刚性基底上弹性薄层与光滑固体的接触行为研究

1、contact behavior analysis for elastic thin layer on rigid substrate when stamps5 profile is smoothbyzhu kaib.e. (changsha university of science and technology) 2011a thesis submitted in partial satisfaction of the requirementsfor the degree ofmaster of engineeringinsolid mechanicsin thegraduate scho

2、olofhunan universitysupervisorprofessor dai hongliangmay, 2015湖南大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本论文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。作者签名：日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校冇关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版

3、，允许论文被 查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编 本学位论文。本学位论文属于1、保密口，在年解密后适用本授权书。2、不保密巳。（请在以上相应方框内打“曲）作者签名：日期：年 月日导师签名：日期：年 月日弹性薄层的接触问题属于接触力学中的特殊领域，它横跨土木、机械、生物 等多个学科，具有重要的工程应用行景。由于所用材料的优越性能，薄层常作为 其他机械构件的表面覆盖层，以此满足构件在各种接触问题中对于强度、耐用性 能等方而的要求。而有关弹性薄层的各种接触模型常用来研究路而系统、人体软 骨等重要结构，为相

4、关问题的分析提供重要的技术支持。木论文以弹性薄层作为研究对象，分析在各种接触问题中薄层的受力和变形 情况。首先，以边界条件为出发点，采用拟定位移分段函数的方法，求得薄层在 无黏着法向接触问题中的应力、应变分量，并讨论了应力分布情况及薄层塑性屈 服的趋势。其次，以papkovich-neuber解、调和势函数为基础，利用fourier积 分变换，以边界条件为限定，求得薄层关于接触应力的奇异积分方程，再采用 guass-chebyshev积分法及guass-chebyshev离散法对奇界积分方程进行离散，最 后利用迭代法求得整个问题的应力、接触区域。通过这种数值方法，求解了刚性 基底上弹性薄层与圆

5、柱体的滑动接触问题；刚性基底上弹性薄层与圆柱体的滚动 接触问题；受圆柱体滚压的弹性薄层与刚性基底的退让接触问题；并分析了薄层 的泊松比、层厚及摩擦系数对应力、变形的影响，得到了很多重要的结论。本论文的研究工作将丰富和发展弹性薄层的接触力学，促进接触力学与其他 学科的结合。作为有关弹性薄层接触问题的综合性论文，能为机械构件保护层的 设计提供了一定的理论依据，并具有一定的工程应用价值。尖键词：弹性薄层；刚性基底；无黏着法向接触；滑动接触；滚动接触；退让接 触abstractthe contact problems involving an elastic thin layer which rela

6、ted to multiple subjects have become special areas in contact mechanics because of their applications to a great variety of engineering structures of practical interest. for the materials possessing mechanical properties, the layer is used as protective cover to impart superior strength and durabili

7、ty to the mechanical component. the contact models of the elastic thin layer are also particularly helpful for the research of some important structures, such as pavements in roads and the human cartilage.in this paper, as the research of elastic thin layer, the stress and deformation of the layer a

8、re considered in different contact problems. first, based on the boundary conditions, assuming displacement components of the layer in the form of piecewise function, the stress and strain components of the layer are derived for the normal contact problem without adhesion. the contact pressure and t

9、he trend of plastic yielding are discussed. then, with the papkovichneuber solution and the harmonic potential functions as the starting point, the singular integral equations for the contact pressure are obtained by using the fourier transform technique, utilizing the guass- chebyshev integration m

10、ethod and discrete method to discretize the singular integral equations, the contact pressure and radius are derived by the iterative method for the whole problem. through the above method, solved the sliding contact problem between the cylinder and the elastic thin layer, researched the rolling con

11、tact problem for cylinder and elastic thin layer bonded to rigid substrate, analyzed the receding contact problem between an elastic thin layer and the rigid foundation. in the numerical examples, the effects of poissoivs ratio, thickness of layer and friction factor on the contact pressure and defo

12、rmation of the layer are discussedthis paper will enrich and develop the contact mechanics for elastic thin layer, promotes the combination of contact mechanics with other disciplines, supplies the theoretical basis for design of the coated engineering assembly, and is important to engineering appli

13、cations.key words : elastic thin layer; rigid substrate; normal contact without adhesion; sliding contact; rolling contact; receding contact目录学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i摘要iiabstractill符号注释表vi第1章绪论11课题背景及选题意义11.1.1接触和摩擦现彖及其应用11.1.2接触力学简介及发展历程21.2弹性薄层的接触力学研究意义和研究现状41.2.1弹性薄层接触问题的研究意义41.2.2弹性薄层接触问题简介61.2.3弹

14、性薄层接触问题的研究现状71.3本论文的研究内容101.4本论文的主要创新工作12第2章刚性基底上固结弹性薄层与圆球体的无黏着法向接触分析132.1无黏着法向接触模型及控制方程132.1.1模型的建立及边界条件132.1.2控制方程142.2问题的基本方程及解析求解152.3分析与讨论172.4本章小结22第3章刚性基底上固结弹性薄层与无限长圆柱体的滑动接触分析243.1滑动接触模型及应力、应变表达式243.1.1模型的建立及边界条件243.1.2应力、应变表达式253.2问题的奇异积分方程283.3奇异积分方程的数值求解303.4分析与讨论323.5本章小结35第4章刚性基底上固结弹性薄层与

