因素相当复杂，目前对水资

13、源缺乏影响因素的研究侧重于人文因素，而事实上，影响水资源缺乏的关键不只是人文或自然因素，而应是这些因素共同作用的结果模型建立4.1.2 水资源缺乏风险敏感因子的确定本文分别采用主成分分析法和灰色关联度法进行指标定量筛选。由于数学方法在实际应用中可能会或多或少有其自身的缺陷和局限性，因此,采用不同的数学方法进行计算，并将其结果互相对比和验证，最终将能得出较为准确的结果。4.1.3 利用主成分分析方法确定风险敏感因子主成分分析法是指标筛选最常用的方法之一,该方法的本质目的是对高维变量系统进行最佳综合与简化,同时客观地确定各个指标的权重,从而筛选出权重大的指标,确定敏感因子。该方法较层次分析法和专家

14、打分法的好处是避免了主观随意性,因此本文首先采用此法进行指标筛选。4.1.3.1主成分分析法原理主成分分析是把原来多个指标化为少数几个综合指标的一种统计的分析方法,从数学角度来看,这是一种降维处理技术。如果原来单项指标记为 它们的综合指标记为x1,x2,x3.xp。新变量构成的坐标系是原坐标系经过平移和正交旋转后得到的,所以原变量是新变量的线性组合,即(Xij)n*p,其中i=1,2.,n;j=1,2,.p,用 Zscore 法对数据进行标准化变换，其中Xj为第j项指标的平均值，Sj为第j项指标的标准差。行标准化操作可得标准化的数据。=1. 原始数据标准化处理。设有n个样本和p个指标，可得数据

15、矩阵X2. 在经过标准化数据处理后得到指标数据的相关系数矩阵 R ，形式如下：5úKKKê=Rúêùr1pKr11é具体相关系数，也可以下式求的，其中ûëúrppKrp1ê1nXj)/SiSj-Xi)(xkj-(xkiå=rij1=nk，所以根据表2中的数据，由式(3)计算各指标相对隶属度，建立模糊关系矩阵Rú0.37 0.63 1.00 0.48 0.30ê=Rúêú43.0 08.0 04.0 1.00 0.25ê

16、9; 87.0 36.0 00.1 64.0 0.34éûú90.0 73.0 02.0 00.1 0.70ëêúê0.11 1.00 0.15 0.07 0.00úê3. 计算特征值和特征向量根据特征方程1，l0计算出特征值，求出=l-Rpm2，.,m1，mp，并使其从大到小排序，同时求得相对应的特征向量l2，.,l4. 计算贡献率和累计贡献率。其中贡献率=em。ilå1=piil累计贡献率Em=å1=mjjlå1=piil取累计贡献率达到80%以上作为主成分。 4.1.3

17、.2 数据和风险因子选取选择 1979-2009 年序列资料作为基础数据，根据科学性原则，参考专家意见，从中选取了 12 个因子：降水量(mm)(1)、平均气温()(2)、水资源总量 (bn m3/year)(4)、农业用水(bn m3/year)(5)、工业用水(bn m3/year)(6)、生活用水 (bn m3/year)(7)、生态环境用水(bn m3/year)(8)、常驻人口(人)(9)、人均GDP (元)(10)、城市绿化覆盖率(%)(3)、污水处理率(%)(11)、污水处理能力(t/day)(12)。应用 SPSS 分析软件对样本进行分析 计算，得出相关系数矩阵、特征值、主成分

18、贡献率和累计贡献率。根据变量确定相关性矩阵：6表 2 相关性矩阵从表2 我们可以看出因子之间的相关性很强，x1和 x11相关系数达到了0.97， 相关性很强。因此我们有必要对相关因子进行主因子分析。表 3 特征值及主成分贡献率图 1 前五种风险因子贡献率、累计贡献率图7主成分分析的结果表明，前5个主成分的累计贡献率已经达到了90%，基本上代表了全部因子对北京水资源风险的影响，完全符合分析的要求。五个主要成分分别对应水资源总量、降水量、平均气温、生活用水、工业用水五个主要因子。综上所述我们可以看出水资源短缺风险影响的主要因子为：水资源总量、降水量、平均气温、生活用水、工业用水。4.1.3.3 优

