5：8阿迪拉_莫合太尔(08-3)题目关于含绝对值号方程的解法指导老师阿布拉热孜克

1、编号学士学位论文关于舍绝对值方程的解法学生姓名： 阿迪拉莫合太尔学 号： 20080101013系部：数学系专 业：数学与应用数学年级：2008-3班扌旨导教0帀： 阿布拉热孜克 完成口期：2013年4月20 口bachelor 's thesis摘要绝对值是屮学数学的一个重要内容，含有绝对值符号的方程在数学习题屮 山有一定的比例，这类方程的一般解法是依据绝对值的定义分类讨论去掉绝对 值符号，进而转化为不含绝对值符号的方程来求解，先求出绝对值方程屮的每一 个绝对值的零点，这些零点把方程中的未知数允许值范围分成若干个区间，然 后在每一个区间内讨论原绝对值方程的解。这样做解题过程冗长繁琐，

2、在含绝 对值方程中，一般解法是依据绝对值定义，分类讨论去掉绝对值符号，进而转 化为不含绝对值符号的一般问题，然后进行求解，木文屮介绍求解绝对值方程 的几种方法；bachelor 's thesis摘要1引言21. 绝对值概念及其性质21绝对值概念21.2含有绝对值性质31.3同解定理32. 含有绝对值号方程的解52利用绝对值的定义52.2利用绝对值的非负性62.3利用绝对值的几何意义72.4利用绝对值的性质82.5零点分段讨论法1()2.6利用绝对值方程同解定理1213总结参考文献14致谢15引言绝对值是数学屮活性较高的一个概念，当这一概念与其他概念结合就形成 许多新的问题，这个概念是

3、中学数学的重要内容之一，一般解法是依据绝对值 的定义，分类讨论去掉绝对值符号，进而转化为不含绝对值符号的一般问题， 然后进行求解但是任何事物都是具有两面性的，犹如外科手术成功的同时也伴 随着一些遗憾一样，分类讨论在许多情况下，又是一件过程冗长繁琐，不得已 而为z的举措因此对具体问题进行多角度，全方位的审视，进而联想，转化绕 开讨论，根据绝对值定义，将含绝对值代数式无法进行统一的代数运算，通常 的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的止负情况，脱去绝对值符号转 化为不含绝对值的代数式进行运算，即含有绝对值的方程的求解，常用分类讨 论法，进行讨论时要注意所划分的类别z间应该不重，不漏。1.绝对值

4、概念及其性质1.1绝对值概念绝对值符号“ii ”是1841年德国数学家外尔斯特拉斯(k. weierstrass, 18151897)首先应用的还指出复数的绝对值是它的模。在使用绝对值符号时，我们严格按照绝对值定义进行'一个正数的绝对值 是它木身，一个负数的绝对值是它的和反数，零的绝对值是零。”如果要把问中的绝对值符号去掉，按上述定义字母的a取值情况就需要进 行讨论。当。是止数时，s 时，a二a是止确的，因为。是正数，-g是负数, 而的相反就是当。是负数时，-。二？有人答为d,错了，因为。是负数,是正数，故ci =-a才对，同样ci = a也是错的，正确答案为aa | = < 0

5、-a（当a > 0时）,（当 a = 0 时），；（当 a < 0 时）.绝对值的几何意义:在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值;绝对值的代数意义非负数的绝对值是他本身，非正数的绝对值是它的相反数。互为相反的两个数的绝对值相等。绝对值方程:绝对值符号内含有未知数的方程，称之为含有绝对值的方程。12含有绝对值性质性质1：任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性;性质2：绝对值等于零的数只有一个，就是零；性质3：绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数或相等;性质4：互为相反数的两个数的绝对值相等。性质 5： ab = ah性质6：魚纟b bci +

6、 |b| = a + b<> a>0性质7：'ci -b = a-b <> ab <01.3同解定理定理1：如果于（兀）表示关于x的解析式，那么方程f（x） = a（a >0）与方程 /(x) = a 和 f(x) = -a 同解;证明：由绝对值定义知当/(%) > 0时|于(兀)| = /(x) = a当/«<0吋|/卜/=一° 所以f(x) = q和于=-a与f(x) = a同解;定理2：如果f和g(%)都是关于兀的解析式,那么方程.g (x) > 0g (x) > 0f(兀)=g(x)与和同解.

