缓和曲线和圆曲线的有关计算

1、 缓和曲线和圆曲线的计算与测设 一、缓和曲线的性质缓和曲线是直线与圆曲线间的一种过渡曲线。它与直线分界处半径为，与圆曲线相接处半径与圆曲线半径R 相等。缓和曲线上任一点的曲率半径与该点到曲线点的长度成反比，如图1： 或l=式中，C 是一个常数，称缓和曲线半径 变更率。当= 时，=R，所以=式中，为缓和曲线总长。l=是缓和曲线的必要条件，实用中能满足这一条件的曲线可以作为缓和曲线，如辐射螺旋线、三次抛物线等。我国缓和曲线均采用辐射螺旋线。二、缓和曲线方程式按照l=为必要条件导出的缓和曲线方程为：X=Y= （1）根据测设要求的精度,实际应用中可将高次项舍去,并顾及到=,则上式变为X=Y= （2）式

2、中,x、y为缓和曲线上任一点的直角坐标，坐标原点为直缓点（ZH）或缓直点（HZ）；通过该点的缓和曲线切线为x 轴，如图2：为缓和曲线上任一点P 到ZH（或HZ）的曲线长；为缓和曲线总长度。当= 时，x=x0,y=y0,代入式（2）得：X0=Y0= （3）式中，x0 、y0 为缓圆点（HY）或圆缓点（YH）的坐标。三、缓和曲线常数计算0、0、m、p、 x0、y0 等称为缓和曲线常数。其物理意义及几何关系由下图,图3可得知：0缓和曲线的切线角，即HY（或YH）点的切线与ZH（或HZ）点切线的交角；亦即圆曲线一端延长部分所对应的圆心角。0缓和曲线的总偏角；m切垂距，即ZH（或HZ）到由圆心O 向切线

3、所作垂线垂足的距离；p圆曲线内移量，为垂线长与圆曲线半径R 之差。常数计算公式如下：X0= Y0=0=0=m=p= （4）下面我们推证常数0、0 、m、p、x0、y0。（一） 求0设为缓和曲线上任一点的切线角；为该点的曲率半径；为该点至ZH 点的缓和曲线长。如图4 d=d/,将l= 代入上式，则d=/ =0l d=0l=当=，=0则 0= （5）（二）求0 由上图可得知，tan0=0很小，故0tan0= 将（3）式代入上式，并略去二次项，0= （6）(三)、圆曲线内移值 m 如图3 m= 运用级数展开，略去高次项 =R（） = （7）(四) 切垂距p计算 如图3 p=(R+)×R =

4、R（1） 运用级数展开，略去高次项 =（1（1） = = （8）（五）求x0、y0任取一微小变量 dl, 则所对应的x、y增量为，dx、dy, 其对应的关系为 dx= dl dy=dl (9) =1+ = = (10)将（10）代入（9）式进行积分，并略去高次项得：X=Y= 当l=l0 时X0= Y0=四、曲线测设（一）曲线综合要素计算由图3可知，曲线综合要素计算如下：切线长 T=m+(R+p).tan曲线长 L=2+=+外矢距 E0=（R+P）R切曲差 q=2TL （11）(二)缓和曲线的偏角计算如图5，缓和曲线上任一点i 的偏角为：sin （很小） y= =又=故 b=2 （12）式中，为

5、缓和曲线上任一点的正偏角，b为该点的反偏角。(三)切线支距法测设曲线坐标计算公式以ZH（或HZ）为坐标原点，以切线为x轴，垂直切线方向为y轴。1、 缓和曲线部分X=Y=b=2弦长 l弦=说明： l缓和曲线上任意一点至ZH或HZ点的距离l0缓和曲线长度（单侧）R圆曲线半径缓和曲线上任一点的正偏角b缓和曲线上任一点的反偏角2、 圆曲线部分 Xi=Rsini+m Yi=R（1cosi）+p i=+0Xi、Yi两缓和曲线间圆曲线上某点的支距（原点为ZH或HZ）L1从ZH或HZ点到圆曲线上某点的弧长l0缓和曲线长度（单侧）i圆曲线上某点的半径与圆心向切线所作垂线间的夹角。3、当为圆曲线而无缓和曲线时X1

6、=Rsin2Y1=R（1cos2）=l弦=2Rsin （弦长）X1、Y1圆曲线上某点的支距（原点为ZY或YZ）l从ZY或YZ点到圆曲线上某点的弧长圆曲线上某点与起点的弦切角。R圆曲线半径支距坐标与整体坐标系的转换A、 当坐标原点与ZH（ZY）或HZ（YZ）点重合时，根据支距坐标与坐标系之间图形的关系，分为四种情况：P（X，Y）=P(X,Y)： P（X，Y）=P(-X,Y)：P（X，Y）=P(-X,-Y)：P（X，Y）=P(X,-Y)缓和曲线加圆曲线切线及法线方位角的计算设自ZH （HZ）（图中为O 点） 指向JD的起始方位角为，(见附图)1、 当所设定的曲线为顺时针偏转时：缓和曲线上任意点的切

7、线方位角为： 切线=+3（方向指向曲线前进方向）=+缓和曲线上任意点的法线方位角为：法线=+390° （方向指向曲线外侧方向）圆曲线上任意点的切线方位角为：切线=+30+2（方向指向曲线前进方向）=+30+圆曲线上任意点的法线方位角为：法线=+30+290° （方向指向曲线外侧方向）2、 当所设定的曲线为逆时针偏转时：缓和曲线上任意点的切线方位角为： 切线=3（方向指向曲线前进方向）=缓和曲线上任意点的法线方位角为：法线=390° （方向指向曲线外侧方向）圆曲线上任意点的切线方位角为：切线=（30+2）（方向指向曲线前进方向）=（30+）圆曲线上任意点的法线方位角

