高考数学一轮复习总教案：10.3 空间点、线、面之间的位置关系_20210103224758

1、10.3 空间点、线、面之间的位置关系典例精析题型一证明三线共点【例1】 已知空间四边形abcd中，e、f分别是ab、ad的中点，g、h分别是bc、cd上的点，且2.求证：直线eg、fh、ac相交于同一点p.【证明】因为e、f分别是ab、ad的中点，所以efbd，且efbd.又因为2，所以ghbd，且ghbd，所以efgh且efgh，所以四边形efhg是梯形，其两腰所在直线必相交，设两腰eg、fh的延长线相交于一点p，来源:因为eg平面abc，fh平面acd，所以p平面abc，p平面acd.又平面abc平面acdac，所以pac，故直线eg、fh、ac相交于同一点p.【点拨】证明三线共点的方法

2、：首先证明其中的两条直线交于一点，然后证明第三条直线是经过这两条直线的两个平面的交线；由公理3可知，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上，即三条直线交于一点.【变式训练1】如图，在四面体abcd中作截面pqr，pq、cb的延长线交于m，rq、db的延长线交于n，rp、dc的延长线交于k. 求证：m、n、k三点共线.来源:【证明】m、n、k在平面bcd与平面pqr的交线上，即m、n、k三点共线.题型二空间直线的位置关系【例2】 在正方体abcda1b1c1d1中，e是cd的中点，连接ae并延长与bc的延长线交于点f，连接be并延长交ad的延长线于点g，连接fg.求证：直线fg平面abcd且直线

3、fga1b1.【证明】因为e为cd的中点，在正方体中ae平面abcd，又aebcf，所以fae，所以f平面abcd，同理g平面abcd，所以fg平面abcd.因为ecab，故在rtfba中，cfbc，同理dgad，所以在正方体中cfdg，所以四边形cfgd是平行四边形，所以fgcd，又cdab，aba1b1，所以直线fga1b1.【点拨】空间直线的位置关系，常需利用线面、面面、线线的关系确定，推导时需有理有据.【变式训练2】已知ac的长为定值，点d平面abc，点m、n分别是dab和dbc的重心. 求证：无论b、d如何变换位置，线段mn的长必为定值.【解析】如图，延长dm交ab于f，延长dn交b

4、c于e.因为m、n为重心，所以f、e分别为ab、bc的中点，来源:数理化网所以efac且efac.又在def中，dmmfdnne21，所以mnef且mnef，所以mnac且mnac，即mn为与b、d无关的定值.题型三异面直线所成的角【例3】 在空间四边形abcd中，已知ad1，bc且adbc，对角线bd，ac，求ac和bd所成的角.【解析】作平行线，找出与异面直线所成的角相等的平面角，将空间问题转化为平面问题. 如图所示，分别取ad、cd、ab、bd的中点e、f、g、h，连接ef、fh、hg、ge、gf.由三角形的中位线定理知，efac，且ef，gebd，且ge.ge和ef所成的锐角(或直角)

5、就是ac和bd所成的角.同理，gh，hf，ghad，hfbc.来源:又adbc，所以ghf90°，所以gf2gh2hf21.在efg中，eg2ef21gf2，所以gef90°，即ac和bd所成的角为90°.【点拨】立体几何中，计算问题的一般步骤：(1)作图；(2)证明；(3)计算.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.【变式训练3】线段ab的两端在直二面角cd的两个面内，并与这两个面都成30°角，求异面直线ab与cd所成的角.来源:【解析】在平面内作aecd，因为cd是直二面角，由面面垂直的性质定理，所以ae，所以abe是ab与平面所成的角.所以abe30°，所以aeab，同理作bfcd，则易得bfab.在平面内作bgef，则四边形bgef是矩形，即bgge.又因为ae，bg，所以aebg.所以bg平面aeg，所以bgag.因为bgef，所以bgcd，所以abg是异面直线ab与cd所成的角.来源:又因为在rtaeg中，agab，来源:所以在rtabg中，sinabg，所以abg45°.总结提高本节内容主要以四个公理为