15、无限长圆柱体的滚动接触分析374滚动接触模型及应力、应变表达式374.1.1模型的建立及边界条件374.1.2应力、应变表达式384.2问题的对耦奇异积分方程组394.3对耦奇异积分方程组的数值求解434.4分析与讨论484.5本章小结52第5章受无限长圆柱体滚压的弹性薄层与刚性基底的退让接触分析545.1退让接触模型及应力、应变表达式545.1.1模型的剪力及边界条件545.1.2弹性薄层应力分量、应变分量表达式565.2问题的奇异积分方程组565.2.1只考虑压力作用下的奇异积分方程组565.2.2只考虑切力作用下的奇异积分方程组595.3对奇异积分方程组的数值求解615.4分析与讨论64

16、5.5本章小结68总结与展望70全文总结70工作展望70参考文献72附录a攻读学位期间已发表和被接受的学术论文79致谢80符号注释表(x,j,z),(r,o ,z)笛卡尔坐标系和柱坐标系h, d薄层层厚和最大压入深度a, r接触半径和压头半径p，q正压力和切力be黏着区域左半径和右半径应力ji分量%应变分量傅里f,f*叶变换和傅里叶逆变换柱ur9u ,uz坐标中位移分量笛卡尔坐标中位移分量调和势函wj（3）,巾（"）数n摩擦系数g剪切模量e杨氏模量v泊松比sig"(己)符号函数fj傅里叶正弦变换和余弦变换第%)类 gauss-chebyshev 多项式u®第二类

17、gauss-chebyshev 多项式，9（x）接触区域压应力及切应力相对匕速度8打滑比退让接触半b径平均速度拉梅v常数正割函数和余p割函数sinh , cosh位移分量以和竹的傅里叶形式u ,v高斯节点应力5 '加 2函数未知系数应力a,6比值第1章绪论1.1课题背景及选题意义1.1.1接触和摩擦现象及其应用接触和摩擦现象无处不在，存在和影响着人类社会生活中的方方面面。从典 型的轮轨接触到机械连接，从地壳板块的摩擦接触到基桩与土层的摩擦接触，从 金属加工到金属成型，从超声波电焊到电接触，从衬套到球轴承，从隐形眼镜到 骨关节，接触和摩擦现象几乎遍布了摩擦的全部领域，横跨机械、车辆、土木

18、、 牛物、航空等重要的学科领域，将各领域有机而紧密地联系起来。而在日常牛活 中更不难发现各种有趣的接触现象，图1.1为在使用智能手机过程中，手指与触 屏发生的滑动接触。图12为生活中常见的壁虎，壁虎在运动过程中足趾与墙壁 的接触为黏着接触，这种接触为壁虎提供足够的附着力便于其在自然界中飞檐走 壁。同吋，随着科技的进步，对接触和摩擦现象的注意及研究更扩展到了微粒子 和纳米技术等高端领域，而这两者的概念所包含的内容丰富多样，已远远超出了 人们对它们的第一印象，接触和摩擦深深地影响着我们的日常牛活和科技进步。图1.1手指与手机面板的滑动接触人们对于接触和摩擦现象的兴趣可以追溯到几千年前，而摩擦的引起

19、都因先 有接触的发生。但事实上，摩擦现象更早地引起人们的注意和认识，如史前人类 的钻木取火。列奥纳多达芬奇于15世纪就将摩擦学引入了理论研究的途径，而 纯接触力学至19世纪才正式诞生，两学科和互促进发展，彼此相辅相成。随着人 类社会的发展，接触力学和摩擦物理作为基础性学科而言，在生物、机械、车辆、 土木等工程领域发挥着越来越重要的作用，密封材料的无缝接触能防止材料的流失，机械构件的接触能够传递机械力，轮胎与地面的摩擦接触为车辆的前进提供图1.2壁虎足趾与墙壁的黏着接触驱动力，导电导热都因接触而实现。接触力学和摩擦物理为结构设计及节能设计 提供最有力的技术支撑，从马达蛋白、刹车系统、密封垫片到地

20、震动力学，接触力学和摩擦物理都在各种新型产品和技术的开发研究中发挥着巨大的应用作用。接触是引起摩擦现象的必然前提，但接触并不一定会产生摩擦，有些摩擦现 彖对我们而言是必要的，在很多生活应用屮我们需要将摩擦最大化，比如运动中 的车辆在刹车过程中轮胎与路而的摩擦，又例如磨削和抛光就是利用摩擦现象而 实现。但是有些摩擦现象是我们要尽力规避的，这些摩擦现彖会导致磨损，引起 微细裂缝和能量的损耗，甚至引起构件功能的降低及严重损伤。可以说，接触和 摩擦现象既有弊端，又有益处，一方面，我们需要利用已知的科学理论将接触和 摩擦尽量最小化，将不利的影响降到最低，而另一方面，我们需要合理地利用它 们来很好地改造我

