2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5节 空间向量的运算及应用 教案

1、1第五节第五节空间向量的运算及应用空间向量的运算及应用最新考纲1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量及平面的法向量.5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系.6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理1空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的

2、直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数，使得 ab(2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxayb(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得 pxaybzc，其中，a，b，c叫做空间的一个基底3两个向量的数量积(1)非零向量 a，b 的数量积 ab|a|b|cosa，b 2(2)空间向量数量积的运算律：结合律：(a)

3、b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其应用设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，r)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|a21a22a23夹角a，b(a0，b0)cosa，ba1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b235.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线 l1，l2的方向向量分别为 n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线 l 的方向向量为 n， 平面的法向量为 mlnmn

4、m0lnmnm平面，的法向量分别为 n，mnmnmnmnm0常用结论1对空间任一点 o，若opxoayob(xy1)，则 p，a，b 三点共线2对空间任一点 o，若opxoayobzoc(xyz1)，则 p，a，b，c 四点共面3平面的法向量的确定：设 a，b 是平面内两不共线向量，n 为平面的法向量，则求法向量的方程组为na0，nb0.3一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)空间中任意两非零向量 a，b 共面()(2)若 a，b，c，d 是空间任意四点，则有abbccdda0.()(3)设a，b，c是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量()(4)两向量夹角的范围与两异

5、面直线所成角的范围相同()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1设 u(2，2，t)，v(6，4，4)分别是平面，的法向量若，则 t()a3b4c5d6c，则 uv262(4)4t0，t5.2.在平行六面体 abcda1b1c1d1中，m 为 a1c1与 b1d1的交点若aba，adb，aa1c，则下列向量中与bm相等的向量是()a12a12bcb.12a12bcc12a12bcd.12a12bcabmbb1b1maa112(adab)c12(ba)12a12bc.3已知 a(1，0，0)，b(0，1，0)，c(0，0，1)，则下列向量是平面 abc 法向量的是()a(1，1，1)b(1，

6、1，1)c.33，33，33d.33，33，33c设 n(x，y，z)为平面 abc 的法向量，则nab0，nac0，化简得xy0，xz0，xyz.故选 c.4已知 a(2，3，1)，b(4，2，x)，且 ab，则|b|_42 6ab，ab0，即86x0，x2.b(4，2，2)，|b| 16442 6.考点 1空间向量的线性运算用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来1.如图所示， 已知空间四边形 oabc， 其对角线为 ob，ac，m，n 分别为 oa，

7、bc 的中点，点 g 在线段 mn 上，且mg2gn，若ogxoayobzoc，则 xyz_56连接 on，设oaa，obb，occ，则mnonom12(oboc)12oa12b12c12a，ogommg12oa23mn12a2312b12c12a16a13b13c.又ogxoayobzoc，所以 x16，y13，z13，因此 xyz16131356.2.如图所示，在平行六面体 abcda1b1c1d1中，设aa1a，abb，adc，m，n，p 分别是 aa1，bc，c1d1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)ap；(2)a1n；(3)mpnc1.5解(1)因为 p 是 c1d1的

8、中点，所以apaa1a1d1d1paad12d1c1ac12abac12b.(2)因为 n 是 bc 的中点，所以a1na1aabbnab12bcab12adab12c.(3)因为 m 是 aa1的中点，所以mpmaap12a1aap12aac12b12a12bc，又nc1nccc112bcaa112adaa112ca，所以mpnc112a12bca12c32a12b32c.空间向量的线性运算类似于平面向量中的线性运算考点 2共线(共面)向量定理的应用证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(p，a，b)共线空间四点(m，p，a，b)共面papb且同过点 pmpxmaymb对空间任一点 o，o

9、poatab对空间任一点 o，opomxmaymb对空间任一点 o，opxoa(1对空间任一点 o，opxomyoa(16x)obxy)ob如图，已知 e，f，g，h 分别为空间四边形 abcd的边 ab，bc，cd，da 的中点(1)求证：e，f，g，h 四点共面；(2)求证：bd平面 efgh.证明(1)连接 bg，eg，则egebbgeb12bcbdebbfehefeh.由共面向量定理的推论知 e，f，g，h 四点共面(2)因为ehahae12ad12ab12(adab)12bd，所以 ehbd.又 eh平面 efgh，bd平面 efgh，所以 bd平面 efgh.(1)本例(2)在证明

10、中运用了向量共线定理及线面平行的判定定理(2)三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明1.已知 a(1，0，2)，b(6，21，2)，若 ab，则与的值可以是()a2，12b13，12c3，2d2，2aab，设 bxa，7x（1）6，210，2x2，解得12，2，或12，3.故选 a.2已知 a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若 a，b，c 三向量共面，则实数等于_657a 与 b 不共线，故存在实数 x，y 使得 cxayb，2xy7，x4y5，3x2y，解得x337，y177，657.故填657.考点 3空间向量数量积的

