分解质因数运用10例

1、分解质因数运用10例(详解)例1、已知360xa=bxb,其小a、b均为自然数，求a的最小值是几？ b的值又为几？分析与解答：因为360xa=b2,即为360xa也是一个完全平方数。而360=5x3x3x2x2x2= (5x3 x2) x (3x2x2),因此可得要使360xa是一个完全平方数，a的值只能为：5x2=10。所以可得，a 的值最小为10o这时b的值为60o例2、a、b、c均为自然数，已知axb=132, bxc=156, cxat43。求axbxc的值是儿？分析与解答：因为132=11x12,所以axb =11x12。156=12x13,所以 bxc=12x13o143=11x1

2、3,所以 cxa=llx13o比较以上各式可知,a=ll； b=12； c=13o 所以 axbxc=llx12x13=1716o例3、把棱长1厘米的小止方体2100个，堆在一个实心的大长方体，这个长方体的高为10厘米，并且长、 宽均人于高，求这个长方体的表面积。分析与解答：根据题中的条件可知，这个长方体的体积为2100立方朋米，因为长方体的高为10厘米，所 以长方体的底面积为：21004-10=210 (平方厘米)。又因为长方休的长、宽均大于10o iflj 210=2x5x3x 7= (3x5) x (2x7) =15x14o因此可得，这氏方体的氏为15厘米，宽为14用米，髙为10屈米。它

3、的 表面积为:(15x14+15x10+14x10) x2=1000 (平方厘米)。例4、把一个长16厘米，宽为8厘米，高为4厘米的长方体锯成若干个小正方体，然后拼成一个人正方体, 求这个大正方体的表面积。分析与解答：因为将一个长方体锯成若干个小正方体后拼成的大正方体的体积同原来的长方体的体积是相 等的。长方体的体积为：16x8x4=512 (立方厘米)。而512=2x2x2x2x2x2x2x2x2=8x8x8o所 以可知，大正方体的棱长为8厘米。大正方体的表而积为：8x8x6=384 (平方厘米)。例5、两个自然数的乘积是2835,它们的最大公因数是9,求这两个数。分析与解答：因为两个数的最

4、大公因数是9,因此可知这两个数中都有因数9。因为2835=5x7x9x9=45 x63。所以可知这两个自然数分别为45和63。例6、1x2x3x4x5x-x99x100的积，末尾有多少个连续的零？分析与解答：因为2x5=10,这样含有一个2和一个5,乘积末尾就会有一个0。因此，只要观察这100 个因数中一共含有多少个2和5。又知，在这100个因数中，含2个的数一定多于5的个数，所以只需知 道乘枳中含有5的个数，就可知积的末尾连续0的个数。这100个因数中是5的倍数的有5、10、1595> 100共有20个，其中25、50、75、100又是25 的倍数，各有两个5。所以乘积中共有5的个数是

5、20+4=24 (个)。因此，乘积的末尾共有24个连续的0。 例7、有四个小朋友的年龄一个比一个大一岁，他们的年龄的积是5040,求他们各是多大？分析与解答：把5040分解质因数，得5040=2x2x2x2x3x3x5x7,然后组合：7, 2x2x2 = 8, 3x3 =9, 2x5=10例8、甲数比乙数大9,两数的积是1620,求这两个数。分析与解答：1620=22x34x5 = (32x22)x(32x5)甲数是45,乙数是36。例9、把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组,每组四个数且积相等,求这两组数。分析与解答：八个数的积等于(2x7) x (2x3x5

6、) x (3x11) x (3x5x5) x (11x13) x (13x 13) x (5x7x 127) x (3x 13x 127)。在积中共有质因数2 (2个)，3 (4个)，5 (4个)，7 (2个)，11 (2个)，13 (4个),127 (2个) 分组为：b组：4953=3x13x127a组：143=11x1314=2x74445=5x7x127 169=13x13 33=3x1130=2x3x575=3x5x5例10、1*2*3*4*5*6*a的积的末尾连续有20个0, a最小是多少,最大是多少?分析与解答：n!末尾零的个数等于f(n!) = n/5 + n/5a2 + n/5

7、a3 + n/5a4 +其中为取整运算85到89的末尾是20个零借来还去小宁在计算19998+1998+198+18这道计算题时,只用20秒钟就报出了得数是22212。她为什么算得这 么快呢？小宁告诉小兵：“我用了 '借來还去'的方法”。原来,小宁一看19998, 1998, 198, 18分别接近20000, 2000, 200, 2()。她就先借来了 4个2,分 别加到19998, 1998, 198, 18上得到20000+2000+200+20=22220可是借来的4个2 (=8)要“还”，也就是要从22220中减去,这样,正确的答案应该是:22220-8 = 2221

8、2小宁的思考方法可以从下面的式中看出来：19998+1998+198+18二(19998+2) + (1998 + 2) + (198 + 2) + (18+2) - c2+2 + 2+2)=20000+2000+200+20-2x4这种“借来还去”的思考方法不仅在计算上，而口在解决一些实际牛活问题上也很有用！ 问题1 一位农民卖鸡蛋，第一次卖去篮中的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个后，剩下一个。请 问：篮中原有多少个鸡蛋？这道题的解法有好几个，但是只有一个是最简单的。你想想看，一篮子鸡蛋分了一半出现了半个，说明鸡蛋个数是奇数。为了避免出现半个鸡蛋，这位农 民应当事先向别人借1个鸡蛋放在