19、缺点分析优点：（1） 对于每个因素的具体影响因子，我们通过 Z-score 算法对其进行整合，从 而使数据标准化（2） 运用主成分分析法可以排除一些不重要的因素，进而针对主要因素进行分析，分清主次，有调理（3） 多因素综合评价数学模型可以很好的处理在多因素影响下的问题，处理结果具有很高的参考性。缺点：（1） 在对各因素进行标准化时忽略了一些次要的因素，这样对结果造成一定的偏差（2） 所采用数据均由 1979 年至 2009 年三十一年各项指标，时间跨度较小，所得结论在水资源风险长期评价中不具备指导意义4.1.4.基于灰色关联方法的的水缺乏影响因素的验证与分析4.1.4.1 灰色关联方法（1）确

20、定参考序列和比较序列 由于水资源是否短缺主要体现在人均水资源上，人均水资源越多，水资源风险就越小，反之，越大，所以选取人均水资源量作为参考序列。1,2,.,n,n为数据的年数。 其他各个比较序列可以形成如下矩阵：=参考序列用X0(k)表示，其中kûúXm(n)KX1(n)ëêúêê=)X1,X2,.,Xm(KKK úùXm(1)KX1(1)é其中，m为指标的个数，n为数据序列的中数的个数（即年数）。（2）对参考序列和比较序列进行无量纲处理处理方法：对于指标越大越好的数据序列，以序列中的最大值为

21、1，其他值除这个最大值；对于指标越小越好的数据序列，以序列中的最小值为 1，用这个 最小值除以其他数据。（3）利用下式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数8i(k)ikikDmaxmaxx+i(k)Dminmin=i(k)x为分辨系数，在 0-1 之 间变化，该系数的取值规则如下：xXi(K)为指标 k 的绝对差，-XO(K)=i(k)Di(k)ik 式中，Dmaxmaxx+i(k)D1mn1=1k=ni´Xi(k)，并记m-X0(k)åå=vDv为差值绝对值的均值D(4)记i(k), ikDmaxmax=maxDmax(DvD=e0®xd

22、lim，且满足e2£x£e的取值为：x则maxD，e1.5£x£eì>e1.5îí在此区间内取值。 xv，则D3<vD3£maxD，e2£e(5)比较序列对应于参考序列的关联度一般用平均值，即1=i(k) （3） nkxå=ig1n(6)按关联度大小进行排序关联度越大，比较序列与参考序列关系越密切。根据计算得出的关联度的值，我们可以选取关联度最大的某几项因子，作为水资源短缺风险的主要风险因子。4.1.4.2 模型求解1=1k=ni´måå计算出 =vDX

23、i(k) 根据-0.3197 ； X0(k)=vD经过调查选取，我们得到了 1979-2009 年的污水处理率、农业用水、工业用 水、生活用水、环境用水、水资源总量、植被覆盖率等数据，采用灰色关联方法， 对数据进行处理，经过无量纲处理后的数据见附录二： 1mn ；max=0.8730，e2£z£ev，所以 1.5D3£maxDmaxD0.7324，我们不妨取 £z£0.3662 ，由此得出 0.5493=vD=e90.7。根据公式，我们编写MATLAB 程序计算出每个比较序列与参考序列的关联系数，程序见附录 。根据公式，对每一个比较序列对应于关

24、联序列的关联系数求平均值，得到人均水资源量关联度，运行结果如图：量化顺序统计如下表所示：表 4 水资源短缺风险因子灰关联分析排序表由表 4可知,水资源短缺风险相关性较大的指标有水资源总量、降水量、平均气温、生活用水、工业用水，我们以这五个个因素作为水资源短缺风险的主要风险因子(取关联度大于0.658因素)。由大到下依次为水资源总量、降水量、平均气温、生活用水、工业用水。这与主成分分析法得到的结果相同，证明了我们结论的正确性。4.2 问题二：北京市水资源的短缺风险进行综合评价4.2.1 基于熵权的水资源短缺风险模糊综合评价模型4.2.1.1 评价性能指标的确定评价指标的选择考虑了以下原则:能集中

