2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.3第2课时简单的三角恒等变换教学案苏教版

1、2æö æö2tan xxsin2(2)已 ç ÷， 0， ç ÷ç ÷æ öç x÷ç x÷ x÷ç x÷ç 2x÷第 2 课时简单的三角恒等变换考点 1 三角函数式的化简1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2三角函数式化简的方法(1) 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂(2) 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角 函数式时，一般需要升

2、次2cos4x2cos21x(1)化简： .ç ÷ ç ÷è4 ø è4 øæ ö 10 æ ö æ ö知 cos ç ÷，则 sin 2 . è 4 ø 10 è 2 ø è 3 ø(3)已知 为第二象限角，且 tan tan . æ 5ö 2tan tan 2，则 sin12 12 è 6 ø1 43 3 3 10(1) cos 2x

3、 (2) (3) (1)原式 2 10 1014cos4x4cos2x1 2sinç x÷è4 ø æ ö 2× ·cos2æ ö è4 ø cosè4 ø2cos2x1 2 æ ö æ ö4sinç cosè4 ø è4 øcos22x cos22x 1 cos 2x.æ ö 2cos 2x 22sinè2 øç2

4、÷ç ÷ ç2 ÷因 ç ÷ç2 ÷ç ÷ç ÷ ç ÷æö æöç ÷ç ÷æ ö1cosæ ö è 2 ø 1 æ ö 4(2)由题意可得，cos2 ，cos sin 2 ，è 4 ø 2 10 è 2 ø 54即 sin 2 .5æ

5、ö 10 æ ö 为 cos 0，ç0， ÷è 4 ø 10 è 2 ø， æ ö 所以 0 ，2ç0， ÷4 è 2 ø，3根据同角三角函数基本关系式，可得 cos 2 ，5由两角差的正弦公式，可得æ ö sin sin 2cos cos 2sinè 3 ø 3 3 4 1 3 3 43 3 × × .5 2 5 2 10æ ö(3)由已知可得 tanè

6、12ø 为第二象限角，2，æ ö 2 5 æ ö sin ，cosè 12ø 5 è 12ø5 ，55 则 sinç ÷sinç ÷è 6 ø è 6 øsinæ ö æ ö 3 10cos sin sin cos .è 12ø 4 è 12ø 4 10(1) 化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、 尽量不含绝对值等

7、(2) 余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用考点 2 三角函数的求值给角求值2sin 50°sin 10°(1 3tan 10°)· 2sin280° .æ6 原 式 çècos 10° 3sin 10°ö2sin 50°sin 10°· ÷cos 10° ø·2 sin 80° 2 2ç ÷è 6 øæö2(2)已 

8、1; ÷4 28 æ ö 4 3ç ÷ç ÷所 ÷ ÷(2) 1ç ÷÷所 ç ÷æ ö 4 æ ö 4æççè1 3 ö cos 10° sin 10°÷2sin 50°2sin 10°· ÷cos 10° ø· 2 cos 10° 2 2 sin 50&#

9、176;·cos10°sin 10°·cos(60°10°)2 2sin(50°10°)2 2×32 6.该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊 角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值给值求值(1)(2019· 益阳 模 拟 ) 已知 cosæ ö 4 3 sin 5 ， 则 sin7ç ÷è 6 ø .æ ö 3 17 7 sin 22sin 知 cos ， ，则 的

10、值为 è4 ø 5 12 4 1tan (1) (2) (1)由 cosç ÷sin ，5 75 è 6 ø 5可得3 1 4 3 cos sin sin ，2 2 53 3 4 3即 sin cos ， 2 2 5所以 3sinæ ö 4 3 ，è 6 ø 5æ ö 4即 sin ，è 6 ø 5æ 7ö æ ö 4 以 sinç sinç .è 6 ø è 6 &

11、#248; 5sin 22sin2 2sin cos 2sin2 1tan sin cos 2sin cos cos sin cos sin 1tan æ ö sin 2 sin 2·tan .1tan è4 ø 17 7 5 由 得 2， 12 4 3 4æ ö 3又 cosç ，è4 ø 5以 sin ，tanç ÷ . è4 ø 5 è4 ø 3ç ÷(2)注意ç x÷与ç x&#

