(完整word版)人教版-高一数学必修4全套导学案,推荐文档

1、-i -第二章 平面向量2.1 向量的概念及表示【学习目标】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向 量；2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；【自主学习】1._ 向量的定义： _ ;2.向量的表示：（1）图形表示：（2）字母表示：3.向量的相关概念：（1）向量的长度（

2、向量的模） ： _记作： _（2）零向量： _，记作： _（3）单位向量： _（ 4）平行向量： _（5）共线向量： _（ 6）相等向量与相反向量： _思考：（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？_（ 2）平行向量与共线向量的关系： _（3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别： _【典型例题】例 1. 判断下例说法是否正确，若不正确请改正：（1）零向量是唯一没有方向的向量；（2）平面内的向量单位只有一个；（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；r r r r r r（4）向量a和b是共线向量，b/c，贝 ya和c是方向相同的向量；- 2

3、-uuu2平面直角坐标系xOy中，已知|0A| 2，则A点构成的图形是 _3.四边形ABCD中，円 ”J宀则四边形ABCD的形状是r r r4设a 0，则与a方向相同的单位向量是 _5若E、F、M、N分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点。uuu uuuu求证：EF / / NM6已知飞机从甲地北偏东30的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km到达丁地，问：丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？【课堂小结】（5）相等向量一定是共线向量；例 2已知0是正六边形ABCDEF的中心,在图中标出的向量中:B、

4、C、D四点必在一直线上;uuu uurAB CD；- 3 -221 向量的加法【学习目标】1掌握向量加法的定义；2会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；3掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算【学习重难点】重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；【自主学习】1.向量的和、向量的加法：r r已知向量a和b，_uuu r r则向量OB叫做a与b的和，记作：_叫做向量的加法B注意：两个向量的和向量还是一个向量;2.向量加法的几何作法：(1)三角形法则的步骤：uuur rOA就是所做的a b(2)平

5、行四边形法则的步骤:- 4 -urnrr rOC就是所做的a b注意：向量加法的平行四边形法则,只适用于对两而向量加法的三角- 5 -形法则对于任何两个向量都适用。3向量加法的运算律：(1)向量加法的交换律:(2)向量加法的结合律:思考：如果平面内有n个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这n条向量的和是什么？ _【例题讲解】要垂直地渡过长江，其航向应如何确定?例 1如图，uuu(1)OA已知0为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量:uLiiruuu uuuuuu uuuuuuuuuuuuuuuiuuuuu uuur(1)ABBCCDDAEA(2)ABMBuuur uuuuBO OMuu

6、u uuur uuu(3)AB DF CDuuur uuuBC FAuuu uur uuu(4)AB CD (BCuu uurDB) BC例 3在长江南岸某处，江水以12.5km/ h的速度向东流，渡船的速度为25km / h，渡船AB例 2化简下列各式- 6 -【课堂练习】r rr ri已知a,b，求作：a b(2)r ar b3.设点0是ABC内一点，若uuuOAuuuOBuurOCr0，则点O为ABC的心;r rrrrr rr4对于任意的a,b，不等式|a|b| |ab| |a| b|成立吗？请说明理由。(i)2已知0是平行四边形ABCD的交点，下列结论正确的有uuuuuuuuruuuu

7、uu（1）ABCBAC（2）ABADUUIuuruuuuuruuu（3）ADCDBD(4)AOCOMOD嚣- 7 -【课堂小结】- 8 -2.2.2 向量的减法【学习目标】1. 理解向量减法的概念；2. 会做两个向量的差；3. 会进行向量加、减得混合运算4. 培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力 【学习重难点】重点：三角形法则难点：三角形法则，向量加、减混合运算【自主学习】1.向量的减法：r r r r r1a与b的差：若_ ，则向量x叫做a与b的差，记为_rr2向量a与b的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；注意：向量的减法是向量加法的逆运算。rr2向量a b的减法的作图方法：作法：_

8、 _uuur r则BA a3. 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量r rr ra b a ( b)4. 关于向量减法需要注意一下几点：在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可uuur uuurOB OA，简记“终减起” ，在解题中经常用到，必须记住 以 向量uuur rAC a解；uuurABrraUUuuurADb为邻边作平行四 边形ABCD,则两条对角线的 向量为r uuur rra，DB a b这一结论在以后应用还是非常广泛， 应加强理uuur对于任意一点O，AB- 9 -【例题讲解】r r r ur r r u例 i已知向量a,b,c,d，求作向量

