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文档简介
1、2.7幂函数与函数的图象典例精析题型一幂函数的图象与性质【例1】点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(2,)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)、g(x)的解析式;(2)问当x为何值时,有:g(x)f(x);f(x)g(x);f(x)g(x).【解析】(1)设f(x)xa,因为点(,2)在幂函数f(x)的图象上,将(,2)代入f(x)xa中,得2()a,解得a2,即f(x)x2.设g(x)xb,因为点(2,)在幂函数g(x)的图象上,将(2,)代入g(x)xb中,得(2)b,解得b2,即g(x)x2.(2)在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象,如图所示,由图象可知:当x1或x1时
2、,g(x)f(x);当x±1时,f(x)g(x);当1x1且x0时,f(x)g(x).【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤:设出幂函数的一般形式yxa(a为常数);根据已知条件求出a的值;写出幂函数的解析式.本题的第(2)问采用了数形结合的思想,即在同一坐标系下画出两函数的图象,借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x2,即x41,x±1,以x1,1为分界点分x1,1x1,x1,x±1五种情况进行讨论,也能得到同样的结果.【变式训练1】函数f(x)(m2m1) 是幂函数,且当x(0,)时是减函数,求实数m.【解析】因为f(x)为幂函数,所以m2m
3、11,解得m2或m1.当m2时,f(x)x3在(0,)上是减函数;当m1时,f(x)x0在(0,)上不是减函数.所以m2.题型二作函数图象【例2】作下列函数图象:(1)y1log2x;(2)y2|x|1;(3)y|x24|.【解析】(1)y1log2x的图象是:(2)y2|x|1的图象是:(3)y|x24|的图象是:【变式训练2】在下列图象中,二次函数yax2bx与指数函数y()x的图象只可能是()【解析】a.题型三用数形结合思想解题来源:来源:【例3】已知f(x)|x24x3|.(1)求f(x)的单调区间;(2)求m的取值范围,使方程f(x)mx有4个不同实根.【解析】递增区间为1,2,3,
4、);递减区间为(,1),(2,3).(2)设ymx与yf(x)有四个公共点,过原点的直线l与yf(x)有三个公共点,如图所示.令它的斜率为k,则0mk.由x2(k4)x30.令(k4)2120k4±2.当k42时,方程的根x1x2(1,3),舍去;当k42时,方程的根x1x2(1,3),符合题意.故0m42.来源:【点拨】(1)作出f(x)的图象;(2)利用(1)的图象,研究函数ymx与yf(x)的交点情况.【变式训练3】若不等式x2logax0对x(0,)恒成立,则实数a的取值范围是()a.0a1 b.a1c.a1 d.0a【解析】原不等式为x2logax,设f(x)x2,g(x)
5、logax,因为0x1,而logaxx20,所以0a1,作出f(x)在x(0,)内的图象,如图所示.因为f(),所以a(,),当g(x)图象经过点a时,logaa,因为当x(0,)时,logaxx2,g(x)图象按如图虚线位置变化,所以a1,故答案为b.题型四有关图象的对称问题【例4】设函数f(x)x,x(,0)(0,)的图象为c1,c1关于点a(2,1)对称的图象为c2,c2对应的函数为g(x).(1)求函数yg(x)的解析式,并确定其定义域;来源:(2)若直线yb与c2只有一个交点,求b的值,并求出交点的坐标.【解析】(1)设p(u,v)是yx上任意一点,所以vu.设p关于a(2,1)对称
6、的点为q(x,y),所以代入得2y4xyx2.所以g(x)x2,其定义域为(,4)(4,).(2)联立方程得x2(b6)x4b90,所以(b6)24×(4b9)b24b0b0或b4.所以,当b0时,交点为(3,0);当b4时,交点为(5,4).【变式训练4】函数f(x)的定义域为r,且满足:f(x)是偶函数,f(x1)是奇函数.若f(0.5)9,则f(8.5)等于()来源:a.9b.9 c.3 d.0【解析】因为f(x)f(x),f(x1)f(x1),所以f(2x)f(x)f(x),则f(4x)f(x2)f(x),即4是函数f(x)的一个周期,所以f(8.5)f(0.5)9,故应选b.本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题,合理进行转化是解题的关键.总结提高掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法.函数图象为研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法,用数形结合思想、分类讨论思想和
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