人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：圆锥曲线的定义

1、圆锥曲线的定义知识讲解一、椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距2.椭圆的标准方程：，焦点是，且，焦点是，且3.椭圆的几何性质（用标准方程研究）：1）范围：，；2）对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；3）椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的；4）长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段5）椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，越趋近于，椭圆越扁；

2、反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆二、双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点两焦点的距离叫做双曲线的焦距依定义，设是双曲线上一点，则有且2.双曲线的标准方程：，焦点坐标为，；，焦点坐标为，；3.双曲线的几何性质1）范围：或；如图2）对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心3）顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点4）实轴与虚轴：两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴如图中，为顶点，线段为双曲线的实轴在轴上作点，线段叫做双曲线的虚轴5）渐近线：直线；6

3、）离心率：叫做双曲线的离心率，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔三、抛物线及其标准方程1.基本定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线2.抛物线的标准方程：，焦点在轴正半轴上，坐标是，准线方程是，其中是焦点到准线的距离3.抛物线的几何性质（根据抛物线的标准方程研究性质）：1）范围：抛物线在轴的右侧，开口向右，向右上方和右下方无限延伸2）对称性：以轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点此处为原点3）离心率：抛物线上的点与焦点和准线的距离的比叫做抛物线的离心率，用表示，

4、4.抛物线方程的四种形式如下标准方程图形对称轴焦点坐标准线方程轴轴经典例题一选择题（共11小题）1设f1（4，0）、f2（4，0）为定点，动点m满足|mf1|+|mf2|=8，则动点m的轨迹是（）a椭圆b直线c圆d线段【解答】解：若点m与f1，f2可以构成一个三角形，则|mf1|+|mf2|f1f2|，|f1f2|=8，动点m满足|mf1|+|mf2|=8，点m在线段f1f2上故选：d2已知f1，f2是椭圆c的两个焦点，p是c上的一点，若pf1pf2，且pf2f1=60°，则c的离心率为（）a132b23c3-12d31【解答】解：f1，f2是椭圆c的两个焦点，p是c上的一点，若pf

5、1pf2，且pf2f1=60°，可得椭圆的焦点坐标f2（c，0），所以p（12c，32c）可得：c24a2+3c24b2=1，可得14e2+34(1e2-1)=1，可得e48e2+4=0，e（0，1），解得e=3-1故选：d3若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上，过点（1，12 ）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为a、b，直线ab恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（）ax29+y24=1bx24+y25=1cx25+y24=1dx29+y25=1【解答】解：设过点（1，12 ）的圆x2+y2=1的切线为l：y12=k（x1），即kxyk+12=0当直线l与x轴垂直时，

6、k不存在，直线方程为x=1，恰好与圆x2+y2=1相切于点a（1，0）；当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d=|-k+12|k2+1=1，解之得k=34，此时直线l的方程为y=34x+54，l切圆x2+y2=1相切于点b（35，45）；因此，直线ab斜率为k1=0-451-35=2，直线ab方程为y=2（x1）直线ab交x轴交于点a（1，0），交y轴于点c（0，2）椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点为（0，1），上顶点为（0，2）c=1，b=2，可得a2=b2+c2=5，椭圆方程为x25+y24=1故选：c4椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点分别为f1，f2，a为椭圆上

7、一动点（异于左右顶点），若af1f2的周长为6且面积的最大值为3，则椭圆的标准方程为（）ax24+y23=1bx23+y22=1cx22+y2=1dx24+y2=1【解答】解：由椭圆的定义可得2（a+c）=6，所以a+c=3，当a在上（或下）顶点时，af1f2的面积取得最大值，即最大值为bc=3，由及a2=c2+b2联立求得a=2，b=3，c=1，可得椭圆方程为x24+y23=1，故选：a5已知方程x2n+2m2+y2n-2m2=1表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）a（2，2）b（，2）（2，+）c（，2）d（2，+）【解答】解：由题意，n+2m2n2m20，则n2m2

8、，且a2=n+2m2，b2=n2m2，c2=a2b2=4m2，得c=2|m|，由椭圆两焦点间的距离为4，得2|m|=2，即|m|=1n2m2=2n的取值范围是（2，+）故选：d6已知双曲线x2-y2b2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则其顶点到渐近线的距离为（）a355b255c55d510【解答】解：由双曲线的方程得a=1，双曲线x2-y2b2=1的虚轴长是实轴长的2倍，2b=2×2a=4，即b=2，则双曲线的顶点为a（1，0），双曲线的渐近线方程为y=±bax=±2x，不妨取渐近线y=2x，即2xy=0，则顶点到渐近线的距离d=|2-0|22+(-1)2=25=2

9、55，故选：b7已知双曲线x24y2b2=1的右焦点与抛物线x=y212的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）a42b5c3d5【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0），依题意，4+b2=9，b2=5双曲线的方程为：x24-y25=1，其渐近线方程为：y=±52x，双曲线的一个焦点f（3，0）到其渐近线的距离等于d=|±5×3-0|5+4=5故选：b8过双曲线e：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左焦点（5，0），作圆（x5）2+y2=4的切线，切点在双曲线e上，则e的离心率等于（）a25b5c53d52【解答】解：由圆的方程（x5）2