21、们的生活。1.1.2接触力学简介及发展历程接触力学是研究固体一点或多点接触时，接触区域变形、应力及由此引起固 体相应变化的学科，涉及到弹性材料、粘弹性材料、塑性材料、功能梯度材料等 的静态、动态接触问题，对于相应问题的求解建立在材料力学、弹性力学、粘弹 性力学、塑性力学及动力学等学科的基础之上，没有任何一个领域比它更多元化, 更吸引人。根据使用数学求解工具的不同，可将接触力学分为经典和非经典两类。 经典接触力学的特点是借用积分变换、数值积分、复变函数等方法对接触问题的 奇异积分方程i"】进行求解，并得出相应问题封闭形式的解析解，其缺点是无法求 解出复杂的接触问题。而非经典接触力学突破

22、了经典接触力学的局限性，基于现 代数值模拟等软件，通过有限元法、边界元法几乎解决了所有复杂接触问题，并 利用经典接触力学的理论作为验证标准。根据接触类型的不同，又可分为法向接 触、滑动接触、滚动接触、退让接触等。按照空间分类，可分为线接触（一维接触 问题）、面接触（二维接触问题）、空间接触（三维接触问题）。根据有无摩擦的情况， 可分为hertz接触（黏着接触）、非hertz接触（黏着接触），其中摩擦接触又可分为 静态摩擦接触和动态摩擦接触。按照接触界面的变化，可分为不变接触（接触面不 变）、退让接触（接触面缩小）、推进接触（接触而变大）。接触力学的奠基人为德国伟大的物理学海因里希鲁道夫赫兹（h

23、einrich rudolf her，他在透镜光学干涉实验中发现了这一有趣的现象“透镜接触显著 地影响着干涉条纹图”，并于1882年发表了经典论文论弹性固体的接触。 赫兹与经典接触力学息息相关，作为hertz接触的创始人，其得出的古典结论一 直是接触力学的基石。hertz接触又名为无黏着法向接触，即忽略接触界面的黏着 作用，也即无摩擦状态。黏着作用实际上由微观范德华力造成的一种界面相互吸 引的结果，这种吸引力也叫黏着力。无黏着法向接触对应黏着法向接触，黏着法 向接触理论由bradley最先提出，该理论适用于绝对刚体，其后乂有jkr黏着 理论和dmt黏着理论】问世，分别适用于小刚性球体和大柔性球

24、体，而jkr 理论最为流行。hertz之后的一百年里，接触力学发展比较缓慢，黏着接触更是晚于hertz半 个世纪才提出，而有关接触力学的书并不多见，纯接触力学的专著更是少之又少， 这种状况直至20世纪末尾才被改变。galin等于1953年采用俄文出版的弹 性理论中的接触问题归纳了 muskhelishvili1131在弹性接触力学领域的先驱性工 作，而muskhelishvili有关积分方程的研究更是苏联学派在接触力学领域中的代 表，该积分方程的专著一直在不断翻新岀版osneddon1141参与了 galin的研究工作， 并独自编写了傅氏积分，在引用积分变换解决接触问题方面做出了突出的贡献。

25、在这同一领域中，gladwell1151在理想弹性i古i体框架内，详尽地论述了数学方法在 追寻封闭形式解过程中的独特魅力。johnson1161是jkr黏着理论的创始人，其写 的接触力学一书是世界上第一本以接触力学命名的专著，也是接触力学领域 的经典教材，他消除了表面无摩擦及理想弹性固体等假定的限制，将接触力学推 向了一个新的高度，并将该学科与实际工程应用相结合，使该书成为职业工程师 的应用手册。man1171将接触力学中边界元法的应用进行详尽的介绍和总结。 kalkerll8j有关轮轨接触的专著凸显了接触力学在工程领域的应用背景。有关接触 力学在功能梯度材料领域的应用更是由erdogan和g

26、ulerl，9j进行了专门的介绍， 在新材料的应用方面作出了巨大贡献。而erdogan等在接触力学积分方程求解 中又有自己专门的研究成果。fisher-cripps f211t* 2000年岀版的著作是自johnson 之后又一木专门针对接触力学的重要书籍。popovl22j将接力学和摩擦学相结合出 版的著作，对于初学接触力学的人说是不错的教科书。yastrebov1231的研究工作是 有关接触力学数值方法最新最系统的介绍。我国有关接触问题的研究和分析一直以来都是零碎地散布在弹性力学领域 内，并未形成一个专门的纯接触力学的研究学科，随着吋代的发展和工程应用领 域相继出现的各种难题，有关接触力学