7、f(x) = gx) f (x) = _g(x)证明：设x = 6z是方程 的任一解，那么有|f(a)| = g(a),由绝对值的定义，fy严或y严/(a) = g(a)f (q) = g(a)可见，x = a是的解.反z,设x = 6z是的任一解，那么有g(a )no jf(a') = - g(a)jg(a )0»(a) = g(a)从而，我们得到|/(6z)| = (a).因此，x = a也是方程的解.所以，方程与同解.定理3 :设已知方程匕|兀+ /?| + |吋+ 0 + anx + d = p(x)可以改为方程mx-a + nx-a2 + - + tx-an = /

8、(兀) 如果也， an都是常实数'并且有ax<a2<v勺的关系。将方程未知数允许值范围分成n + 1个区间，则方程与” + 1个混合方程组:x<am x-ay +n x-a2ax<x<a2mx-ax+ nx-a2- + tx-an = f(x)kmx-ax+ n同解.上面各方程中，每个方程的解检查是不是本区间内：如果每个方程的解在木区间内则这个解就是原方程的一个根。 如果方程的解不在本区间内，则这个解原方程的增根。2.含有绝对值号方程的解2.1利用绝对值的定义根据实数绝对值的定义，可去掉绝对值符号.例1:解方程兀216=35解：由绝对值定义,得兀 2_6

9、= 3 或 x2-16 =-3即宀=19 或 / 二13得兀2 =兀3.4 =±v13所以方程的解为兀严v19,x2 = ->/19 , x3=v?3 , x4 = ->/i3例2：解方程卜2| +兀2 = 0解：方程可化为|x-2| = -(x-2)这时 问二-°的形式，可知兀-2<0故方程的解为x<2例 3：解方程|x-l|-l| = 02解：去掉第一重绝对值符号，得|x-l|-l = ±1bachelor s thesis移项，得卜-1| = 2或|x-l| = 0所以x-l = ±2或 1 = 0所以原方程的解为：xj =

10、 3 x2 = 1兀3=-12. 2利用绝对值的非负性例4：方程|x| + |y|-3 = 0的不同整数解(x9y)的个数多少？ 解:原方程可化为|兀| +卜| = 3,又x, y是整数,且0w卜|w3,0w|)，|w3 所以可分下列儿种情况：当兀=0吋,y = ±3 ；当兀=±2时,y = ±l；当兀=±3时，y = 0.当兀二±1时，y = ±2 ；所以，原方程的不同整数解(兀,刃的个数为12；例5：解方程卜+ 3| +卜-2y| = ().4解：因为 卜+ 3冷0, x-2y| 0,而 y + 3|+兀一 2y=0,因止匕 y

11、+ 3| = 0 jbl x 2y = 0 » 即 y + 3 = 011x 2y = 0 得 y = 3 ,y = -3 , x = 6.所以原方程的解为x = -6, y = -3例6：讨论方程|ry|+ x-y + l| = 0的图像? 6解：因为xy> 0 , |x-y + l| >0ffij|xy| + x-y +1| = 0 所以卜y| = 0或卜_y + l| = 0xy =0即.卜 _y + l| = 0修士拷像捡夂bachelor，s thesis所以ay(0,1)> x(-1,0) 0小 e x = 0 tv x = 1(-1,0)解得円叫尸0所

12、以原方程的图像为两个点(0,1)2.3利用绝对值的几何意义例 7：解方程 |x-3| + |x + 2| = 5.解：设a(x), b(3), c(-2),由绝对值的几何意义知x-3 = ab, |x + 2| = ac ,所以 ab + ac = |x 3| + 卜 + 2| = 5,又因为 fic = |3-(-2)| = 5所以 ab + ac = bc.c®)*0*费3) 3从数轴上看，点a(x)落在点c(-2)与点3(3)的内部(包括点c (-2)与点b(3)在 内)，即原方程的解为-3wa:w2.例8：已知卜+ 2| + |1-彳=9-卜-5|-|l + y|,求兀+y的

13、最大值与最小值。2解：已知等式可化为:|x + 2| + |l-x| + |y-5|+|y+l|=9曇士修隹桧夂bachelor 's thesis由绝对值几何意义知，当-2<x<l且-15y<5时，上式成立,故当兀=-2,=-1吋，x+y有最小值为-3；当兀=1,歹=5时,兀+y的最大值为6；2.4利用绝对值的性质例9 :方程x2 -1988|x| +1990 = 0的所冇根之和是多少？ 6解：按性质（2）,要去掉绝对值符号，则应分兀20, xwo讨论，进而 求出方程的所有根，在取和求值，运算量较大的.如果我们利用x2 = |x|2,把原 方程变形为卜-1988卜|

14、 + 1990 = 0,则原方程的四个根为两组，即1988 ± j（-1988）2-4x1x19901988 ±39441841988±1986x 一 一一一1988-1986x = , 2x1从而 x = 1987,2= ±1.即x12 =±1987 ,可见，这四个根互为相反数，所以其所有根z和必定为0.例0 :解方程x2-x = 6 2解:因为x2 = |x|2所以原方程可化为|x|2-|x|-6 = o因式分解得（|x|-3）（卜| + 2） = 0所以|x -3 = 0即x = 3 所以x = ±3 ；例11：方程|2x-l|