10、+y2=4，知圆心坐标为g（5，0），半径r=2，过左焦点f（5，0）作圆（x5）2+y2=4的切线，切点在双曲线上，设切点为p，则pg=2，pf=2+2a，fg=2c=25，则pf2+pg2=fg2，即（2+2a）2+4=20，即（2+2a）2=16，得2+2a=4，a=1，c=5，双曲线的离心率e=ca=5，故选：b9已知双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点设a，b到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）ax24y212=1bx212y24=1cx23y29=1dx29y23=1

11、【解答】解：由题意可得图象如图，cd是双曲线的一条渐近线y=bax，即bxay=0，f（c，0），accd，bdcd，fecd，acdb是梯形，f是ab的中点，ef=d1+d22=3，ef=bca2+b2=b，所以b=3，双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的离心率为2，可得ca=2，可得：a2+b2a2=4，解得a=3则双曲线的方程为：x23y29=1故选：c10已知双曲线c：x23y2=1，o为坐标原点，f为c的右焦点，过f的直线与c的两条渐近线的交点分别为m，n若omn为直角三角形，则|mn|=（）a32b3c23d4【解答】解：双曲线c：x23y2=1的渐近线方程为：y=

12、7;33x，渐近线的夹角为：60°，不妨设过f（2，0）的直线为：y=3(x-2)，则：&y=-33x&y=3(x-2)解得m（32，-32），&y=33x&y=3(x-2)解得：n（3，3），则|mn|=(3-32)2+(3+32)2=3故选：b11已知抛物线y2=2px（p0）经过点m（x0，22），若点m到准线l的距离为3，则该抛物线的方程为（）ay2=4xby2=2x或y2=4xcy2=8xdy2=4x或y2=8x【解答】解：抛物线y2=2px（p0）经过点m（x0，22），(22)2=2px0，可得x0=4p又点m到准线l的距离为3，4p+p

13、2=3，解得p=2或p=4则该抛物线的方程为y2=4x或y2=8x故选：d二填空题（共8小题）12已知两定点f1（1，0），f2（1，0）且|f1f2|是|pf1|与|pf2|的等差中项，则动点p的轨迹方程是x24+y23=1【解答】解：f1（1，0）、f2（1，0），|f1f2|=2，|f1f2|是|pf1|与|pf2|的等差中项，2|f1f2|=|pf1|+|pf2|，即|pf1|+|pf2|=4，点p在以f1，f2为焦点的椭圆上，2a=4，a=2c=1b2=3，椭圆的方程是x24+y23=1故答案为：x24+y23=113若椭圆x2a2+y2b2=1过抛物线y2=8x的焦点，且与双曲线x

14、2y2=1有相同的焦点，则该椭圆的方程为x24+y22=1【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），双曲线x2y2=1的焦点坐标为（±2，0）由题意，&a2-b2=2&4a2=1，a2=4，b2=2椭圆的方程为x24+y22=1故答案为：x24+y22=114椭圆c：x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点与抛物线e：y2=4x的焦点f重合，点p是椭圆c和抛物线e的一个公共点，点q（0，1）满足qfqp，则c的离心率为2-1【解答】解：如图，由抛物线e：y2=4x，得2p=4，p=2，f（1，0），又q（0，1）且qfqp，qp所在直线斜率为1，则qp所在直

15、线方程为y=x+1，联立&y=x+1&y2=4x，解得p（1，2），则2a=(-1-1)2+(0-2)2+(1-1)2+(0-2)2=22+2，a=2+1，则e=12+1=2-1故答案为：2-115已知点p（0，1），椭圆x24+y2=m（m1）上两点a，b满足ap=2pb，则当m=5时，点b横坐标的绝对值最大【解答】解：设a（x1，y1），b（x2，y2），由p（0，1），ap=2pb，可得x1=2x2，1y1=2（y21），即有x1=2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，x22+4y22=4m，得（y12y2）（y1+2y2）=3m，可

16、得y12y2=m，解得y1=3-m2，y2=3+m4，则m=x22+（3-m2）2，即有x22=m（3-m2）2=-m2+10m-94=-(m-5)2+164，即有m=5时，x22有最大值4，即点b横坐标的绝对值最大故答案为：516已知双曲线x24-y2b2=1的右焦点与抛物线x=y212的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为5【解答】解：抛物线x=y212，即y2=12x，即焦点坐标为（3，0），双曲线x24-y2b2=1，c=4+b2，4+b2=3，解得b=5，双曲线的一条渐近线方程为y=54x，即5x4y=0双曲线的焦点到其渐近线的距离为353=5，故答案为：517已知椭圆m：x

17、2a2+y2b2=1（ab0），双曲线n：x2m2y2n2=1若双曲线n的两条渐近线与椭圆m的四个交点及椭圆m的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆m的离心率为3-1；双曲线n的离心率为2【解答】解：椭圆m：x2a2+y2b2=1（ab0），双曲线n：x2m2y2n2=1若双曲线n的两条渐近线与椭圆m的四个交点及椭圆m的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（c2，3c2），可得：c24a2+3c24b2=1，可得14e2+34(1e2-1)=1，可得e48e2+4=0，e（0，1），解得e=3-1同时，双曲线的渐近线的斜率为3，即nm=3，可得：n