27、的针对性研究及专著才相继出现，孔祥安 等编著的固体接触力学可说是我国第一本有关接触力学的专著，全面而系 统地介绍了接触力学的发展情况、接触类型、研究方法，在铁路建设发展中为轮 轨接触问题的研究提供了重要的理论指导。事实上轮轨滚动接触力学已发展成专 门的跨学科重点领域，为我国高铁的发展提供有力的技术支持，而金学松和沈志 云更是总结了轮轨滚动接触力学的发展历史。更多有关接触力学发展历史的详 细介绍可见于冯登泰125的文章中，但该文已经无法体现出接触力学在21世纪的 飞速发展。1.2弹性薄层的接触力学研究意义和研究现状1.2.1弹性薄层接触问题的研究意义在工业制造中经常会出现这样一种构件，它由基底和

28、覆盖其上的弹性薄层组 成，基底和覆盖层的弹性常数往往不同，这样的构件常用于和其他组件相接触的 位置，而薄层在接触区域充分地发挥着其独特而重要的工作性能。如船体中在后 螺旋桨轴上使用的衬胶轴承就是一个典型例子，作为弹性薄层的衬胶固结于可视图1.3衬胶轴承为刚性体的外壳上，图13为衬胶轴承的示例，当螺旋桨轴承在水下运作时，衬 胶的弹性性能让衬胶薄层与轴之间产牛一定的空隙，进而生成一层液体润滑膜， 该膜将轴承和轴彻底分开，使摩擦效应降至最低，同时又保证了轴的正常工作。 作为弹性薄层的衬胶还因其出色的耐磨和防腐蚀等性能广泛地应用于各种机械构 件中，而对于弹性薄层接触问题的研究能为构件设计、优化等提供重

29、要的理论依 据。现实生活中有关弹性薄层涉及到接触问题的例子枚不胜举。在卬刷市场上有 着特殊地位的针式打印机，就可看作简单的冲击接触模型，其打印头中的银针可 简化为刚性球体冲头，纸张则对应弹性薄层，针头和纸张的接触时间和接触所产 生最人冲压力在打印过程中对印刷质量起着重要的影响作用。图14为施工中的 路面面层与压路机的滚压接触，路面结构的设计和分析以弹性层状模型为基础， 以弹性层状半空间理论为指导，可见弹性薄层接触问题在土木工程屮的重要性。图1.4施工中的路面面层固结于骨质上的关节软骨在人体活动中起着重要的作用，它通过适当的形变 发挥着吸收、缓冲作用力及震动的功效，同时述能缓解关节处因人体运动而

30、产生 的摩擦。因此，有关关节接触应力传递问题的研究在生物科学中不可或缺，而关 节软骨作为弹性薄层接触模型在人体生物学中的缩影，显著地突出了研究薄层接 触问题的重要性。图1.5显示了软骨在正常关节和磨损关节中的区别，对于关节 软骨接触模型的研究有助于分析和发现造成关节软骨磨损和病变的外因，同时该 研究也是运动过程中人体骨骼多体系统动力学仿真的基础。由此可以看出，有关图1.5人体尖节弹性薄层在人体静、动态下接触和摩擦的研究对临床i矢学、仿生机械具有重要的 意义。1.2.2弹性薄层接触问题简介在接触力学中，弹性薄层与弹性极薄层、中厚层、厚层共同组成了弹性层领 域。四者的区分标准与岩土学中的区分标准不

31、同，岩土学中有关弹性层的定义主 要是便于实际工程标准的统一，但当需要进行力学性能分析的时候，接触力学中 的相关区分标准则更精确。在接触力学中，四者是根据接触半径（q）与层厚（力）的 大小决定的：a«h,极薄层；a <h ,薄层；a = h ,中厚层；a > h ,厚层；a » h , 极厚层。可见四者间的界限非常模糊。由于各自尺寸的迥界而所对应的应用领域 稍有差别，相应的研究理论基础也有所不同，如中厚层和厚层的接触问题可以用 hertz理论进行分析，但该理论在薄层和极薄层中无法适用。尽管存在种种差异， 各种弹性层间联系依旧紧密，针对某一种弹性层研究所得出的成果实

32、际上是另一 种弹性层进行研究的理论基础，其中很多不断发展和成熟的理论已经打破了这种 因尺寸差异带来的界限，能通用于各种弹性层的理论及实验研究，遗憾的是日前 并未出现有关弹性层领域全面而系统的接触力学箸作，各种研究成果也是零星散 布。弹性薄层因其特殊的尺寸和独特的工程应用背景，一直受到众多研究者的青 睐，它比厚层和中厚层更节省材料，同时也因其适当的尺寸而更具灵活运用性， 与极薄层相比，其对所用材料和制造工艺提岀的高要求、高指标在现有技术条件 下更易实现，故有关弹性薄层的多种接触问题均受到广泛的关注。弹性薄层常依附于其他介质上组成一种新的结构，并在薄层顶端与其他构件 或介质发生接触，而薄层所依附的

