2022届高三数学一轮复习（原卷版）第4讲　高效演练分层突破 (2)

1、基础题组练1圆 o1：x2y22x0 和圆 o2：x2y24y0 的位置关系是()a相离b相交c外切d内切解析：选 b圆 o1的圆心坐标为(1，0)，半径长 r11，圆 o2的圆心坐标为(0，2)，半径长 r22，所以两圆的圆心距 d 5，而 r2r11，r1r23，则有 r2r1dr1r2，所以两圆相交2 (2020陕西榆林二校联考)圆 x2y24x2ya0 截直线 xy30 所得弦长为 2，则实数 a 等于()a2b2c4d4解析：选 d由题知，圆的标准方程为(x2)2(y1)25a，所以圆心为(2，1)，半径为 5a，又圆心到直线的距离为|213|22 2，所以 2 ( 5a)2(2 2

2、)22，解得 a4.3(2020河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xoy 中，以点(0，1)为圆心且与直线 xby2b10 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()ax2(y1)24bx2(y1)22cx2(y1)28dx2(y1)216解析：选 b直线 xby2b10 过定点 p(1，2)，如图所以圆与直线 xby2b10 相切于点 p 时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径 r 为 2，此时圆的标准方程为 x2(y1)22.故选 b4圆 x22xy24y30 上到直线 xy10 的距离为 2的点共有()a1 个b2 个c3 个d4 个解析：选 c圆的方程化为(x1)2(y2

3、)28，圆心(1，2)到直线的距离 d|121|2 2，半径是 2 2，结合图形可知有 3 个符合条件的点5(2020安徽合肥二模)在平面直角坐标系 xoy 中，圆 c 经过点(0，1)，(0，3)，且与 x轴正半轴相切，若圆 c 上存在点 m，使得直线 om 与直线 ykx(k0)关于 y 轴对称，则 k的最小值为()a2 33b 3c2 3d4 3解析：选 d由圆 c 过点(0，1)，(0，3)知，圆心的纵坐标为1322，又圆 c 与 x 轴正半轴相切，所以圆的半径为 2，则圆心的横坐标 x22(312)2 3，即圆心为( 3，2)，所以圆 c 的方程为(x 3)2(y2)24.因为 k0

4、，所以 k 取最小值时，直线 ykx 与圆相切，可得 2| 3k2|k21，即 k24 3k0，解得 k4 3(k0 舍去)，故选 d6圆 x2y24x0 在点 p(1， 3)处的切线方程为_解析：圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2，0)，半径为 2，点 p 在圆上，设切线方程为 y 3k(x1)，即 kxyk 30，所以|2kk 3|k212，解得 k33.所以切线方程为 y 333(x1)，即 x 3y20.答案：x 3y207已知直线 l：xay10(ar)是圆 c：x2y24x2y10 的对称轴过点 a(4，a)作圆 c 的一条切线，切点为 b，则|ab|_解析：由于直线 xa

5、y10 是圆 c：x2y24x2y10 的对称轴，所以圆心 c(2，1)在直线 xay10 上，所以 2a10，所以 a1，所以 a(4，1)所以|ac|236440.又 r2，所以|ab|240436.所以|ab|6.答案：68p 在直线 l：xy2 上，过 p 作圆 x2y21 的切线，切点分别为 a，b，o 为坐标原点，则四边形 oapb 面积的最小值为_解析：连接 op，oa，ob，则 s四边形oapb|oa|pa|oa| |op|2|oa|2 |op|21.而|op|的最小值为|op|min21212 2，所以(s四边形oapb)min1.答案：19已知圆 c 经过点 a(2，1)，

6、和直线 xy1 相切，且圆心在直线 y2x 上(1)求圆 c 的方程；(2)已知直线 l 经过原点，并且被圆 c 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程解：(1)设圆心的坐标为 c(a，2a)，则 (a2)2(2a1)2|a2a1|2，化简，得 a22a10，解得 a1.所以 c(1，2)，半径|ac| (12)2(21)2 2.所以圆 c 的方程为(x1)2(y2)22.(2)当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x0，此时直线 l 被圆 c 截得的弦长为2，满足条件当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx，由题意得|k2|1k21，解得 k34，所以直线 l 的方程为

7、 y34x.综上所述，直线 l 的方程为 x0 或 3x4y0.10已知点 p(2，2)，圆 c：x2y28y0，过点 p 的动直线 l 与圆 c 交于 a，b 两点，线段 ab 的中点为 m，o 为坐标原点(1)求 m 的轨迹方程；(2)当|op|om|时，求 l 的方程及pom 的面积解：(1)圆 c 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 c(0，4)，半径为 4.设 m(x，y)，则cm(x，y4)，mp(2x，2y)由题设知cmmp0，故 x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点 p 在圆 c 的内部，所以 m 的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由

