高考数学第12炼 复合函数零点问题

1、ëûëûëûëûëûëûëûëûëû第 12 炼 复合函数零点问题一、基础知识：1 、复合函数定义：设y = f (t)，t=g(x)，且函数g (x)的值域为f (t)定义域的子集，那么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为y = f ég(x)ù2、复合函数函数值计算的步骤：求y =g éf (x)ù函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如

2、：已知f(x)=2x, g(x)=x2-x ，计算 g éf(2)ù解：f (2)=22=4 g éf (2)ù=g(4)=123、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x的值。例如：已知f (x)=2x，g (x)=x2-2x，若g éf (x)ù=0，x求解：令t = f (x)，则g(t)=0Þt2-2t =0 解得 t =0, t =2当当t =0 Þ f (x)=0Þ2x =0 t =2 Þ f (x)=2Þ2x =2，则

3、，则x ÎÆx =1综上所述：x =1由上例可得，要想求出g éf (x)ù=0的根，则需要先将f (x)视为整体，先求出f (x)的值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设f(x)的定义域为D ，若存在 x ÎD ，使得 f0(x0)=0 ，则称 x =x0为f (x)的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程g éf (x)ù=0根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f (x)的方程，观察有几个f (x)的值使得等式成立；第二层是结合着第

4、一层f (x)的值求出每一个f (x)被几个x对应，将 x 的个数汇总后即为g éf (x)ù=0的根的个数6、求解复合函数y =g éf (x)ù零点问题的技巧：ëûï()ïî（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出f (x),g(x)的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于f (x)的方程g éf (x)ù=0中f (x)解的个数，再根据个数与f (x)的图像特点，分配每个函数值f (x)被几个x所对应，从而确 i定f (x)i的取值范围，进而决定参

5、数的范围复合函数：二、典型例题例 1 ： 设 定 义 域 为 R 的 函 数ìf x =í1x -1, x ¹1， 若 关 于 x 的 方 程1, x =1f 2 (x)+bf(x)+c=0由 3 个不同的解x , x , x 1 2 3，则x 2 +x 2 +x 2 = 1 2 3_思路：先作出f (x)的图像如图：观察可发现对于任意的 y ，满足 y = f (x)的x的个数0 0分别为 2 个（y >0, y ¹1 0 0）和 3 个（y =10），已知有 3 个解，从而可得f (x)=1必为f 2 (x)+bf(x)+c=0的根，而另一根为

6、1或者是负数。所以f (x)=1 i，可解得：x =0, x =1, x =2 1 2 3答案：5，所以x 2 +x 2 +x 2 =5 1 2 3例 2：关于 x 的方程 (x2-1)2-3 x2-1 +2 =0的不相同实根的个数是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 8思路：可将x2-1视为一个整体，即t (x)=x2-1，则方程变为t2-3t +2 =0可解得：t =1或t =2，则只需作出t (x)=x2-1的图像，然后统计与t =1与t =2的交点总数即可，共有 5 个答案：C例 3 ： 已 知 函 数1 1f ( x) =|x + | -| x - |x x， 关 于 x 的

7、方 程f 2 ( x) + a f ( x) + b= 0（a , b Î R）恰有 6 个不同实数解，则 a 的取值范围是 2ï()=í12ëû2ëû()2()思路：所解方程f 2 ( x ) +a f ( x) +b =0可视为f (x)+a f (x)+b=0，故考虑作出f (x)的图像：ìïïf x =íï2, x >1x2 x,0 <x £1 -2x , -1£x <0， 则f (x)的图像ï 2ï- , x

8、 <-1î x如 图 ， 由 图 像 可 知 ， 若 有 6 个 不 同 实 数 解 ， 则 必 有f (x)=2,0<f (x)<2，所以-a=f (x)+f(x)Î(2,4) 1 2 1 2，解得-4 <a <-2答案：-4 <a <-2例 4：已知定义在 R 上的奇函数，当 x >0 时， f(x)ì2x -1 -1,0 <x £2 ïï f (x-2),x>2 î2，则关于 x 的方程6 éf (x)ù-f(x)-1=0的实数根个数为（

9、）A.6B.7C.8D.9思路：已知方程6 éf (x)ù-f(x)-1=0可解，得f (x)= 11 1 , f x =-2 3，只需统计1 1y = , y =- 与 y = f x 2 3的交点个数即可。由奇函 数 可 先 做 出x >0的 图 像 ，x >2时 ，f(x)=12(f-x2)， 则x Î(2,4的 图 像 只需 将x Î(0,2的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有 7 个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例 5 ：

10、若函数f (x)=x3 +ax 2+bx +c有极值点x , x ，且 f (x)=x1 2 1 1，则关于 x 的方程3 (f(x)2+2af(x)+b=0的不同实根的个数是（ ）A3 B4 C5 D 6222ëû2ëû,2e,1e1,1 +e, ee思路：f'(x)=3x2+2ax +b由极值点可得：x , x12为3x2+2 ax +b =0的两根，观察到方程与3 (f(x)+2af (x)+b=0结构完全相同，所以 可 得3 (f(x)+2af(x)+b=0的 两 根 为f (x)=x,f (x)=x 1 1 22，其中f (x)=x1