8、为：法线=（30+2）90° （方向指向曲线外侧方向）以上式中= 0= 说明： l缓和曲线上任意一点至ZH或HZ点的距离l0缓和曲线长度（单侧）R圆曲线半径ZH或HZ处缓和曲线上任意点弦切角0ZH或HZ处缓和曲线上HY或YH点弦切角=说明: l从ZY或YZ点到圆曲线上某点的弧长圆曲线上某点与起点的弦切角。R圆曲线半径坐标计算方位示意图曲线交点转向角的检核 转向角 =2（0+0+0）=60+20 =6×+2×=+ =l0缓和曲线长度（单侧）lR圆曲线长度R圆曲线半径算例 长沙疏解线特大桥JD2=74°3635 圆曲线半径 R=350m l0=70m， lR

9、=385.76m =74°3632.1=3 误差在允许范围之内。一般情况，设计单位都会给出曲线要素，为以防万一，我们需要对设计资料进行必要的复核。坐标计算X=X0+r cosY=Y0+r sin其中 X0 、Y0 坐标起始点，r 为增量距离 为坐标增量的方位角，在计算时注意方位角的方向，方向是指向计算点的。竖曲线的设计与计算1、 坡长 s=l2l1 l1 、l2 相邻两变坡点的桩号（l2 l1），单位以m计；2、坡度 = h1 、h2相邻两变坡点的高程，单位以m计；3、竖曲线的半径选择 A、切线长控制 =B、外距控制 =C、曲线长控制 =其中：R竖曲线半径； T竖曲线切线长; L竖曲

10、线长度; E竖曲线外距； 竖曲线处前后坡度差。4、竖曲线的设计与计算坡度差：=曲线长： L=R切线长：T=外距：E=起点桩号=变坡点桩号T终点桩号=变坡点桩号+T、变坡点前后两坡段的坡度；R竖曲线半径；5、设计标高计算直坡段上：h= h1+（ll1）×或h= h2（l2l）×当中桩在竖曲线上时，按该式计算的高程叫切线高程竖曲线上：设计高程=切线高程±纵距其中纵距= 或=L待求点桩号；l1、 h1前一变坡点桩号和高程；l2、 h2竖曲线对应变坡点桩号和高程；、坡段的坡度；X待求点与竖曲线起点的桩号差；h设计标高；“±”表示竖曲线类型的符号，凹形曲线取“+”

11、，凸形曲线取“”； 2007年7月25日星期三 作者：张华成 （修改于太原）曲线桥梁墩台中线测设一、 墩台中线之测设曲线桥梁的线路虽为曲线，但各孔梁仍是直的，将各孔梁联接起来即成折线，各墩中心即是折线的交点。各墩之横向中线不垂直于梁而与梁的中心线成某一偏角。因此，曲线桥梁的墩台放样必须采用导线测设法或完全依靠测网按交会法定位。在布置测网前，必须检查设计文件是否已给定墩台定位的数据。如给定时，须重新校核，根据有关规定及有关计算方法求出各墩台中心间的直线距离L（交点距）、偏距值（E）、梁缝（F）、偏角（）。根据这些数据值绘成以各个墩中心为顶点的折线图，据以在现场定位。当设计文件未给定墩台定位数据时

12、，应以书面报告要求设计单位出图确定。二、 曲线桥梁计算公式墩中心交点距（L）的计算公式 交点距 L=l+2F 梁 缝 F=a+ 式中 a规定的最小梁间空隙之半；当梁跨度为2.416m时，a=3cm；当梁跨度20m时，a=5cm；相邻两梁中线之交角（偏角）；（以分为单位）6875.5弧度化为分之系数的2倍。偏距E所在曲线E 值附 注切线布置平分中矢布置t缓和曲线起点至计算点之长度Ls缓和曲线之长度R圆曲线之半径圆曲线缓和曲线 交角（转向角）（圆曲线部分）等跨时：= （分）非等跨时：=+ ×3437.75 +×3437.75偏角的计算，根据有关公式。例如，当梁位于圆曲线上时，按

13、图示及公式计算。交角 对于缓和曲线部分计算，相对比较复杂。可以借助CAD 模拟和理论计算相结合。简要步骤如下：a、建立坐标系统；b、算出墩台中心的线路中心坐标；c、算出墩台中心的法线方位角；d、计算墩台中心线坐标；e、根据墩台中心线连线方位角差值可计算出交角。此方法比较精确。导线坐标计算一、 闭合导线1、角度闭合差的计算理=180°（n2）f=实 理2、 角度闭合差的调整角度闭合差与限差相比较若ff限 ，即可进行闭合差的平差。在角度平差过程中，采用平均分配法把闭合差平均分配到各个右角上，并遵守短边的夹角多分配，长边的夹角少分配的原则。3、 坐标方位角的计算当所测的水平角为右角时，2-3=1-2+180°右当所测的水平角为左角时，2-3=1-2180°+左若计算的方位角为负，则应加上360°；若计算的方位角大于360°，则应减去360°。二、 附合导线角度闭合差的调整f=始+左n.180°