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文档简介
1、i二次函数知识点详解知识点一、平面直角坐标系1 1 平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做 x x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做 y y 轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点 0 0 (即公共的原点)叫做直角坐标系 的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被 x x 轴和 y y 轴分割而成的四 个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意:x x 轴和 y y 轴上的点,不属于任何象限。2 2、点的坐标的概念点的坐标用(a a,b b)表示,其顺序是横坐标
2、在前,纵坐标在后,中间有“,” 分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当a=b时, (a a, 6 6 和(b b,a a)是两个不同点的坐标。知识点二、不同位置的点的坐标的特征1 1、各象限内点的坐标的特征点 P(x,y)P(x,y)在第一象限二x .0,y 0点 P(x,y)P(x,y)在第二象限=X ::0,y 0点 P(x,y)P(x,y)在第三象限二X 2y 0k0b0b0y y / / /图像经过一、二、三象限,y y 随 x x 的增大而增大。/ /0 0 x xb0b0y y图像经过一、三、四象限,y y 随 x x 的增大而增大。5/ /0 0 x x/
3、 /6K0K0b0y y r r图像经过一、二、四象限,y y 随 x x 的增大而减小0 0 x x b0b0k0 时,图像经过第一、三象限,y y 随 x x 的增大而增大;(2 2) 当 k0k0k0 时,y y 随 x x 的增大而增大(2 2) 当 k0k0k0k0k0k0 时,函数图像的两个分支当 k0k0a0a0a0130 0 x x0 0 x x(1 1)抛物线开口向上,并向上无限(1 1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;延伸;(2 2)对称轴是 x=x=2 2,顶点坐标是(2 2)对称轴是 x x 二卫,顶点坐标是2a2a(-b,Tb2);(b4ac-b2、(,-);2a4a
4、2a4a(3 3)在对称轴的左侧,即当 xx-x-巴时,y y2a对称轴的右侧,即当 x-x-卫时,2a随 x x 的增大而增大,简记左减右y y 随 x x 的增大而减小,简记左增;增右减;(4 4)抛物线有最低点,当 x x 二丄时,(4 4)抛物线有最咼点,当 x x 时,2a2ay y 有最小值,y最小值-y y 有最大值,y最大值-4a4a2 2、二次函数y = ax2 bx c(a,b,c是常数,a = 0)中,a、b、c的含义:a表示开口方向:a00 时,抛物线开口向上14a000 时,图像与 x x 轴有两个交点;当厶=0=0 时,图像与 x x 轴有一个交点;当厶0则 ABA
5、B 间的距离,即线段 ABAB 的长度为 J J(x xi-X-X2+ +(y yi-yzfA Ai52 2,二次函数图象的平移1将抛物线解析式转化成顶点式y =a x h2 k,确定其顶点坐标h ,k;2保持抛物线y =ax2的形状不变,将其顶点平移到h,k处,具体平移方法如下:y=ax2向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(*0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位 -* y=ax2+ k平移|k|个单位163平移规律i5在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.函数平移图像大致位置规律(中考试题中,只占
6、 3 3 分,但掌握这个知 识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)特别记忆-同左上加 异右下减( (必须理解记忆) )说明 函数中 abab 值同号,图像顶点在 y y 轴左侧同左,a a b b 值异号,图像顶 点必在丫轴右侧异右向左向上移动为加左上加,向右向下移动为减右下减3 3、 直线斜率:_讨2-yb为直线在 y y 轴上的截距 4 4、直线方程:k=tan、瞪X2 _Xi4 4、 两点由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两式:y - yi二kx b二(tan )x b二业x(x - Xi)此公式有多种变形牢记2点斜y - yi=kx(x-Xi)3斜截 直线的斜截
7、式方程,简称斜截式:y y = kxkx + b(kb(k半0)0)4截距 由直线在X轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程,简称截距式:x y=1a b牢记 口诀-两点斜截距-两点 点斜 斜截 截距5 5、 设两条直线分别为,h:kix biI2:y = k2X b2若11/ l2,则有IW/ldk1*2且bb2。 若J 二匕k2186 6、点 P P (x xo, y yo)到直线 y=kx+b(y=kx+b(即:kx-y+b=0)kx-y+b=0)的距离: :i57 7、抛物线y =ax2 bx C中,a a b b c,c,的作用(1)(1)a决定开口方向及开口大小,这与y=ax2中的
8、a完全一样. .(2)(2)b b 和a共同决定抛物线对称轴的位置. .由于抛物线ax2bx c的对称轴是直线x =,故:b=0时,对称轴为y轴;-0(即a、b同号)时,对2aa称轴在y轴左侧;b: 0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧. . 口诀a- 同左 异右(3)(3)c的大小决定抛物线y=ax2bx c与 y y 轴交点的位置. .当x=0时,y=c,二抛物线y二ax2bx c与y轴有且只有一个交点(0 0,c):1c=0,抛物线经过原点;2c 0, ,与y轴交于正半轴;c 0, ,与y轴交于负半轴. .以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. .如抛物线的对称轴在y轴右侧,则b0.