11、1 1，若x <x1 2，可 判 断 出x1是 极 大 值 点 ，x2是 极 小 值 点 。 且f2(x)=x >x = f2 1(x1)，所以y = f1(x)与f(x)有两个交点，而f2(x)与f(x)有一个交点，共计 3 个；若x >x12，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点。且f2(x)=x2<x = f1(x )1，所以y = f1(x)与f(x)有两个交点，而f2(x)与f(x)有一个交点，共计 3 个。综上所述，共有 3 个交点 答案：A例 6：已知函数f (x)=x2-4 x +3 ，若方程 éf (x)ù+bf(x)+c=0恰有

12、七个不相同的实根，则实数 b 的取值范围是（ ）A.(-2,0)B.(-2,-1)C.(0,1)D.(0,2)思路：考虑通过图像变换作出f (x)的图像（如图） ，因为éf (x)ù+bf(x)+c=0最多只能解出 2 个f (x)，若要出七个根 ，则f (x)=1,f(x)Î(0,1) 1 2，所以-b = f (x)+f(x)Î(1,2) 1 2答案：B，解得：b Î(-2,-1)例 7：已知函数f (x)=xe x，若关于x的方程f2(x)-mf(x)+m-1=0恰有 4 个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）A.æ1 &

13、#246;ç ÷è ø(2,e)B.æ1 öç ÷è øC.æ 1 öç ÷è øD.æ1 öç ÷è øï()()()ç ÷ç ÷12ç ÷ç ÷12ï ç ÷ ïç ÷ì()ëû()2思路：

14、36;ïf x =íïïîx, x ³0e xx- , x <0 e x，分析f (x)的图像以便于作图，x ³0 时， f'(x)=(1-x)e-x，从而f (x)在(0,1)单调递增，在(1,+¥)单调递减，f (1)=1e，且当x ® +¥,y ® 0，所以x正半轴为水平渐近线；当x <0时，f ' (x)=(x-1)e-x，所以f (x)在(-¥,0)单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有 4 个不等实根，则关于f (x)的方程f 2 (x

15、)-mf(x)+m-1=0中，æ 1 ö æ1 öf x Î 0, , f x Î , +¥è e ø èe ø，从而将问题转化为根分布问题，设t = f (x)，则t2æ 1 ö æ1 ö-mt +m -1 =0 的两根 t Î 0, , t Î , +¥è e ø èe ø，设g (t)=t2-mt +m -1，则有ìg (0)>0 ìm -1 &

16、gt;0ï ïí æ1 ö Þ í1 1g <0 -m × +m -1 =0 î èe ø îe2 e，解得æ 1 öm Î 1,1+è e ø答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点 来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例 8：已知函数f x =íîax +1, x £0 log x , x >02，则下

17、列关于函数y = f (f(x)+1的零点个数判断正确的是（ ）A. 当B. 当a >0a >0时，有 4 个零点；当时，有 3 个零点；当a <0a <0时，有 1 个零点时，有 2 个零点C. 无论a为何值，均有 2 个零点D. 无论 a 为何值，均有 4 个零点思路：所求函数的零点，即方程f éf (x)ù=-1的解的个数，先作出f (x)的图像，直线y =ax +1为过定点(0,1)的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。当a >0时，图像如图所示，先拆外层可得f1(x)=-2 1 <0, f x =a 2，而f (x)1有两个

18、对应的x，f (x)2也ïç ÷3 22ëûëûç ÷有两个对应的 x ，共计 4 个；当 a <0 时， f (x)的图像如图所示，先拆外层可得f (x)=12，且f (x)=12只有一个满足的x，所以共一个零点。结合选项，可判断出 A 正确答案：A例 9 ： 已 知 函 数ìæ 1 ö2x - +1, x >0f (x)=x-3x +1, g (x)=íè2 øï-(x+3)+1,x£0 î， 则 方

19、 程g éf (x)ù-a=0（a为正实数）的实数根最多有_个思 路 ： 先 通 过 分 析f(x),g(x)的 性 质 以 便 于 作 图 ，f ' (x)=3x2-6x =3 x (x-2)， 从 而f (x)在(-¥,0),(2,+¥)单 增 ， 在(0,2)单 减 ， 且f (0)=1f(,)=2-，g (3x)为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取f (x)能对应 x 较多的情况，由f(x)图像可得，当f(x)Î(-3,1)时，每个f (x)可对应 3 个 x 。只需判断g éf (x)ù=a中，f (x)能在(-3,1)取得的值的个数即可，观察g (x)图像可得，当æ 5 öa Î 1,è 4 ø时，可以有 2 个f(x)Î(-3,1)，从而能够找到 6 个根，即最多的根的个数 答案：6 个ëûëûëûëû例 10：已知函数y = f (x)和