2022届高三数学一轮复习（原卷版）第21讲 函数不等式放缩（解析版）

1、第21讲 函数不等式放缩1已知函数 （）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（）当时，证明：【解析】（本题满分14分）解：（），是函数的极值点，即，所以（2分）于是函数，由，可得，因此，当时，；当时，所以，函数在上单调递减，在上单调递增 （6分）（）当时，对于任意，恒成立，又，恒成立，即，即2已知函数（）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（）当时，证明：【解析】解：（），是函数的极值点，（1），解得，定义域为，是的唯一零点，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增（）证明：当，时，又，取函数，当时，单调递减；当时，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1），而上式三个不等号不能

2、同时成立，故3已知函数（）设是函数的极值点，求的值并讨论的单调性；（）当时，证明：【解析】（）解：，由是函数的极值点得（1），即，（2分）于是，由知在上单调递增，且（1），是的唯一零点（4分）因此，当时，递减；时，递增，函数在上单调递减，在上单调递增（6分）（）证明：当，时，又，（8分）取函数，当时，单调递减；当时，单调递增，得函数在时取唯一的极小值即最小值为（1）（12分），而上式三个不等号不能同时成立，故（14分）4设，函数（1）求的单调区间；（2）证明：在上仅有一个零点；（3）若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行是坐标原点），证明：【解析】解：（1），在上为增函数（2）证

3、明：，即，即，且由（1）问知函数在上为增函数，在上有且只有一个零点（3）证明：，设点，则），在点处的切线与轴平行，即：，将代入得，要证，即证，需要证，即证，因此构造函数，则，由得当时，当时，的最小值为，即：，5已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：【解析】（1）解：因为，求导，当时，恒成立，此时在上单调递增；当，由于，所以恒成立，此时在上单调递增；当时，令，解得：因为当，、当，所以在上单调递增、在，上单调递减综上可知：当时在上单调递增，当时，在上单调递增、在，上单调递减；（2）证明：由（1）可知：当时在上单调递增、在，上单调递减，所以当时函数取最大值从而要证，即证，即证，即证令，则，问

4、题转化为证明：令，则，令可知，则当时，当时，所以在上单调递增、在上单调递减，即（2），即式成立，所以当时，成立6已知函数为自然对数的底数）（1）求函数的最小值；（2）若，证明：【解析】解：（1），令，得当时，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增当时，有最小值1（2）证明：由（1）知，对任意实数均有，即令，2，则，即，7已知函数为自然对数的底数）（1）求的最小值；（2）设不等式的解集为，且，求实数的取值范围；（3）设，证明：【解析】（）解：的导数令，解得；令，解得从而在内单调递减，在内单调递增所以，当时，取得最小值1（）解：因为不等式的解集为，且，所以对于任意，不等式恒成立由，得当时，上

5、述不等式显然成立，故只需考虑，的情况将变形为，令，则的导数，令，解得；令，解得从而在内单调递减，在内单调递增当时，取得最小值，实数的取值范围是（）证明：由（）得，对于任意，都有，即令，则，2，即，2，8已知函数，其中为实常数（1）若函数定义域内恒成立，求的取值范围；（2）证明：当时，；（3）求证：【解析】解：（1）由题意则即在，上单调递增，；（2）即证，设，在，上单调递减，；（3）利用，令，得：，累加得：，当时，；9已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）求证：【解析】解：（1）因为函数，其定义域为所以即当时，增区间为；当时，减区间为，增区间为，（2）当时，函数

6、增区间为，此时不满足在上恒成立；当时，函数减区间为，增区间为，要使在上恒成立，只需即可，即，令（a）则（a），解得，因此（a）在单调递增，在上单调递减，所以当时，（a）取最大值0，故在上恒成立，当且仅当时成立，即；（3）由（2）知，令时，令，则综上成立10已知函数，其中为不大于零的常数（1）讨论的单调性；（2）证明：，为自然对数的底数）【解析】解：（1），（1分）当时，即，即，在单调递增，在单调递减；（3分）当，即时，对恒成立，在上单调递减；（5分）当时，或，上单调递增，在和上单调递减；（7分）综上所述，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，在和上单调递减当时，在单调递增，在上单调递减；（8分）（2）由（1）知，当时，在上单调递减，当时，由得：，（10分），（14分）11已知函数，其中（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）求证：对任意的且，都有：（其中为自然对数的底数）【解析】解：（1）函数 的定义域为，当时，所以在上单调递增，当时，令，解得当时，所以，所以在上单调递减；当时，所以，所以在上单调递增综上，当时，函数在上单调递