11、应用(1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算(2)空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题a0，b0，abab0.|a| a2.cosa，bab|a|b|.如图所示，四棱柱 abcda1b1c1d1中，底面为平行四边形，以顶点 a 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60.(1)求 ac1的长；(2)求证：ac1bd；(3)求 bd1与 ac 夹角的余弦值解(1)记aba，adb，aa1c，8则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60，abbcca12.|ac1|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112121212

12、6，|ac1| 6，即 ac1的长为 6.(2)证明：ac1abc，bdba，ac1bd(abc)(ba)ab|b|2bc|a|2abacbcac|b|c|cos 60|a|c|cos 600.ac1bd，ac1bd.(3)bd1bca，acab，|bd1| 2，|ac| 3，bd1ac(bca)(ab)b2a2acbc1.cosbd1， acbd1ac|bd1|ac|66.ac 与 bd1夹角的余弦值为66.对于不方便建立空间直角坐标系的题目， 常常借助基向量及数量积的定义求解；倘若建系方便，则通过坐标法求解教师备选例题如图所示，已知空间四边形 abcd 的每条边和对角线长都等于 1，点 e

13、，f，g 分别是 ab，ad，cd 的中点，计算：(1)efba；(2)egbd.9解设aba，acb，adc.则|a|b|c|1， a，bb，cc，a60，(1)ef12bd12c12a，baa，efba12c12a(a)12a212ac14，(2)egbd(eaaddg)(adab)12abadagad(adab)12ab12ac12ad(adab)12a12b12c(ca)12(111211121111121112)12.如图，已知直三棱柱 abca1b1c1，在底面abc中，cacb1，bca90，棱 aa12，m，n 分别是a1b1，a1a 的中点(1)求bn的模；(2)求 cosb

14、a1， cb1的值；(3)求证：a1bc1m.解(1)如图，以点 c 作为坐标原点 o，ca，cb，cc1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系由题意得 b(0，1，0)，n(1，0，1)，所以|bn| （10）2（01）2（10）2 3.(2)由题意得 a1(1，0，2)，b(0，1，0)，c(0，0，0)，b1(0，1，2)，10所以ba1(1，1，2)，cb1(0，1，2)，ba1cb13，|ba1| 6，|cb1| 5，所以 cosba1， cb1ba1cb1|ba1|cb1|3010.(3)证明：由题意得 c1(0，0，2)，m12，12，2，a1b(1，1，2)

15、，c1m12，12，0，所以a1bc1m121200，所以a1bc1m，即 a1bc1m.考点 4利用向量证明平行与垂直1.利用空间向量证明平行的方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； 证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题2.利用空间向量证明垂直的方法线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示如图所示，在四棱

16、锥 pabcd 中，pc平面abcd，pc2，在四边形 abcd 中，bc90，ab114，cd1，点 m 在 pb 上，pb4pm，pb 与平面 abcd 成 30角，求证：(1)cm平面 pad；(2)平面 pab平面 pad.解(1)证明：由题意知，cb，cd，cp 两两垂直，以 c为坐标原点，cb 所在直线为 x 轴，cd 所在直线为 y 轴，cp所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 cxyz.pc平面 abcd，pbc 为 pb 与平面 abcd 所成的角，pbc30.pc2，bc2 3，pb4，d(0，1，0)，b(2 3，0，0)，a(2 3，4，0)，p(0，0，2)

17、，m32，0，32 ，dp(0，1，2)，da(2 3，3，0)，cm32，0，32 .设 n(x，y，z)为平面 pad 的一个法向量，由dpn0，dan0，即y2z0，2 3x3y0，令 y2，得 n( 3，2，1)ncm 332201320，ncm.又 cm平面 pad，cm平面 pad.(2)法一：由(1)知ba(0，4，0)，pb(2 3，0，2)，设平面 pab 的一个法向量为 m(x0，y0，z0)，由bam0，pbm0，即4y00，2 3x02z00，令 x01，得 m(1，0， 3)又平面 pad 的一个法向量 n( 3，2，1)，12mn1( 3)02 310，平面 pab

18、平面 pad.法二：取 ap 的中点 e，连接 be，则 e( 3，2，1)，be( 3，2，1)pbab，bepa.又beda( 3，2，1)(2 3，3，0)0，beda.beda.又 padaa，be平面 pad.又be平面 pab，平面 pab平面 pad.点 m 的求解是本例的难点，求解的方式有两种：一是在平面 bcp中借助直角三角形中的边角关系求解，二是借助向量共线定理利用pb4 pm求解如图所示，在长方体 abcd a1b1c1d1中，aa1ad1，e 为 cd 中点(1)求证：b1ead1；(2)在棱 aa1上是否存在一点 p， 使得 dp平面 b1ae？若存在， 求 ap 的长；若不存在，说明理由解以 a 为原点， ab， ad，aa1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系设aba.(1)证明：a(0，0，0)，d(0，1，0)，d1(0，1，1)，ea2，1，0，b1(a，0，1)，13故ad1(0，1，1)，b1ea2，