12、247;ç x÷ç x÷510æö1tan tan 1 1 3æ ö 2 7 2cos cos ，sin ，è4 ø 4 10 107sin 2 .25sin 22sin2 7 æ 4ö 28所以 ×ç ÷ .1tan 25 è 3ø 75(1)给值求值的关键是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来æ ö æ ö æ ö æ ö互余，s

13、in 2 cos 2x，cos 2è4 ø è4 ø è4 ø è4 øsin 2x 的灵活应用。3A.47C.4给值求角5 3 10(1)设 ， 为钝角，且 sin ，cos ，则 的值为( )5B.45 7D. 或4 41 1(2)已知 ，(0，)，且 tan() ，tan ，则 2 的值为 2 73 5 3 10(1)C (2) (1)， 为钝角，sin ，cos ，4 5 102 5 10cos ，sin ，5 10cos()cos cos sin sin 3，又 (，2)，ç ，2÷&

14、#232;2 ø7 .4(2)tan tan()1 1tan tan 2 7 1 0，1 ×2 70 .2220.1æöæö5105 æ öæöæö12 ×2tan 3 3又tan 2 0，1tan2 2 4æö1ç÷è3ø02 ，23 1tan 2tan 4 7tan(2) 1.1tan 2tan 3 11 ×4 71 tan 0， ，20，7 232 .4通过求角的某种三角函数值来求角，在选取

15、函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是 ç0， ÷è 2 ø，则选正、余弦 皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为ç ， ÷è 2 2 ø，则选正弦较好提醒：求解此类问题时，一定要注意所求角的范围及解题过程中角的范围5 101.(2019· 安 徽 六 安 二 模 ) 若 sin 2 ， sin( ) ， 且 ， ，则 的值是( )7A.45 7C. 或4 49B.45 9D. 或4 4A 因为 ，且 0sin 25

16、1 æ5 ö ，所以 2ç ，÷52 è6 ø，所以 ç ， ÷ è12 2 ø，cos 2 1sin22 52 .5因为 13 ，所以 ç ， ÷è2 12 ø，又 sin()10100，所以 ç ，÷，è2 øæöæöæ öæöæöæöç ÷sin cos 2sin .所以

17、cos() 1sin2 所以 cos()cos2() cos 2cos()sin 2sin()2 5 æ 3 10ö 5 10 2 ×ç ÷ × . 5 è 10 ø 5 10 23 10.105 又 ç ， ÷， è12 2 ø选 A.17，所以 ç ，2÷è12 ø7，所以 .故42已知 ç0， ÷è 2 ø，且 2sin2sin ·cos 3cos2sinç ÷

18、è 4 ø0，则sin 2cos 21 .268ç0， ÷，且 2sin2sin ·cos 3cos20， è 2 ø则(2sin 3cos )·(sin cos )0， 又ç0， ÷，sin cos 0， è 2 ø2sin 3cos ，又 sin2cos21，2 3cos ，sin ，13 13æ ösinè 4 øsin 2cos 212sin cos 2 2 26 cos2 2 4cos 8cos 10° 1 3tan

19、 10° 3.cos 50°的值是 cos 10° 3sin 10° 2sin 10°30° 2sin 40°2 原式 2.cos 50° cos 50° sin 40°考点 3 三角恒等变换的综合应用三角恒等变换的应用策略(1) 进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意 公式的逆用和变形使用(2) 把形如 yasin xbcos x 化为 y a2b2sin(x)，可进一步研究函数的周期性、æöæöæ 

20、6;æ öç2x ÷2æ ö单调性、最值与对称性(2019·浙江高考)设函数 f(x)sin x，xR. (1)已知 0,2)，函数 f(x)是偶函数，求 的值；(2)求函数 y的值域解(1)因为 f(x)sin(x)是偶函数，所以对任意实数 x 都有 sin(x)sin(x)，即 sin xcos cos xsin sin xcos cos xsin ， 故 2sin xcos 0，所以 cos 0.又 0,2)，因此 (2)y 3或 .2 2sin 2çx ÷sin2çx ÷ è 12ø è 4 ø 1cosç2x ÷ 1cosç2x ÷è 6 ø è 2 ø 2 21 æ 3 3