25、反映缺水地区的缺水风险;能集中反映缺水风险的破坏程度;能反映水资源失事事件发生后水资源系统的承受能力;代表性好，针对性强，易于量化。依据上述原则选取了水资源风险率、 脆弱性、恢复性、平均事故周期、风险度作为水资源系统水资源短缺风险的评价指标。104.2.1.2 评价指标解释l(Î风险率：根据风险理论，荷载是使系统“失事”的驱动力，而抗力则是对象抵御“失事”的能力。如果把水资源系统的失事状态F)，那么水资源系统的风险率。其中:为水资源系统状态变量。r>)正常状态记r>l(Î为S如果水资源系统的工作状态有长期的记录，风险率也可以定义为水资源系统不能正常工作的时间与整

26、个工作历时之比，即1NS1=NSiåIi=a在原式中：NS资源系统工作的总历时；Ii是水资源系统的状态变量。þîFtÎ1， 缺水 Xýí=IiüSÎ0,正常工作 Xtì脆弱性：是描述水资源系统失事损失平均严重程度的重要指标。为了定量表示 系统的脆弱性，上式说明干旱的期望缺水量可以用来表示供水系统的脆弱性。为 了消除需水量不同的影响，一般采用相对值，即VEiå=c1NFi=VDiå1NF=i式中：NF为系统失事的总次数，VEi为第 次缺水的缺水量，VDi是第 次干旱缺水期的蓄水量。,n)

27、，表示第n个间隔时间的历时，则平均重现期为：m重现期：是两次进入失事模式F之间的时间间隔，也叫平均重现周期。用 d(1=1n-,n) Nmd(å=w1-1N)是 0到t时段内属于模式F的事故数目。mN(=式中：N恢复性：是描述系统从事故状态返回到正常状态的可能性。系统的恢复性越高，表明该系统能更快地从事故状态转变为正常运行状态。引入整数变量其它 则11üFÌ1,XtìüSÌF,XtÌ1-1,Xtý í=，Ztýí=tgþîtþîSÌ0,

28、其他0,X则Ztå=b1=tNSgå1=tNSi记=Zt，TFå=TFS1=tNSgå1=tNSt则有ü0¹TFS/TF,TFìýí0=bþFî0=1,T0，即水资源系统在整个历时一直处于正常工作=从上式可以看出，当TFNS)，则=0，即水资源系统一直处于失事状态(Ft=0状态， 则；而当TFS=b1. 这表明水资源系统有时会处于失事状态，但有可能恢复正常状态，而且失事的历时越长，恢复性越小，也就是说水资源系统在经历了一个 较长时期的失事之后，转为正常状态是比较困难的。<b<

29、;一般来讲，0或半标准差s，可以说明风 风险度：是用概率分布的数学特征，如标准差s和 险的大小。s越大，则风险越大，反之越小。这是因为概率分布越分散，s实际结果远离期望值的概率就越大。)X(D(=s- 2öæø1=iè÷1)-E(X)/(n-(Xiåç=n或)X(D(=s-ø1=iè÷E(X)/P(Xi)-(Xiåç 2=önæ-为某一物理量的绝对量， 当两个比较方案的期望值相差很大时，则可比性差，同时比较结果可能不准确。s比较风险大小虽简单，概念明确，但

30、s、s用12可比性差的不足，可用其相对量作为比较参数，该相对量定义为为了克服用-风险度，即标准差与期望值的比值(也称变差系数) imi/s=i/E(X)s=Ci4.2.1.3 熵权模糊综合评价模型(1)确定造成水资源短缺风险的因素论域u，u风险率，脆弱性，重现期，恢复性，风险度；(2) 确定评语等级论域v，v低风险，较低风险，中风险，较高风险，高风险(3)在评价对象的因素论域u与评语论域v之间进行单因素评价，建立模糊关系矩阵RúêMOMê=Rúùr51Lr11éûúr55Lr51ëê(4)模糊综合评价模型及综合评价。水资源短缺风险评价的模糊综合评价模型为与R的合成运算，即R·W=m´(bj)1=B1式中：为各因素对水