9、：a b,c d；思考：如果a/b，怎么做出a b？2任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和。例 3化简下列各式uuu uuruuu uuu（1）ABuuuBCuiuuBDuAD)uu（2）ABDABD BC CAuuuuuruur（3）(ABDC)(ACBD)【课堂练习】1在ABC中，C 90，AC BC，下列等式成立的有 _例明:O是平行四边形r r uun c aOAABCD的对角线的交点，若uuu r uuu r uiu ABa,DA b,OCc,试证-C本题还可以考虑如下方法：uuu uuu1.（ 1）OA OC CA r ruuir uuuuuu(2)CbAD.uuur u

10、uu uuu OC CB CD uurluiir uuir a OC AB OC DC ODuuu luiurOA ADr r b b- 10 -uu uur uurCB| |CA CB| uiuurn Luu1AC | IBA BC| uun Uuu uuu1BA| |CB ABI uuuuuu uur -CB |2| AB AC |2uur uur uur uuu2.已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交与O点， 且AO OC, BO OD,求证：四边形ABCD是平行四边形。3.如图，ABCDr是u个梯形，AB /CDuAB uuCD，M，N分别是DC，AB的中 点，已知ABa, AD

11、b,试用a,b表示BC和MN【课堂小结】uur(1)|CAI uuu(2)|AB| uur(3)|CA| uur(4)|CAuur uuu -| BA CA|2B- 11 -2.2.3 向量的数乘（ 1）【学习目标】1.掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模；2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算；3.通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想【学习重难点】重点：向量的数乘及运算律；难点：向量的数乘及运算律；【自主学习】1.向量的数乘的定义：r一般地，实数 与向量a的积是一个向量，记作： _；它的长度和方向规定如下:（1）| ar| | |ar|（2） 当0时， _ ；当0时， _ ；

12、当0时， _ ；_叫做向量的数乘2. 向量的线性运算定义：_ 统称为向量的线性运算；3. 向量的数乘的作图：rr r已知a,作b ar当0时，把a按原来的方向变为原来的 倍；r当0时，把a按原来的相反方向变为原来的 倍；4向量的数乘满足的运算律:设，为任意实数，a,b为任意向量，贝U（1）结合律2）分配律注意：（1）向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算过程中， 既要考虑模的大小， 又要考虑方向， 因此它是数形结合的具体应用， 这一点提示我们研究向 量不能脱离它的几何意义；（2）向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。-12-【典型例题】例 1已知向量a,b，

13、求作:（1）向量2.5ar r（2）2a 3b例 2计算r(1)( 5)g4a rrrr(2)5(ab)4(a b)3arrrr(3)2(2a 6b3c) 3(3a4b 2c)注意：（1）向量的数乘与实数的数乘的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和分配律。不同点：实数的数乘的结果（积）是一个实数，而向量的数乘的结果是一个向量。（2）向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似。ILK LUUUUU UUUULW HWUUU例 3已知OA,OB是不共线的向量，AP tAB,(t R)，试用OA,OB表示OP- 13 -于O点，求证:【课堂练习】1计算(1)3(5a3b)2(6ab(

14、2)4(a3b5c) 2( 3a 6b 8c)例 4.已知:ABC中，D为BC的中点，E,F为AC,BA的中点，AD,BE,CF相交2已知向量a,b且3(x a)2(x 2a)4(x ar r X X求uurACrorororomB山A/V/V1 1 - - 2 2LWEBBuuB山ouuurA171BACEoFD- 14 -uuu r uuur r uuur3在平行四边形ABCD中，AB a, AD b,ANuuun表示MN【课堂小结】uuu r uuu4.如图，在ABC中，AB a, BCuur求向量AGb, AD为边BC的中线,G为ABC的重心，uuurr r3NC,M为BC的中点，用a

15、,b来- 15 -223 向量的数乘(2)【学习目标】1理解并掌握向量的共线定理；2能运用向量共线定理证明简单的几何问题；3培养学生的逻辑思维能力【学习重难点】重点：向量的共线定理；难点：向量的共线定理；【自主学习】1向量的线性表示：r rrr若果b a,(a 0)，则称向量b可以用非零向量a线性表示;2向量共线定理：思考：向量共线定理中有a 0这个限制条件，若无此条件，会有什么结果?【典型例题】例 1如图，D, E分别是ABC的边AB, AC的中点,miiruuu将DE用BC线性表示；uuu uiuBC与DE共线；(1)(2)求证:BDAir uu例 2. 设 e, 是 两个uuu ur u