9、篮子里，这样，每一次都不会出现半个鸡蛋了。也就是说，第一次卖去 篮中的一半，第二次卖去剩下的一半，剩下2个。于是，篮中的鸡蛋为(2x2x2=) 8 (个)。刚才借了一 个鸡蛋再还给人家，这位农民篮子中原来有(8-1 = ) 7 (个)鸡蛋。当然，农民卖鸡蛋不会只卖7个。但是，从上面巧算中，我们能找出一个规律。比如说每次卖一半又 半个，共卖了五次后剩一个，那么农民篮子里原有鸡蛋数为(261=641 = ) 63 (个)。借一还一，大人简化了计算。少元？这道题可以假定会计把张师付和李师付应得钱数的零头借来放在剩余款中。这样剩余款为(84+16+ 2=) 102 (元)。这时，这个量所対应的 再还给

10、他2元，共(24+2=) 26 (元)。这道题会计把张、李二位师付劳务费的零头先不发，就容易得到量率的对应关系了，题日就好解了。先算这篮桃有多少个。假如小明向奶奶借来2个桃，借给小聪4个桃，那小明还有(6+2 哥，自己分4个，问这篮桃有多少个？根据题意，可得这篮桃共有这道题假如不用借来还去的方法解，解起来是相当费事的。无论真借真述，述是假借假述，冃的是一个，使问题中的数量关系更加明晰，使解法由复杂变简单。 想想练练2. 卖冷饮的小店规定：5个空汽水瓶可换1瓶汽水。某班同学喝了 161瓶汽水，其中有一些是用喝剩 的空瓶换來的。那么，他们至少要买多少瓶汽水？(提示：用“借來还去”法可求得，每买4瓶

11、汽水，加上“借”來的一只空瓶，乂可喝到1瓶汽水。 如果买120瓶,实际可喝到(120+1204-4=) 150瓶；如果买128瓶,实际可喝到(128+1284-4=) 160 瓶，还差1瓶简单统筹规划例谈我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，取得了可 喜可贺的成绩，使数学直接为国民经济发展服务。在这一讲，我们通过儿个简单的“最优化”问题使人家 对统筹规划思想方法有个初步了解。例1 一只平底锅上只能煎两只饼，用它煎1只饼需要2分钟（正而、反而各1分钟）。问：煎三只饼需儿 分钟？怎样煎？解因为这只平底锅上可煎两只饼，所以容易想到：先把两饼一起煎，需2分

12、钟；再煎笫3只，仍需2分 钟，共需4分钟。但这不是最省时间的办法。因为每只饼都有正反两面，3只饼共6面，1分钟可煎2面, 煎6面只需3钟。例2 6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、 10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等 候吋间最短？这个最短吋间是多少？解第一个人接水时，包扌舌他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人筹候；第6个 人接水时，只有他1个人等候。可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时 间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列

13、等候接水，这个最短时间是3x6+4x5 + 5x4 + 6x3+7x2+10=100 （分）。例3如右图，有甲乙两个工厂各口需要15吨钢材，而内丁两个仓库正好分别有12吨、18吨这种钢材， 问如何调运可使叩乙两个工厂都疋好得到各自所需要的钢材而又能使运输费用最省（假设钢材的运费每吨 公里相同）。解因为运费的多少决定于每吨钢材所运的路程，所以只需计算所有钢材被运的路程，并使总路程尽可能 的少。设所有钢材被运路程为s （单位：吨公里）。设从内仓库运往甲工厂钢材m吨，则所剩（12-m）吨钢材将运往乙工厂，口丁仓库将运往甲工厂（15 m）吨，剩余的（1815 + m）吨应运往乙t厂。所以 s = 80

14、0m+500? （12-m） +400? （15-m） +300? （18-154-m） = 200m+12900由上式可看出要使运费最省而又要两个工厂都得到所需钢材，只需s最小即可，而s的大小取决于mo 故m最小时s最小，所以m应为0。这吋的具体调运方案为：由丁仓库运15吨钢材到甲工厂，运3吨钢材到乙工厂，内运12吨钢材到乙 工厂。说明此题数量关系比较简单，凭借直观亦能得出正确的答案。然而本题旨在介绍一下统筹规划的一般研 究方法：即对具体问题进行抽象，列出满足题忖条件的关系式，利用数学方法研究使关系式达到戢大或戢 小的条件，实际问题的数学模型方法。想想练练1. 妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开

15、水要1分钟，烧开水要15分钟，洗茶壶要1分钟，洗茶杯要1分 钟，拿茶叶要2分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能彻好茶了？2. 在一条公路上有4个工厂，任意相邻的两个工厂距离相等（如图所示）。现在要在这条公路上设一车站，使得这4个工厂的所有工人步行到午站的总路程最少，这个午站应设在号工厂门口。3. 北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除本地应用外，北京可以支援外地10台，上海可以支援 外地4台，现在决定给重庆8台，汉口 6台，若每台计算机的运费如下表：（单位：百天）上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？奇怪的无穷多整数有多少个？无穷个。偶数有