33、介质通常定义为“基底”。根据弹性薄层依附形 式，可以分为“固结”和“静置”两种情况，固结通常为薄层底部提供竖向和切 向的约束，而静置则容许薄层在切向方向发生自由移动。薄层与外部构件发生的 接触问题多种多样，根据接触类型可以分为法向接触、滑动接触、滚动接触等。 薄层与基底之间由接触面积变化的情况，可分为不变接触、退让接触、推进接触。 其中退让接触是因外力作用而造成接触面积缩小的情况，常见的现象为薄层从基 底上发生翘起。在发牛退让接触时，薄层与基底可固结可静置，同时外物与薄层 的接触类型可能为前述类型中的任意一种。在上述各种接触类型中，通常会引入 接触界面之间的黏着作用进行分析和讨论，尽管有关黏着

34、力的定性分析出现在法 向接触中，但黏着作用在滑动接触和滚动接触中占据及其重要的位置，并影响着 物体的运动情况。实际上，无黏着作用只出现在理想状态中，其对应无摩擦的状 态，另一种理想状态为全部黏着状态，即假定接触界面摩擦无限大足以阻止相对 运动，介于两者中间的有限摩擦状态最为接近现实接触问题，即有限的黏着作用。 在进行薄层接触问题分析时，物体接触形式是需要考虑的一方面，另一个同样需 要引起重视的方面为接触物体所用材料，弹性薄层接触问题中基底和上部接触物 通常视为弹性和刚性两类，而对于薄层而言，除了本论文中所研究的弹性材料外， 粘弹性材料和功能梯度材料也都是热门研究对象。1.2.3弹性薄层接触问题

35、的研究现状弹性薄层的空间轴对称法向接触展于简单接触问题，但作为摩擦学现象的先 决条件，弹性薄层的法向接触问题不但是研究薄层接触力学的基础，同时也是跨 学科领域的重心，其至关作用不言而喻。此类接触问题并未涉及到复杂的接触边 界条件，不考虑接触面上的摩擦力，即为无黏着法向接触(henz)。本论文有关弹 性薄层法向接触问题的研究主要针对无黏着情况，无黏着法向接触问题已被众多 知名学者所研究过，其中johnson1161对弹性薄层的二维接触问题进行了研究，他的 成果主要集中在薄层厚度力远小于接触半径ah«a)的特殊情况，并形成了著名 的johnson假设，即“薄层厚度远小于接触半径时，认为薄

36、层上下变形均匀是合 理的”。在弹性薄层固结刚性基底的情况下，此假设对等于“薄层没有水平位移”, 而此后很多研究学者有关薄层三维接触问题的研究都是建立在此假设的基础上。 利用johnson假设的代表性人物之一为jaffer1271,着重体现在他1989年发表的精 短文章中，该文并未涉及到很复杂的数学理论，主要讨论了弹性薄层为可压缩材 料并且与刚性基底固结的情况下，接触区域接触压应力的分布，唯一的遗憾是该 文并没有涉及到薄层位移场和应力场的讨论。以johnson假设为基础的另一代表 性人物为barber1281,尽管与jaffer1271的分析方法略有不同，但其研究重点亦为接 触区域中压应力的分布

37、情况。ning等门91有关薄层空间轴对称问题的近似解亦建立 在johnson假设之上，他们着重利用abaqus对接触区域压应力进行有限元模拟， 得出的有限元分析结果与其理论结果基木吻合，但他们所得出的有关薄层固结刚 性基底情况中的应力公式完全无法满足边界条件，这也是利用johnson假设解空 间接触问题所带来的缺陷。来自jaffe1301的另一篇文章以popov1311和alexandrov1321的成果为基础，假定 接触压应力分布及位移函数为修正legendre多项式的展开形式，涉及到了复杂数 学理论的应用。而mattthewson1331于1980年在jmps杂志发表的有关此问题的文 章堪

38、称经典，他的成果并没有涉及繁杂的数学理论，而是通过分析厚度方向平均 应力、应变得到此问题的近似解。并着重分析了当材料泊松比v为0.5时，弹性 薄层作为基底保护层的应力场和应变场等。mattthewsonf341紧接着于第二年发表的 成果，明确给出了设计保护层时采用弹性薄层的理论标准，彻底改变了以往以经 验为指向的现象，在工程应用上是一大进步。alexandrov381. meijersf391以及 alblas和kuipers1401有关此问题的成果都涉及到复杂的数学理论分析，在今天看 來是非常不便于实际应用的，尽管如此，他们三人的理论还是被gladwell在自 己的综述性文章中进行了总结。g

39、reenwood和barberl42j则重新启用围道积分对弹 性层的格林函数进行求解，分别得出了弹性层静置、固结于刚性基底所对应的精 确解。chidlow和teodorescu1431研究了弹性层状结构，该结构中均质表层与基底 通过屮间的功能梯度层相连，作者分析了层厚及弹性层不均匀性对接触应力的影 响。在stevanovic等【钟的工作中，考虑了受弹性压头作用下固结弹性半空间的弹 性层，但这篇文章主要是将有关接触半径的研究成果与前面学者的成果进行对比。 chidlow等】在先前工作的基础上又研究了功能梯度弹性层的黏着和无黏着接 触问题，并得到了有关接触半径和接触应力的半解析解。argatov是