16、TUU ur uu urnAB 2q ke2,CB e 3e2,CD不ir2共线 的 向 量， 已知uue，若A, B, D三点共线，求k的值。E- 16 -ur uu变式：设e e2是两个不共线的向量，已知uuu2iuujuLruu uiLTITAB2e 8e2,CBei3e2,CD2euuiruiLT例 3如图，OAB中，C为直线AB上一点，ACBC,(1),urnuuuuuuOA OB求证：OC1思考:（1）当1时，你能得到什么结论？ULUuuiOAOB（2）上面所证的结论：OC表明：起点为O ,终点为直线AB上一点C的1uuuuuu uuuurn uuu向量OC可以用OA,OB表示，那

17、么两个不共线的向量OA, OB可以表示平面上任意一个uue，求- 17 -例 4.已知向量a是否存在实数,ITqITq2 2 r rb bw3 3LTqLTqur，使得daur ur uur urun3e2,其中ei,e2不共线，向量c 2e(9e2,b与c共线向量吗？- 18 -uuur uuur uuur例 5平面直角坐标系中，已知A(3,1),B( 1,3),若点C满足OC OA OB,其中, R, A,B,C三点共线，求的值;【课堂练习】r ur1.已知向量a 2e1课堂小结】uur2ee(),ur uur r ur2.设e1,e2是两个不共线的向量，a 2q值。uur r ur uu

18、r r rd，b ke1e2,若a,b是共线向量，求k的3.求证： 起点相同的三个非零向量a, b,3a 2b的终点在同一直线上。- 19 -2. 3. 1 平面向量基本原理【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握三点(或三点以上)的共线的证明方法:3.提高学生分析问题、解决问题的能力。【预习指导】1、平面向量的基本定理如果e,勺是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量2.、基底:平面向量的基本定理中的不共线的向量ei,e2，称为这一平面内所有向量的一组基底。思考：(1)向量作为基底必须具备什么条件？(2)一个平面的基底唯一吗？答：(1) _(2) _3、 向

19、量的分解、向量的正交分解：一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=1q+2e?的形式，我们称它为向量的分解，I当ei,e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。4、 点共线的证明方法：_【典例选讲】例 1:如图：平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于一点 M ,AB=a,AD=b试a，有且只有一对实数,2使a=1e+2e2- 20 -用a,b，表示MC,MA,MB和MD例 2:设 e ,e2是平面的一组基底，如果AB=3 262,BC=4 +e?,CD=8ei 962，求证：A、B、D 三点共线。1例 3：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上，且 BM=

20、AB，点 N 在21BC 上，且 BN=BC，用向量法证明：M、N、D 三点共线。3【课堂练习】1、若e,，e2是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的- 21 -（ ）V甲9A、e, 2e2和e,+2e2B、e,与 3e2c、2ei+3e2和-4 e 6e2B*D、e,+e：与e,- 22 -2、若ei,e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是（A、 右实数1，2使1G +2e2=0，贝U 1=2=0B、 空间任意向量都可以表示为a=iei+2e2,1,2RC、1ej +2e2,1,2R 不一定表示平面内一个向量D、 对于这一平面内的任一向量a，使a=1e

21、1+2 3的实数对1,2有无数对基底时，用e,e2表示CF【课堂小结】3、三角形 ABC 中，若 D, E, F 依次是AB四等分点，则以CB= e ,CA=e2为4、若a= - e +3e2,b= 4 e +2e2c= -30 +12e2,写出用2C的形式表C- 23 -2. 3. 2 向量的坐标表示（1）【学习目标】1、 能正确的用坐标来表示向量；2、 能区分向量的坐标与点的坐标的不同；3、 掌握平面向量的直角坐标运算；4、 提高分析问题的能力。【预习指导】1、 一般地，对于向量a，当它的起点移至 _时，其终点的坐标（x, y）称为向量a的（直角）坐标，记作_ 。2、 有向线段 AB 的端

22、点坐标为A（xi,yi）, B（X2, y2），则向量AB的坐标为3、若a=（xi,yi），b（X2,y2）a+b=_ 。* a b _。【典型例题选讲】例 1：如图，已知 0 是坐标原点，点 A 在第一象限，oA 4J3, xOA 60，求向量OA的坐标 。例 2:已知 A(-1，3)，B( 1,-3), C (4 ,1) , D (3 ,4),求向量OA,OB, AO,CD的坐 标。- 24 -例 3:平面上三点 A (-2,1), B (-1,3) , C (3, 4),求 D 点坐标，使 A,B,C,D 这四个点构 成平行四边形的四个顶点。例 4：已知pi(x!, yi),P2(X2,

