2022届高三数学一轮复习（原卷版）第05讲函数的奇偶性与周期性（讲）解析版

1、第05讲 函数的奇偶性与周期性【学科素养】数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象【课标解读】 1.抽象函数的奇偶性与周期性；2.利用奇偶性与周期性求参数取值范围；3.函数性质的综合应用问题.【备考策略】1.判断函数的奇偶性与周期性；2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查【核心知识】知识点一 函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原

2、点对称知识点二 函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xt)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称t为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【特别提醒】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内

3、任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则t2a(a>0).(2)若f(xa)，则t2a(a>0).(3)若f(xa)，则t2a(a>0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若对于r上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(3)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.【高频考点】高频考点一 函数奇偶性的判定例1【2020·全国卷】设函数，则f(x)a是偶函数，且在单调递增b是奇函数，且在单调递减c是偶函

4、数，且在单调递增d是奇函数，且在单调递减【答案】d【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除ac；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除b；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，d正确。【方法技巧】判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称若对称，再化简解析式后验证f(x)±f(x)或其等价形式f(x)±f(x)0是否成立(2)图象法：f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。(3)性质法：设

5、f(x)，g(x)的定义域分别是d1，d2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇×奇偶，偶偶偶，偶×偶偶，奇×偶奇【举一反三】(2021·湖北省丹江口市一中模拟)设f(x)exex，g(x)exex，f(x)，g(x)的定义域均为r，下列结论错误的是()a|g(x)|是偶函数 bf(x)g(x)是奇函数cf(x)|g(x)|是偶函数 df(x)g(x)是奇函数【答案】d【解析】f(x)exexf(x)，f(x)为偶函数g(x)exexg(x)，g(x)为奇函数|g(x)|g(x)|g(x)|，|g(x)|为偶函数，a正确；f(x)g(x)f(x)g(x)

6、f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，b正确；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，c正确；f(x)g(x)2ex，f(x)g(x)2ex(f(x)g(x)，且f(x)g(x)2exf(x)g(x)，所以f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数，d错误，故选d.【变式探究】【2020年高考浙江】函数y=xcos x+sin x在区间，上的图象可能是【答案】a【解析】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项cd错误；且时，据此可知选项b错误，故选a。高频考点二 函数奇偶性的应用例2【2020·江苏卷】已知

7、y=f(x)是奇函数，当x0时，则的值是 【答案】4【解析】，因为为奇函数，所以。【方法技巧】与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数f(x)f(x)，f(x)为偶函数f(x)f(x)，列式求解，也可利用特殊值法求解对于在x0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)0求解【举一反三】(2019·全国卷)

8、设f (x)为奇函数，且当x0时，f (x)ex1，则当x<0时，f (x)()aex1 bex1 cex1 dex1【答案】d【解析】当x<0时，x>0.因为当x0时，f (x)ex1，所以 f (x)ex1. 又因为 f (x)为奇函数，所以f (x)f (x)ex1.【变式探究】(2019·全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(ln 2)8，则a_.【答案】3【解析】法一：由x0可得x0，由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，x0时，f(x)f(x)ea(x)eax，则f(ln 2)ealn 28，aln 2ln 83ln 2，a3

9、.法二：由f(x)是奇函数可知f(x)f(x)，f(ln 2)f(e)8，aln ln 83ln 2，a3.高频考点三 函数的周期性例3. (2018·全国卷)已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)()a.50 b.0 c.2 d.50【答案】c【解析】方法一：f(x)在r上是奇函数，且f(1x)f(1x).f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x).因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0令x2，得f(3)f(1)f(1)2

10、，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(50)12×0f(1)f(2)2.方法二：取一个符合题意的函数f(x)2sin，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nn*)是以4为周期的周期数列.故f(1)f(2)f(3)f(50)12×f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)12×20(2)0202.【方法技巧】(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期(2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直

11、线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性【变式探究】(2021·广东省韶关市一中模拟)已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，若f (1)2，则f (2 021)()a2 b0 c2 d4【答案】c【解析】因为函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f (x)为奇函数，所以f (2 021)f (505×41)f (1)f (1)2，故选c。高频考点四 函数性质的综合应用例4. (2021·河北模拟)定义在r上的偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，且在1,0上单调递减设af (2.8)，bf (1.6)，cf (0.5)，则

12、a，b，c的大小关系是()aa>b>cbc>a>bcb>c>ada>c>b【答案】d【解析】因为偶函数f (x)满足f (x2)f (x)，所以函数f (x)的周期为2.所以af (2.8)f (0.8)，bf (1.6)f (0.4)f (0.4)，c f (0.5)f (0.5)因为0.8<0.5<0.4，且函数f (x)在1,0上单调递减，所以a>c>b.故选d【举一反三】(2021·海南省三亚市一中模拟)定义在r上的偶函数f (x)满足f (x3)f (x)若f (2)>1，f (7)a，则实数a的

13、取值范围为()a(，3)b(3，)c(，1)d(1，)【答案】d【解析】因为f (x3)f (x)，所以f (x)是定义在r上的以3为周期的函数，所以f (7)f (79)f (2)又因为函数f (x)是偶函数，所以f (2)f (2)，所以f (7)f (2)>1，所以a>1，即a(1，)，故选d。【方法技巧】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解。（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。【变式探究】(2021·陕西省延安中学模拟)在r上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)若f(x)在区间1，2上是减函数，则f(x)()a在区间