9、 .adkx0yo+qJk2+(1)2kxo- yb.k21201一,中考点击考点分析:内容要求1 1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点I2 2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别,理解图像 与变量的关系I3 3、一次函数的概念和图像I4 4、一次函数的增减性、象限分布情况,会作图II5 5、反比例函数的概念、图像特征,以及在实际生活中的应用II6 6、二次函数的概念和性质,在实际情景中理解二次函数的 意义,会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并 能解决实际生活问题I命题预测:函数是数形结合的重要体现,是每年中考的必考内容,函数的 概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取
10、值范围,及自变量与因变量的变 化图像、平面直角坐标系等,一般占2%2%左右.一次函数与一次方程有紧密地联 系,是中考必考内容,一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查,占5%5%左右.反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现,要关注反比例函 数与实际问题的联系,突出应用价值,3 36 6 分;二次函数是初中数学的一个十 分重要的内容,是中考的热点,多以压轴题出现在试卷中.要求:能通过对实 际问题情景分析确定二次函数的表达式,并体会二次21函数的意义;会用描点法 画二次函数图像,能丛图像上分析二次函数的性质;会根据公式确定图像的顶 点、开口方向和对称轴,并能解决实际问题.会求一元二次方程
11、的近似值.分析近年中考,尤其是课改实验区的试题,预计 20092009 年除了继续考查自变 量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像,一次函数的图像和性质,在 实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解. 同时将注重考查二次函数, 特别是二次函数的在实际生活中应用.十二,初中数学助记口诀( (函数部分) )特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),(x,y),横在前来纵在后;(+,+),(-,+),(-,-)(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),(+,-),四个象限分前后;X X 轴上 y y 为 0,x0,x 为 0 0 在丫轴。对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,X
12、X 轴对称 y y 相反,丫轴 对称,x,x 前面添负号;原点对称最好记,横纵坐标变符号。自变量的取值范围:分式分母不为零,偶次根下负不行;零次幕底数不为零,整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成 y=ky=k (x+0 x+0) +b+b、二次函数的解析式写成 y y二a a (x+hx+h) 2+k2+k 的形式,则用下面后的口诀“左右平移在括号, 上下平移在末稍,同左上加异右下减22一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线,图像经过仨象限;正比例函数 更简单, ,经过原点一直线; 两个系数 k k 与 b,b,作用之大莫小看, k k 是斜率定夹角,b,b 与丫轴来
13、相见,k,k 为正来右上斜, ,x x增减 y y 增减;k k 为负来左下展,变化规律正相 反;k k 的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键;开口、顶点 和交点,它们确定图象现;开口、大小由 a a 断,c,c 与丫轴来相见,b,b 的符号较特别, 符号与 a a 相关联;顶点位置先找见,丫轴作为参考线,左同右异中为 0 0,牢记心 中莫混乱;顶点坐标最重要,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最 值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k;k 为 正
14、, ,图在一、三(象)限,k,k 为负, ,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支 分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。正比例函数是直线,图象一定过圆点,k k 的正负是关键,决定直线的象限, 负 k k 经过二四限,x x 增大 y y 在减,上下平移 k k 不变,由引得到一次线,向上加 b b 向下减,图象经过三个限,两点决定一条线,选定系数是关键。反比例函数双曲线,待定只需一个点,正 k k 落在一三限,x x 增大 y y 在减,图象上面任意点,矩形面积都不变,对称轴是角分线 x x、y y 的顺序可交换。二次函数抛物线,选定需要三个点,a
15、 a 的正负开口判,c c 的大小 y y 轴看, 的符号最简23便,x x 轴上数交点,a a、b b 同号轴左边抛物线平移 a a 不变,顶点牵着 图象转,三种形式可变换,配方法作用最关键。1 1对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,X X 轴对称 y y 相反,丫轴对称,x,x 前面添负号;原点对称最好记,横纵坐标变符号。关于X轴对称y=ax2,bx c关于x轴对称后,得到的解析式是y -ax2-bx-c;y=ax-hk关于x轴对称后,得到的解析式是y = -ax-hf-k;关于y轴对称y=ax2bx c关于y轴对称后,得到的解析式是y=ax2-bx c;y =a x -h $