23、y2),P 是直线P1P2上一点，且RPPP2(1)，求 P 的坐标。【课堂练习】1、_ 与向量a(12,5)平行的单位向量为 _2、_若0(0,0),B(-1,3)且OB=3OB，贝 yB/坐标是： _3、 已知 0 是坐标原点，点 A 在第二象限，|0A=2 ,xOA 1500求向量0A的坐标。4、已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上，点 C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求AB,AC,BC,BD的坐标。- 25 -【课堂小结】- 26 -2. 3. 2 向量的坐标表示(2)【学习目标】1、 进一步掌握向量的坐标表示；2、 理解向量平行坐标

24、表示的推导过程；3、 提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。【预习指导】1、向量平行的线性表示是_，反之也成立。【典型例题选讲】1例 1： 已知A(10)，B(3,1)，C(1,2)并且AE3ACAB。例 2：已知a (1,0) ,b (2,1),当实数k为何值时，向量ka b与a 3b平行？并确定此时它们是同向还是反向。例 3:已知点 O , A , B , C ,的坐标分别为(0, 0), (3, 4), (- 1, 2), (1 , 1),是否存在常数t,OA tOB OC成立？解释你所得结论的几何意义。2、向量平行的坐标表示是：设a (x,yj，b (x2,y2)(a0)， 如果a/b

25、，3、已知 A，B，C，O 四点满足条件：OA OB OC，当1，则能得到BF-BC，求证：EF/3- 27 -【课堂练习】1.已知a (2,3), b (6,y),且a/b，求实数y的值。2.已知，平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (2, 1) , B ( 1,3) , C (3,4),求第四个顶点的 D 坐标。3.已知 A (0, 2), B (2, 2) , C (3, 4)，求证：A , B, C 三点共线。4.已知向量a ( 3, 4)，求与向量a同方向的单位向量。5.若两个向量a ( 1, x), b (x, 4)方向相同，求a 2b。【课堂小结】- 28 -2. 4

26、.1 向量的数量积（1）【学习目标】1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义2.掌握数量积的运算法则3.了解平面向量数量积与投影的关系【预习指导】1._已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 ，则把数量_ 叫做向量a与b的数量积（或内积）。规定：零向量与任何一向量的数量积为 _2.已知两个非零向量a与b，作OA a,OB b，则_叫做向量a与b的夹角。当0时，a与b_，当180时，a与b_；当90时,则称a与b_。3.对于a?b a ?|cos，其中_ 叫做b在a方向上的投影。4.平面向量数量积的性质* wfffc- f若a与b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与b的夹角，则：a?e

27、e?a a ?cos；a?b 0 a b；5.数量积的运算律若a与b同向，贝Ua?bab；若a与b反向，则a?ba?aa?a设 是a与b的夹角，贝UCOSa?b。ab- 29 -1交换律：_2数乘结合律：- 30 -3_ 分配律：注：、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量，实数与实数之积之间的差异。、数量积得运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律。即(a?b)?c不一定等于a?(b?c)，也不适合消去律【典型例题选讲】a= 2，b= 3，分别在下列条件下求a ?b:0I-(1)= 135；( 2)a/b；(3)a bI-f例 2：已知a= 4 ,b= 8 ,且a与b的夹

28、角为 1200计算：(1)(a 2b)?(2a b)；(2)a 2b。例 3：已知a= 4 , |b = 6 ,a与b的夹角为 600,F9-F-H B-求：(1)、a ? b(2)a ?(a b)(3)、(2a b)?(a 3b)例 4：已知向量ae,e=1 ,对任意 tR ,恒有a tea e，则()例 1：已知向量a与向量b的夹角为- 31 -例 3：设向量ae,e2, b4q3色，其中e,=（ 1，0），e2=（0，1）-32 -1 _ _且（3a）?（匚b）36，则a与b的夹角为5（1） 、 若a?b，则a/b（2）、若a ?c4、四边形 ABCD 满足 AB= DC，则四边形 AB

29、CD 是（ ）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形5、正ABC边长为 a ，则AB ? AC BC ?CA CA? AB _【课堂小结】B、a(a e)C、ee)D、(a e) (a e)【课堂练习】2、已知a、b、c是三个非零向量，试判断下列结论是否正确:1、已知a= 10b= 123、已知a?b，则a b3, (3a2b)?( a b) 0，则(3)、若a- 33 -2. 4.1 向量的数量积（2）【学习目标】1、 能够理解和熟练运用模长公式，两点距离公式及夹角公式;2、 理解并掌握两个向量垂直的条件。【预习指导】*fc-卜I-1、 若a（Xi，yj,b（X2V2）则a ?b _2、