40、跨领域研究接触力学的典范，他以纯接触力学研究为开端，逐渐 过渡到生物力学中有关人体关节接触问题的研究。2005年argatov r481g于矩展开 法和alexandrovr321的理论分析了弹性薄层与椭圆抛物面冲头的接触问题。接着于 2010年在其早前工作的基础上建立了有关两相软骨层轴对称接触问题模 型，该模型适用于软骨层生物力学性能变化剧烈的情况，有助于了解和分析造成 关节炎等病变的原因，同吋能为有限元分析结果的验证提供理论指导。2011年 argatov和mishuris阿在他们研究成果和现有双相软骨薄层接触理论的基础上 继续改进模型，使z更加接近人体关节的实际情况，并研究了多种接触问题

41、：固 结于刚性基底的可压缩粘弹性薄层与椭圆抛物面冲头的接触；固结于椭圆抛物面 刚性基底的可压缩粘弹性薄层间的接触;0固1结无刚性基底的不可压缩粘弹性 薄层的接触。并得出了针对单调递增荷载的有效解析解。紧接着argatov和mishuris1541 又研究了双相软骨薄层接触问题的摄动解，尽管由于假定软骨的相关参数为定值 而为该成果带来一定的局限性，但作者将软骨渗透率和层厚因变异而带来的影响 引入该文的研究屮算得上开创z举。此外，有关弹性层状体系的无摩擦法向接触 问题常见于土木工程中土层的研究，郭文复尺】早年就研究了多层半无限弹性体在 圆形荷载作用下的情况。李显芳和禹国文呵还研究了有关固结刚性岩石

42、基底的弹 性土层内部受力的问题，这种情况可以简化为弹性层状体系中层面处受力模型。弹性薄层的滑动接触问题是在法向接触的基础上将接触界面传递切向力的情况 考虑进来，比法向接触问题要复杂，而初始滑动接触问题由于有黏着作用的存 在乂比滑动接触问题更复杂。omez和erdol1571讨论了薄层固结弹性半空间的滑 动接触问题，其中压头为刚性，作者利用边界条件将问题转化为第二类奇异积分 方程的求解，并采用“gaussjacobi积分公式”和“jacobi多项式”两种数值积分 法进行求解，并分析对比了两种解法的精确性。jaffad附研究了弹性薄层固结（或 静置）刚性基底的滑动接触问题，压头同样为刚性，作者分析

43、了此类模型中一种特 别有趣的现象，即接触区域关于中心非轴对称分布，即最人压应力具有离心率。 ma和korsunsky1591研究了固结弹性基底的弹性薄层与弹性压头之间的滑动接触 问题，作者以弹性层受集屮荷载作用的分析为基础，推导出受弹性冲头作用下薄 层有关接触应力的奇异积分方程，再利用数值解法对积分方程进行求解并得出接 触应力的表达式。abdallah和elsharkawy1601针对弹性层状体系与刚性压头的滑动 接触问题，利用基于傅里叶变换的数值积分法，研究了层厚、摩擦系数对接触应 力及层间应力的影响oguler和erdoganf6l621w究了弹性薄层为功能梯度材料(fgm) 时，刚性圆柱

44、压头与固结于各向同性弹性基底的薄层z间的滑动接触问题，通过 将接触问题简化为平面应变问题，利用己求得的接触应力与应变之间的奇界积分 方程，最终获得了有关材料不均匀性、摩擦系数等对于临界应力影响的解析基准 解，这对于分析功能梯度材料在降低构件磨损和疲劳屮是极其重要的。事实上， ke和wangf631在guler和erdogan比前就研究过了该问题，他们利用传递矩阵 法和傅里叶变换技巧推导岀了功能梯度层应力应变之间奇异积分方程，并分析研 究了各种类型压头与功能梯度层滑动接触时的接触应力及接触区域的分布情况， 所得结果显示功能梯度层剪切模量的渐变性显著地影响着接触区域的应力分布。 来自韩国的学者hy

45、ungsl定性研究了作为弹性层的功能梯度材料固结于刚性基 底时，弹性层与刚性平底压头发生的滑动接触问题，通过利用傅里叶变换及边界 条件推导出弹性层应力应变之间的奇异积分方程，再采用jacobi多项式对奇异积 分方程进行数值求解得出接触应力的表达式，这种通过推导出奇异积分方程进而 求得接触应力的解法也是求解弹性层领域接触问题的常用解法。有关刚性平底压 头与功能梯度弹性层的滑动接触/问 题处框1还可见于apaty等厲】的工作屮。有关弹性薄层的滚动接触问题最早见于bentall和johnsodl的研究中，主要 研究了弹性长条经过轧机两轧辗时长条的应力及变形，根据对称原理，接触模型 简化为刚性圆柱体与