18、2m2=3，即m2+n2m2=4，可得双曲线的离心率为e=m2+n2m2=2故答案为：3-1；218在平面直角坐标系xoy中，若双曲线x2a2y2b2=1（a0，b0）的右焦点f（c，0）到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值为2【解答】解：双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点f（c，0）到一条渐近线y=bax的距离为32c，可得：bca1+(ba)2=b=32c，可得c2-a2=34c2，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=ca=2故答案为：219过抛物线c：x2=4y的焦点f的直线与抛物线c交于a、b两点，若弦ab中点到x轴的距离为5，则|ab|=6【解答】解：抛物线c

19、：x2=4y的焦点f（0，1），过焦点的直线方程为y=kx+1，联立&y=kx+1&x2=4y，得x24kx4=0，=16k2+160，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1+x2=4k，y1+y2=k（x1+x2）+2，弦ab中点到x轴的距离为5，y1+y2=k（x1+x2）+2=4k2+2=10，解得k2=2，设直线ab的倾斜角为，则tan2=2，sin2=23，|ab|=2psin2=423=6故答案为：6三解答题（共5小题）20如图，椭圆c：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点m(43，13)，且点m到椭圆的两焦点的距离之和为22（1）求椭圆c的标准方程；（2）

20、若r，s是椭圆c上的两个点，线段rs的中垂线l的斜率为12且直线l与rs交于点p，o为坐标原点，求证：p，o，m三点共线【解答】（1）解：点m到椭圆的两焦点的距离之和为22，2a=22，解得a=2，又椭圆c经过点m(43，13)，(43)2a2+(13)2b2=1，解得b2=1椭圆c的标准方程为x22+y2=1；（2）证明：线段rs的中垂线l的斜率为12，直线rs的斜率为2，可设直线rs的方程为y=2x+m联立&y=-2x+m&x22+y2=1，得9x28mx+2m22=0设点r（x1，y1），s（x2，y2），p（x0，y0），x1+x2=8m9，y1+y2=-2x1+m-2

21、x2+m=-2(x1+x2)+2m=-28m9+2m=2m9，则x0=x1+x22=4m9，y0=y1+y22=m9y0x0=14，y0=14x0，点p在直线y=14x上，又点o(0，0)，m(43，13)也在直线y=14x上，p，o，m三点共线21（）抛物线的顶点在原点，准线方程为y=1，求抛物线的标准方程；（）已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，并经过点（2，2），求此双曲线的标准方程【解答】解：（）依题意可设所求抛物线的标准方程为：x2=2py（p0），准线为y=1，p2=1，即p=2抛物线的标准方程为x2=4y； （）由双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0，可设双曲线方程为：x2

22、4y2=，双曲线经过点（2，2），=224×22=12故双曲线方程为：y23-x212=122双曲线x212y24=1，f1、f2为其左右焦点，c是以f2为圆心且过原点的圆（1）求c的轨迹方程；（2）动点p在c上运动，m满足f1m=2mp，求m的轨迹方程【解答】解：（1）由已知得a2=12，b2=4，故c=a2+b2=4，所以f1（4，0）、f2（4，0），因为c是以f2为圆心且过原点的圆，故圆心为（4，0），半径为4，所以c的轨迹方程为（x4）2+y2=16；（2）设动点m（x，y），p（x0，y0），则f1m=（x+4，y），mp=(x0-x，y0-y)，由f1m=2mp，得（x

23、+4，y）=2（x0x，y0y），即&x+4=2(x0-x)&y=2(y0-y)，解得&x0=3x+42&y0=3y2，因为点p在c上，所以(x0-4)2+y02=16，代入得(3x+42-4)2+(3y2)2=16，化简得(x-43)2+y2=64923已知椭圆c：x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦点f（2，0）左顶点a1（4，0）（）求椭圆c的方程；（）已知p（2，3），q（2，3）是椭圆上的两点，a，b是椭圆上位于直线pq两侧的动点若apq=bpq，试问直线ab的斜率是否为定值？请说明理由【解答】解：（）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得

24、b2=4222=12，所以椭圆c的方程为x216+y212=1（）当apq=bpq时，ap，bp的斜率之和为0，设直线pa的斜率为k，则直线pb的斜率为k，设a（x1，y1）b（x2，y2），pa的方程为y3=k（x2）联立&y-3=k(x-2)&x216+y212=1消y得（3+4k2）x2+8（3kk2）x+4（4k2+912k）48=0所以2+x1=8k(2k-3)3+4k2，同理2+x2=8k(2k+3)3+4k2，所以x1+x2=16k2-123+4k2，x1-x2=-48k3+4k2，所以kab=y2-y1x2-x1=k(x1+x2)-4kx2-x1=12，所以ab的斜率为定值1224如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c过点（3，12），焦点f1（3，0），