8、(1)可知 m 的轨迹是以点 n(1，3)为圆心， 2为半径的圆由于|op|om|，故 o 在线段 pm 的垂直平分线上，又 p 在圆 n 上，从而 onpm.因为 on 的斜率为 3，所以 l 的斜率为13，故 l 的方程为 x3y80.又|om|op|2 2，o 到 l 的距离为4 105，所以|pm|4 105，spom124 1054 105165，故pom 的面积为165.综合题组练1(2020湖北四地七校联考)若圆 o1：x2y25 与圆 o2：(xm)2y220 相交于 a，b两点，且两圆在点 a 处的切线互相垂直，则线段 ab 的长度是()a3b4c2 3d8解析：选 b连接

9、o1a，o2a，由于o1与o2在点 a 处的切线互相垂直，因此 o1ao2a，所以|o1o2|2|o1a|2|o2a|2，即 m252025，设 ab 交 x 轴于点 c.在 rto1ao2中，sinao2o155，所以在 rtaco2中，|ac|ao2|sinao2o12 5552，所以|ab|2|ac|4.2(2020江西南昌 ncs 项目第一次模拟)已知 r0，x，yr，p：“|x|y|21”，q：“x2y2r2” ，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 r 的取值范围是()a0，2 55b(0，1c2 55，d2，)解析：选 a如图， “|x|y|21”表示的平面区域为平行四边形

10、abcd 及其内部， “x2y2r2” 表示圆及其内部， 易知圆心 o(0， 0)到直线 ad： 2xy20 的距离 d|2|22122 55，由 p 是 q 的必要不充分条件，得 0r2 55，故选 a3过点 p32，32 的直线 l 与圆 c：(x1)2y24 交于 a，b 两点，当acb 最小时，此时直线 l 的方程为_，acb_解析：圆 c：(x1)2y24 的圆心为 c(1，0)，验证知点 p 在圆内，当acb 最小时，|ab|最短， 即 cp 和 ab 垂直， 因为 cp 的斜率 kcp320321 3， 所以直线 ab 的斜率为33，所以直线l的方程为y3233x32 ， 即x

11、3y30.此时|cp|2|131， 所以acp3，acb23.答案：x 3y30234在平面直角坐标系中，a，b 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 ab 为直径的圆 c 与直线 2xy40 相切，则圆 c 面积的最小值为_解析： 因为aob90， 所以点 o 在圆 c 上 设直线 2xy40 与圆 c 相切于点 d，则点 c 与点 o 间的距离等于它到直线 2xy40 的距离，所以点 c 在以 o 为焦点，以直线 2xy40 为准线的抛物线上，所以当且仅当 o，c，d 共线时，圆的直径最小为|od|.又|od|2004|545，所以圆 c 的最小半径为25，所以圆 c 面积的最小值为25

12、245.答案：455已知圆 c：x2y22x4y30.(1)若圆 c 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆 c 外一点 p(x1， y1)向该圆引一条切线， 切点为 m， o 为坐标原点， 且有|pm|po|，求|pm|的最小值解：(1)将圆 c 的方程配方得(x1)2(y2)22，当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为 ykx(k0)，由直线与圆相切得|k2|k21 2，解得 k2 6，所以切线方程为 y(2 6)x 或 y(2 6)x.当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为 xya0，由直线与圆相切得|12a|2 2，解得 a1 或 a5，所以切

13、线方程为 xy10 或 xy50.综上，所求的切线方程为 y(2 6)x 或 y(2 6)x 或 xy10 或 xy50.(2)由|pm|po|得(x11)2(y12)22x21y21，即 2x14y130，即点 p 在直线 l：2x4y30 上，所以|pm|min72242223 510.6.如图，已知圆 c 与 y 轴相切于点 t(0，2)，与 x 轴的正半轴交于两点 m，n(点 m 在点n 的左侧)，且|mn|3.(1)求圆 c 的方程；(2)过点 m 任作一直线与圆 o：x2y24 相交于 a，b 两点，连接 an，bn，求证：kankbn为定值解：(1)因为圆 c 与 y 轴相切于点 t(0，2)，可设圆心的坐标为(m，2)(m0)，则圆 c 的半径为 m，又|mn|3，所以 m24(32)2254，解得 m52，所以圆 c 的方程为(x52)2(y2)2254.(2)证明：由(1)知 m(1，0)，n(4，0)，当直线 ab 的斜率为 0 时，易知 kan