46、固结刚性基底的弹性薄层的滚动接触模型，并将接触区域区 分为黏着区和微滑区，再利用三角形载荷单元叠加法对接触应力和打滑比进行数 值求解。而在此前，bentall和johnson671已经研究了两弹性常数相异的滚筒z间 的滚动接触问题，并分析了摩擦系数对于微滑区域的影响。margetsonl68j研究了刚 性圆柱体与固结刚性基底薄层之间的平滑滚动接触问题，其中圆柱体与薄层接触 界面不存在摩擦力，作者分别求出了薄层为弹性材料和粘弹性材料吋的接触应力。 kaller1691提出了滚动接触问题的简化理论，尽管并未直接涉及到弹性薄层。soong 和口研究了弹性长条与固结有弹性薄层的两轧鶴的滚动接触问题。n

47、owell和 hills4先后研究了弹性相异的两圆柱体间的牵引滚动接触问题，及具有弹性固 结层的两刚性圆柱体间的牵引滚动接触问题。而定性分析固结基底弹性薄层的滚 动接触问题最早见于spector和batra1731的研究中，作者以刚性圆球与固结刚性基 底的均匀弹性薄层间的滚动接触为例分析了三维滚动接触问题。goryacheva等 】"75】重点硏究了固结弹性半空间的粘弹性薄层与弹性圆柱体的滚动接触问题，将 薄层简化为maxwell模型，并通过推导和求解第二类fredholm积分方程得出接触 应力。barrett和slocum1761于2006年重新研究了粘弹性薄层的滚动接触问题，该

48、问题中基底和压头均为刚性。fomin1771研究了弹性长条通过轧辘吋的塑性碾压接 触问题。reina"等将弹性层滚动接触问题的各种模型及接触情况进行了综述， 并分析了在周期荷载作用下弹性层与基底之间的脱离情况。guler等179血着重研 究了功能梯度材料作为弹性层时的滚动接触问题，利用gauss-chebyshev数值积 分法对功能梯度层的奇异积分方程进行离散，再利用迭代法确定黏着区域和应力 函数，这一系列工作对于薄层滚动接触问题的分析以及功能梯度材料的应用具有 重要的指导作用。退让接触作为一类特殊的接触问题，有很重要的工程应用背景及实用价值， 近年来有关该问题的研究成果更是见于多位

49、学术工作者的文献中。ei-bborgi等 w-8"在功能梯度(fgm)材料弹性层的退让接触问题上有很丰厚的成果，先后研究 了固结均匀弹性基底的功能梯度弹性层在摩擦接触中的层内开裂问题，功能梯度 弹性层与均匀弹性基底间的无摩擦平面退让接触问题，功能梯度弹性层与均匀弹 性基底间的无摩擦空间轴对称单退让接触问题，功能梯度弹性层与均匀弹性基底 间的无摩擦空间轴对称双退让接触问题，功能梯度弹性层与均匀弹性基底间的摩 擦退让接触问题。ei-bborgi有关摩擦退让接触啲研究是继comez1881之后第二 位在退让接触中定性研究摩擦力的学者，comez研究了受刚性圆柱体滑动接触的 弹性层与均匀弹性

50、基底的退让接触分析，而在此之前有关退讣接触的研究都限定 在只有法向单向受力的范畴内，comez2等刚呵还 研究了两种截然不同的双弹性 层的退让接触问题，一种为层与层之间的退让接触，且下弹性层i古i结刚性基底，上 弹性层与刚性压头法向接触；另一种则为层与弹性基底的退让接触，下弹性层与 上弹性层无缝衔接，上弹性层与压头法向接触。kayha等则研究了弹性层与基 底为纤维增强复合材料时，刚性压头与弹性层法向接触时弹性层与基底的退让接 触问题。1.3本论文的研究内容本论文基于线性弹性理论，在受表面连续光滑的刚性压头作用下，对刚性基 底上弹性薄层的四类接触问题进行了研究，分别为法向无黏着接触、滑动接触、

51、滚动接触、退让接触。在经典接触力学范围内，利用位移势函数，通过积分变换 求得弹性薄层的奇异积分方程，采用guass-chebyshev积分法及guass-chebyshev 离散法等数值方法对积分方程进行求解，最终得到接触区域应力的分布情况。第二章主要研究固结刚性基底的弹性薄层与刚性圆球体的无黏着法向接触问 题，由已知位移边界条件，在柱坐标下将弹性薄层分为接触区域和非接触区域； 根据弹性薄层上下表面的位移和变形情况，采用分段函数的形式定义接触区域的 竖向位移；再根据接触区域切向力为零的限定，考虑到薄层下表面无竖向、切向 位移，由前述已拟定竖向位移函数求得接触区域的径向位移函数；根据位移分量 的

52、连续性及应力、应变分量在非接触区域的递减性，基于接触区域的径向位移确 定非接触区域的径向位移；再根据边界条件及非接触区域的径向位移函数，求得 非接触区域的竖向位移函数。最终由空间轴对称问题的本构关系求得满足所有边 界条件的应力、应变分量。通过算例分析了应力随径向、竖向的分布情况，探讨了切应力在接触区域和 非接触区域交界处的连续情况，并根据von mises等效应力讨论了塑性屈服的扩 展情况。第三章在前一章模型的基础上，引入切向力的作用，主要研究固结刚性基底 的弹性薄层与无限长刚性圆柱体的滑动接触问题。将问题简化为平而应变问题， 接触区域不考虑黏着作用，即全滑动接触。基于papkovich-ne