30、向量的模长公式：2I I22f设a （x,y）则a=a acos =a?a x y a _3、 两点间距离公式设 A（X!，y1）B（X2, y2）则AB （x?捲，y?yJ,AB _5、两个向量垂直：F-F-设a= （X1，yJ，b（X2, y2），a 0,b 0a b _注意：对零向量只定义了平行，而不定义垂直。【典例选讲】例 1：已知a=（2，1），b （3, 2），求（3ab）?（a2b）4、向量的夹角公式：设a=（xyj，b（X2, y2），a一a ?b与b的夹角为，则有cos例 3：设向量ae,e2, b4q3色，其中e,=（ 1，0），e2=（0，1）-34 -例 2：在ABC中

31、，设AB（2,3）, AC （1,k）且ABC为直角三角形，k的值- 35 -(1)、试计算a?b及a b的值。(2)、求向量a与b的夹角大小。【课堂练习】1、已知a(2, 2),b(1, 2)，求：(a b)?(3a 2b).2、已知向量a (1,1),b(2, 3)，若ka 2b与a垂直，则实数k=3、已知a(1,2),b(x,1)若a 2b与2a b平行，则x4、已知 A、B、C 是平面上的三个点，其坐标分别为第一章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦公式【学习目标】A(1,2), B(4,1),C(0, 1).那么AB?AC=_，ACBABC的形状为_5、已知a (m 2,m 3),

32、 b(2 m 1,m 2)，且a与b的夹角为钝角，求实数取值范围。【课堂小结】- 36 -1、 理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决具体问题；2、 应用公C()式，求三角函数值3、 培养探索和创新的能力和意见.【学习重点难点】向量法推导两角和与差的余弦公式【学习过程】(一) 预习指导探究 COS(a+3)丰cosa+COS3反例：COS -=cos( +n丰COS -+ COS 23636问题：COS(a+3),COSa,COS3的关系(二) 基本概念1.解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角 函数线2. 探究：在坐标系中a、3角构造a+

33、3角3. 探究：作单位圆，构造全等三角形探究：写出 4 个点的坐标P1(1,0),P(COSa,sina)F3(COS(a+3),Sin(a+3),P4(COS(-3),sin(-3),5.计算R P3,P2P4- 37 -Plp3=_P2P4 =_6. 探究：由Pip3=p2p4导出公式2 2 2 2cos( a +3)-1 +sin ( a +3)=cos(-3)-cos a +sin(-3)-sin a 展开并整理得_所以_可记为c()7. 探究：特征1熟悉公式的结构和特点；2此公式对任意a、3都适用3公式记号C()8. 探究：COs(a+3)的公式以-3代3得：_公式记号C()5,co

34、s3= - -，3是第三象限角，求 cos(a-3)的13(三)典型例题选讲：例 1 不查表，求下列各式的值(1)cos105 (3)cos3cos -510.3sin sin -510cos 15 -sin 15(2) cos15 (4)cos80 cos20 +sin80 sin20(6)cos80 cos35 +cos10 cos55例 2 已知 Sina=4,a一52值- 38 -例 3:已知 cos(2 a -3)=-glnC14求 cos( a +3)的值.a -2 3 )=4:37且，0424例 4： cos( a - -)=- ,sin(-29求 cos - 的值.2一3)=

35、且 一v232aVn,03 ,2【课堂练习】1.求 cos75 的值2.计算：cos65 cos115 -cos25 sin 115- 39 -3.计算：-cos70 cos20 +sin110 sin2014.sin a -sin3=- Yosa -cos3=丄a(0,屯3(0,片 求 cos( a -3)的值222235.已知锐角a,3满足 cosa= ,cos(5+a-3)=- 求 cos3513|226.已知 cos( a- 3)= 亍 求(sin a +sin3) +(cos a +cos3)的值.3【课堂小结】- 40 -3.1.2两角和与差的正弦公式【学习目标】1、掌握两角和与差

