高三数学复习

1、.高三数学复习：求数列通项公式的常用方法 2007年11月12日 10:22   城市快报新华中学 于川在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。求数列通项公式常用以下几种方法：一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。例：在数列an中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求该数列的通项公式an。解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出数列an为a1=1，d=2的等差数列。所以an=2n-1。此类题主要是用等比、等差数列

2、的定义判断，是较简单的基础小题。二、已知数列的前n项和，用公式S1 (n=1)Sn-Sn-1 (n2)例：已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6解：an=Sn-Sn-1=2n-10，5<2k-10<8 k=8 选 (B)此类题在解时要注意考虑n=1的情况。三、已知an与Sn的关系时，通常用转化的方法，先求出Sn与n的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。例：已知数列an的前n项和Sn满足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求数列an的通项公式。解：an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-

3、Sn-1，两边同除以SnSn-1，得-=-1(n2)，而-=-=-，- 是以-为首项，-1为公差的等差数列，-= -，Sn= -，再用(二)的方法：当n2时，an=Sn-Sn-1=-，当n=1时不适合此式，所以，- (n=1)- (n2)四、用累加、累积的方法求通项公式对于题中给出an与an+1、an-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。例：设数列an是首项为1的正项数列，且满足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求数列an的通项公式解：(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解为(n+1)an+1-nan(an+1+an)=0又an是首项为1的正项数列，

4、an+1+an 0，-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，-=-,这n-1个式子，将其相乘得： -=-，又a1=1，an=-(n2)，n=1也成立，an=-(nN*)五、用构造数列方法求通项公式题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。例：已知数列an中，a12，an+1=(-1)(an+2)，n=1,2,3,(1)求an通项公式 (2)略解：由an+1=(-1)(an+2)得到an+1- (-1)(an

5、-)an-是首项为a1-，公比为-1的等比数列。由a12得an-=(-1)n-1(2-) ，于是an=(-1)n-1(2-)+-又例：在数列an中，a1=2，an+1=4an-3n+1(nN*)，证明数列an-n是等比数列。证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又a1-1=1，所以数列an-n是首项为1，公比为4的等比数列。若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出an-n的通项公式，再转化到an的通项公式上来。又例：设数列an的首项a1(0,1)，an=-，n=2，3，4(1)求an

6、通项公式。(2)略解：由an=-，n=2,3,4,，整理为1-an=-(1-an-1)，又1-a10，所以1-an是首项为1-a1，公比为-的等比数列，得an=1-(1-a1)(-)n-1解题方略数列的通项的求法：公式法求数列通项：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列 试写出其一个通项公式：_（答： ）已知 （即 ）求 ，用作差法： 。如已知 的前 项和满足 ，求 （答： ）；数列 满足 ，求 （答： ）已知 求 ，

7、用作商法： 。如数列 中，对所有的 都有 ，则 _（答： ）若 求 用累加法：   。如已知数列 满足 ，  ，则=_（答： ）已知 求 ，用累乘法：  。如已知数列中， ，前 项和 ，若 ，求 （答： ）已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如 、 （ 为常数）的递推数

8、列都可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 。如已知 ，求 （答： ）；已知 ，求 （答： ）；（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。如已知 ，求 （答： ）；已知数列满足 =1， ，求 （答： ）注意：（1）用 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（ ，当 时， ）；（2）一般地当已知条件中含有 与 的混合关系时，常需运用关系式 ，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解。如数列 满足 ，求 （答： ）求数列的通项公式一般地有以下几个原则：1）如果已知的数列中有正有负，那么先确定正负号，一般用(-1)n或(-1)(n-1)来表示正负号 其中（-1）n表示奇数项是负的情形，另一个表示奇数项是正的情形2）在确定正负号以后就不再考虑正负号，只要把剩下的求出通项即可。 如果给定的数列中即有整数又