53、uber解、已知调和 函数，采用fourier积分变换求得应力、位移的fourier变换矩阵表达式；由边界 条件，考虑接触区域正应力和切应力的耦合作用，求得压应力、竖向位移的fourier 变换表达式；利用fourier逆变换，求得竖向位移梯度fourier变换与压应力fourier 变换之间的关系式；采用符号函数、fouier卷积定理、fourier正余弦变换及hilbert 变换求得弹性薄层的第一类奇异积分方程；最终通过guass-chebyshev积分法对 奇异积分方程进行数值求解，得到接触压应力的多项式解。算例分析了接触区域压应力、切应力的分布情况，并讨论了摩擦系数、泊松 比及层厚对应

54、力的影响情况。zkq 20151222第四章在前一章的基础上考虑接触区域的黏着区，探讨更复杂的接触问题， 主要研究固结刚性基底的弹性薄层与无限长刚性圆柱体的滚动接触问题。将问题 简化为平面应变问题，接触区域分为黏着区和微滑区；同前章，利用 papkovich-neuber解求得应力、位移的fourier变换的矩阵表达式；根据johnson 的分析冋,将正应力和切应力解耦，求得弹性薄层分别受压应力和切应力作用的 情况下，竖向位移及切向位移的fourier变换表达式；利用fourier逆变换，分别 求得竖向位移梯度与压应力fourier变换、切应力fourier变换的关系式，以及横 向位移梯度与压

55、应力fourier.切应力fourier变换的关系式；采用符号函数fourier 卷积定理、fourier正余弦变换及hilbert变换求得竖向位移梯度与压应力、切应 力之间的奇异积分方程，再进行叠加；同样将求得的横向位移梯度与压应力、切 应力之间的奇异积分方程进行叠加，得到弹性薄层的奇异积分方程组；再根据黏 着区横向位移梯度与打滑比相等，将横向位移梯度的奇异积分方程转化为与打滑 比关联的奇异积分方程；通过先拟定黏着区范围，结合平衡方程，并采用 guass-chebyshev离散法对积分方程组进行迭代求解，最终确定黏着区范围、打滑 比及应力分布。算例分析了接触区域压应力分别随摩擦系数、泊松比及

56、层厚的变化情况，并 研讨了摩擦系数、泊松比及层厚对黏着区、切应力的影响。第五章主要研究受无限长刚性圆柱体滚压的弹性薄层与刚性基底的退让接触 问题。将问题简化为平面应变问题，滚动不考虑黏着情况，即界面全滑动。同第 三章，以应力、位移fourier变换的矩阵表达式为基础，借鉴johnson的分析【呵， 将压力和切力解耦，分别求的弹性薄层只存在压力和切应力的情况下的奇异积分 方程组，再将奇异积分方程组进行叠加。并采用guass-chebyshev离散法对积分 方程组进行迭代求解，以平衡方程作为验证条件，最终获得了接触压应力的分布 情况及接触半径。算例分析了接触压应力随摩擦系数、泊松比及层厚的变化情况

57、，并讨论了层 厚、摩擦系数对退让接触面积半径的影响情况。1.4本论文的主要创新工作本论文以弹性薄层为研究对彖，通过解析法探讨了薄层的无黏着法向接触问 题；考虑切向作用力的影响，采用数值解法分析了薄层的滑动接触问题；考虑黏 着作用，通过数值解法研究了薄层的滚动接触问题；以及受圆柱体滚压接触下薄 层与基底的退让接触问题。本论文的创新点如下：1）通过拟定位移函数的方法对薄层无黏着法向接触问题进行了解析求解。 求得了满足所有边界条件的解析解。2）以papkovich-neuber解为基础2。研巧匸了皤层固结刚性基底模型的滑 动接触问题、滚动接触问题。3）研究了受圆柱体滚压接触下薄层与基底的退让接触问题。第2章 刚性基底上固结弹性薄层与球体的无黏着法向接触分析木章基于弹性理论研究了刚性基底上固结弹性薄层受圆球体挤压的无黏着法 向接触问题。采用合理假定位移分段函数的方法对弹性薄层的应力分量进行求解, 最终得到了能满足所有边界条件的解析解，避免了复杂数学理论的运用，同时也 弥补了三维接触问题中运用johnson假设所带来的缺陷。2.1无黏着法向接触模型及控制方程2.1.1模型的建立及边界条件考虑在外力p的作用下，圆球体与固结刚性基底的弹性薄层发生法向接触，圆球体为刚性，并充当压头的作用，且其自重不予考虑，如图2.1所示。薄层受到圆球体的挤压，在非协调接触面上产牛半径为g的