15、 + |x-2| = |x + l|的实数解多少？ 2解：由性质(4) 将原方程变形为2兀-1|+兀-2| = |(2兀-1) + (2-兀)|,它与不等式(2兀-1)(2-兀)20即(2兀一1)(兀 2)w0同解. 解此不等式得 丄w兀w2.2所以，原方程的解集为xel-,2_2 _例2 :解方程 |x2-3x-4| + |2x2+7x-15| = |x24-10x-11|. 5解：原方程可变形为-x2+3x + 4| + |2x2+7x-15| = |(-x2+3x + 4)4-(2x2+7x-15)|, 它与不等式(-x2 +3x + 4)(2%2 +7%-15)0 同解.上述不等式等价

16、于(x-4)(x + l)(2x-3)(x + 5)w0,3解得-50兀0-1或二2所以，原方程的解集是xl-5w_xw-l或xe/?.2 例 13:已知 xy - x - y = -1,求 x, y . 4解：由性质(1)已知方程可变形为 卜|卜|-卜|-卜| + 1 = 0 , 即(h-l)(|y|-l) = o.所以 |x|-l = 0 或 |y|-l = 0, 从而得 卜=1, y=l,即 兀=±1, y = ±l.由此知，当x = ±1时,y为一切实数，或y = ±l时，x为一切实数.所以兀=±1 , y = ±1.2. 5

17、零点分段讨论法用零点分段解绝对借方程人体上有以下三步先零值分段然后分段脱号，再解方程.例 14 :解方程 |2%-3| + |-3| = |4x-l|.1 3解：方程屮3个绝对值的零点为? 3.由定理2知，原方程与综合组1r|2x-3| + |x-3| = |4x-l|;< x < 3,v 2|2x-3| + |x-3| = |4x-l|;|2x -3| + |x-3| = |4x -1|;v3, |2x-3| + |x-3| = |4x-l|.解得x<4同解.x = -5;3）= （4x 1）x = 5f 13< x v 从得 4 2_（2x_3）_（x_3）= 4兀

18、_1_<3解得4%<2x = 1< x < 3从得p-解得（2x-3）-（x-3）= 4x-l3<x1 - 3 <- - 3-2 x从得3） + （兀_3） = 4x_l解得x>3x =-5无解.所以，原方程的解为召=-5，x2=l.修士拷性捡夂bachelor，s thesis例5 :解方程 l-2|l-2|l-2x| = -x. 72解：令 1 2x = 0,得兀斗令1一 2|l-2x| = 0,即 |l-2x| = |l-2x = ±p131 1 3得兀=丄或x = -.所以零点是2.444 2 4 当x<-时，从里到外依次脱去绝

19、对值符号原方程可化为41-22兀冷 /.|l-2x| = l-2x，并项，得2x =156 兀=;1710x =;17解得x =.17即解得=x ,2时，原方程可化为3-8% = -%,2时，原方程可化为5-8x = %,2原方程可化为7-8x =丄x,2l-2|-l + 4x| = -x,脱绝对值符号，得1-2（1-4兀）1 v “ w 兀 < 4丄 w x v 二2>3兀三一4综上，吋,解得解得斗=2二y15兀2 =617兀3 =10=y1714 x4 =17解方程x 叫 2分+ 1 =log 1 x227得原方程的解为log卜 1 + 2 +1 = 2 log! |2例16

20、:2解：原方程化为令log】卜+2 = 0,得x =4 ； 令所以|x|的零点是1, 4当0v卜|w1时,原方程化为logj |x|-l-2 + l = 21ogj |x|,即2 2跟卜| = 3所以|岷,x = ±| ; 当iv兀w4时，原方程化为log】兀+2+1 = -21og卜，即2 2log j |x = 1.所以 x = 2 9 x = ±2 ；2 当兀>4时，原方程化为log) x 2 +1 = 2log) x ,即2 2log, |x = 1.所以 x =(舍去).2 2综上、，得原方程的解为2. 6利用绝对值方程同解定理例17 :解方程x2-3% +

21、 2 =3x-x2-2. 6解:由定理3,原方程等价于下列综合组：3x-x2-2>0 x2 -3x + 2 =-3r%2"2"02和x* - 3% + 2 = 3x - %2 - 2由得疋_3兀+ 250即x2 - 3x + 2 = 0厂护罗，解得(x-2)(x-l) = 0由得x2 - 3% + 2 < 0x2 - 3% + 2 = x2 - 3% + 2故原方程的解为血1,2的任何实数例18 :解方程卜+ 1| = 32解：因为方程卜+ 1| = 3中兀+ 1| = 3与兀+ 1 = 3和兀+ 1 = 3同解(3 j_2)；1<%<2xx =1，x. = 2； x = 1，兀2 = 2-即|x + l| = 3的解为兀+ 1 =