16、 k关于y轴对称后,得到的解析式是y = a x h ? k;关于原点对称y=axbxc关于原点对称后,得到的解析式是y=-ax2bx-c;y=a(x-h“k关于原点对称后,得到的解析式是y=-a(x + h$-k24关于顶点对称y=ax_hk关于顶点对称后,得到的解析式是yax-Jk.关于点m,n对称y =a x h彳k关于点m,n对称后,得到的解析式是y二ax h2m ? 2nk根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化, 因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运 算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物 线
17、)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然 后再写出其对称抛物线的表达式.口诀-Y Y反对 X X, X X 反对 Y Y,都反对原点2 2 自变量的取值范围:分式分母不为零,偶次根下负不行;零次幕底数不为零,函数图像的移动规律若把一次函数解析式写成 y=ky=k (x+0 x+0) +b+b,二次函数的解析式写成 y=ay=a (x+hx+h) 2+k2+k 的形式, 则用下面后的口诀:“左右平移在括号,上下平移在末稍左正右负须牢记,上正下负错不了”。y=ax2bx c关于顶点对称后,得到的解析式是2y二-ax -bx cb2.2a;25一次函数图像与性质口诀:一次函
18、数是直线,图像经过仨象限;正比例函数更简单,经过原点一直线;两个系数 k k 与 b,b,作用之大莫小看,k k 是斜率定夹角,b,b 与丫轴来相见,k k 为正来右上斜,x,x 增减 y y 增减;k k 为负来左下展,变化规律正相反;k k 的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线,图象对称是关键;开口、顶点和交点,它们确定图象限;开口、大小由 a a 断, ,c c 与丫轴来相见,b,b 的符号较特别,符号与 a a 相关联;顶点位置先找见,丫轴作为参考线,左同右异中为 0 0,牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要, ,一般式配方它就现,横标即为对称轴,纵标函数最值
19、见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式,不同表达能互换。26反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k k 为正,图在一、三(象)限;k k 为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减, ,两个分支分别减;图在二、四正相反, ,两个分支分别添;线越 长越近轴,永远与轴不沾边。函数学习口决:正比例函数是直线,图象一定过原点, k k 的正负是关键,决定 直线的象限,负 k k 经过二四限,x x 增大 y y 在减,上下平移 k k 不变,由引得到一 次线,向上加 b b 向下减,图象经过三个限,两点决定一条线,选定系数是关键;反比例函数双曲线,待定只需一个点,正
20、k k 落在一三限,x x 增大 y y 在减,图象 上面任意点,矩形面积都不变,对称轴是角分线 x x、y y 的顺序可交换;二次函数抛物线,选定需要三个点,a a 的正负开口判,c c 的大小 y y 轴看,的符 号最简便,x x轴上数交点,a a、b b 同号轴左边抛物线平移 a a 不变,顶点牵着图象 转,三种形式可变换,配方法作用最关键。27求定义域有讲究,负数不能开平方,指是分数底正数,限制条件不唯一,求定义域要过关,负数不能开平方,分数指数底正数,限制条件不唯一,四项原则须留意。分母为零无意义。数零没有零次幕。满足多个不等式。四项原则须注意。分母为零无意义。数零没有零次幕。不等式
21、组求解集。解一元一次不等式:先去分母再括号,移项合并同类项。系数化“ 1 1”有讲究,同乘除负要变向先去分母再括号,移项别忘要变号。同类各项去合并,系数化“ 1 1”注意了。同乘除正无防碍,同乘除负也变号。解一元二次不等式:首先化成一般式,构造函数第二站。求定义域28判别式值若非负,曲线横轴有交点 C C a a 正开口它向上,大于零则取两边。代数式若小于零,解集交点数之间 C C方程若无实数根,口上大零解为全 C C 小于零将没有解,开口向下正相反 C C13.113.1用公式法解一元二次方程要用公式解方程,首先化成一般式 C C 调整系数随其后,使其成为最简比 C C 确定参数 abcab
22、c,计算方程判别式。判别式值与零比,有无实根便得知 c c 有实根可套公式,没有实根要告之 c c用常规配方法解一元二次方程:左未右已先分离,二系化“ 1 1”是其次一系折半再平方,两边同加没问题。左边分解右合并,直接开方去解题。该种解法叫配方,解方程时多练习。用间接配方法解一元二次方程:已知未知先分离,因式分解是其次。 调整系29数等互反,和差积套恒等式。 完全平方等常数,间接配方显优势【注】恒等式解一元二次方程:方程没有一次项,直接开方最理想。如果缺少常数项,因式分解没商量。b b 、c c 相等都为零,等根是零不要忘。 b b 、c c 同时不为零,因式分解或配方, 也可直接套公式,因题而异择良方。正比例函数的鉴别: 判断正比例函数,检验当分两步走。一量表示另一量, 有没有。若有再去看取值,全体实数都需要。区分正比例函数,衡量可分两步走。 一量表示另一量, 是与否。30若有还要看取值,全
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