36、的正弦公式及其推导方法。2、通过公式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。3、掌握诱导公式sin =cosa,2sin=cos2a,33sin=- cosa,sin=-cosa22【学习重点难点】（一）预习指导：两角和与差的余弦公式：（二）基本概念：基本概念：1.两角和的正弦公式的推导sin（a+3）= sin(a-3)=sinacos3-sinacos3(二)、典型例题选讲：例1求值 sin( +60 )+2sin(-60 )-、3cos(120 -)- 41 -例2：已知 sin(2 a +3)=3sin3,tan a =1,求 t

37、an( a -3)的值.2例3:已知 sin( a +3)= gn(3例4:1(1)已知 sin(a-3)= -sin(1a+3)= 求 tana:tan3)的值32【课堂练习】11.在厶 ABC 中，已知 cosA =HOSB=,3-则 cosC 的值为52.已知 一VaV4的值0V3Va,COS( +a)=-453)=13求 sin(a+3)3.已知 sina+sin求 cosa+cos3的范围a-3)=-求tan的值.5 tan- 42 -14.已知 sin( a +3)= Yin(2C 1a-3)= rtan,，求的值10tan6.化简2cos -6sin解:我们得到一组有用的公式:(

38、1 )sinasina=、.2sin=.2 cos.44(3 )sina.3 cosa=2s in=2eos33(4)asina+bcosa=a2b sin(a+):=. ab cos(7.化解3cossin8.求证：cos +sin= .-2 cos (- )5.已知a+cos3=4求 cos(a-3)5sin a +sin3=3cos5- 43 -4- 44 -9.求证： cos a + . 3 sin a =2sin ( 一610.已知0,，求函数y=cos ( 一)-cos5的值域21212【课堂小结】11.求2cos10sin 20cos 20的值.- 45 -3.1.3两角和与差的

39、正切公式【学习目标】1. 掌握两角和与差的正切公式及其推导方法。2. 通过正式的推导，了解它们的内在联系，培养逻辑推理能力。3. 能正确运用三角公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。【学习重点难点】能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习过程】(一)预习指导：1. 两角和与差的正、余弦公式COS(a+3)=_COS(a-3)=_sin(a+3)=_sin(a-3)=_2. 新知tan(a+3)的公式的推导(a+3)丰0tan(a+3)1必须在定义域范围内使用上述公式tana,ta n3,ta n(a+3)只要有使用这个

40、公式，只能用诱导公式。2注意公式的结构，尤其是符号。(二)典型例题选讲：1例 1：已知 tana= tan3=-2 求 tan(a+3),tan(a-3),a+3的值，390,903180个不存在就不能其中 0a- 46 -例 2:求下列各式的值：1 tan 75(1)1 tan 75(2) tan 17 +tan28 +tan17 tan28(3)tan20tan30+tan30tan40 +tan40tan20例 3:已知 sin(2 a +3)+2sin3=0)是方程2+p +q=0 的两个根，证明：p-q+仁 0.例 5：已知 tana=、3(1+m),tan(-3). 3(tanat

41、an3+m),又a，3都是钝角，求a【课堂练习】1. 若 tan tan=tan+tab +1，贝 U cos( + )的值为2. 在厶 ABC 中，若 OvtanA tabBv1 则厶 ABC 定是3. 在厶 ABC 中，tanA+tanB+tanC=3 , 3 ,tan2B=tanAtanC,则/ B 等于_.求证 tana=3tan(a+3)例 4：已知 tan 和 tan(4- 47 -4tan 20 tan 40tan 120tan 20 tan 405.已知 sin(a+3)=sin(-a-3)=1求 - 厂)一坦卩坦卩一的值.23tan tan( )【课堂小结】321二倍角的三角

42、函数（1）【学习目标】1. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；2. 能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明。【学习重点难点】重点：1.二倍角公式的推导；2. 二倍角公式的简单应用。难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。【学习过程】（一）预习指导：- 48 -1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式：sin(a+3)=(S)cos(a+3)=(C)tan(a+3)=(T)(a,3,a+f5 Kn+)（二）基本概念2.二倍角公式的推导在公式(S),(C), (T)中，当a=3时，得到相应的一组公式sin2a=(S2)C0S2a(C2)tan2a(T2)注意： 1在(T2）中2a工 T,aH+ ( )222在因为 2Sina+C0is2a=1,所以公式（C2）可以变形为C0S2a=_或 C0S2a=_ （C_ ，2）公式（S2） , （C2） , （ C2）, （T2）统称为二倍角的三角函数公式，简称二倍角 公式。（二）典型例题选讲：一、倍角公式的简单运用- 49 -例 1 不查表，求下列各式的值.5(1)(sin石)5cos12cos.)124. 4cossin2 211 tan(4)1+2