16、多少个？无穷个。这样的冋答是正确的。如果我问你：整数与偶数，哪一种数多？恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了。进一步，恐怕还会有同学告诉我，“偶数的个数等于整 数个数的一半”。什么道理呢？那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相同排列的，所 以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半。”整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于部分，整数比偶数多，这不是显而易见、再明白不过的 事吗？你认为这样的冋答有道理吗？16世纪意人利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出过一个著名的悖论，叫做“伽利略悖论”, 悖论的内容是：“整数和偶数一样多”。这似乎违背常识。不过，伽利略所说的，也绝不是没

17、有道理。首先，我们论述的对象都是无穷个，而不是有限个，对于 有限个來说，“全体人于部分”无可争议。从1到10的整数比从1到10的偶数就是多。但是，把这个用 到无穷上就要重新考虑了。对于冇限来说，说两堆物体数量一样多，只要把各堆物体数一下，看看两堆物 体的数量是否相等就可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”木身就包括“数不完”的 意思在内。看起來，我们得另想办法。据说，居住在非洲的有些部族，数数最多不超过3,但是他们却知道自己放牧的牛羊是否有丢失。办 法是，早上开圈放羊时，让羊一只一只往外出。每出一只羊，牧羊人就拾一块小石头。显然，羊的个数和 小石头的个数一样多。傍晩，放牧归来，每

18、进圈一只羊，牧羊人从小石头堆中仍掉一块石头。如果羊全部 进了圈，而小石头一个没剩，说明羊一只也没丢。非洲牧羊人实际上采取了 “一对一”的办法，两堆物体 只要能建立起这种一对一的关系，就可以说明两堆物体的数量一样多。这种办法同样可以用在无穷上，看看要比较的两部分之间能否建立起这种一对一的关系。伽利略在整 数与偶数之间建立的对应关系是：0 1 234i i i i i2468 10 按这样的一种关系，给出一个整数，就可以找出一个偶数与之对应，给出的整数不同，与z相对应的 偶数也不同；反过来，对于每一个偶数，都可以找到一个口然数与之对应，偶数不同，所对应的整数也不 同，由此我们称整数与偶数z间建立了

19、一对一的关系，所以我们说：“整数与偶数一样多”是正确的。这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质，对“无穷” 却未必成立。称球趣题称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的押力，历久不衰。下面几道称球趣题，请 你先仔细考虑一帑，然后再阅读解答，想來你一定会有所收获。例1有4堆外表上一样的球，每堆4个。己知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重1（）克，次品 球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。解依次从第一、二、三、艸堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比 100克多几克，笫几堆就是次品球

20、。例2有27个外农上一样的球，其中只有一个是次品，重量比止品轻，请你用天平只称三次（不用祛码）， 把次品球找出來。解第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分別放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找 到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下來称的一堆必定较轻，次站必在较轻的一堆中。第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在 其中较轻的那一堆。第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中収出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品， 若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。例3把10个外表上一-样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出來

21、。解把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用a、b、c、d表示。把a、b 两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若a二b,则a、b中都是止品，再称b、co如b二c,显然d中的那个球是次品；如b>c,则 次品在c中且次品比正品轻，再在c中取出2个球来称，便可得出结论。如b<c,仿照b>c的情况也可得出结论。（2）若a>b,则c、d中都是正品，再称b、c,则有b=c,或b<c （b>c不可能，为什么？） 如b二c,则次品在a中h次品比正品重，再在a屮取出2个球來称，便可得出结论；如bvc,仿前也可 得出结论。（3）若avb,类似于a&g

22、t;b的情况，可分析得出结论。练习有12个外表上-样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能找出次品吗？例1。将1995表示妬子个连续自物的和。解：由于1995 一5=399,这说明如果将1995表成五个连续数的和，那么299是这五个数的平均数，它是这五个连帥中正中间那个数。因此：397+398+399+400+401= 1例2。三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114,最小的数是多少? 解：设这三个够自然数为：n-1, n, n+1由题设条件知：n x (ml ) - (n-1 ) x n=114即rt+n- (n'-n) =114n?+n=1142tr=11

23、4n=57因-1 =57 -1=56o例兀15个连续的自然数中，最大数是最彳繳的？倍。这15个自然数的和是多少？解：对15个连续自然数来说，最大数比最彳澈大14。但由条件知，最大数是最彳徴的？倍，因此最夫救与最小数之差14是最才或的2倍。最彳墩为：14一 (3 4) =7最大数为：7 x3=21o这15个自櫛的和为:7+g£+ +20+21= 少笃)x 15 =210。例4。1992是24个连续偶数的和，其中最大时偶数是多少?解：将这24个连续偶数从小到大排列起来，将第1个与第24个配对(即最小数与最大数配对),第2个与第23个配对，第3个与第22个国衣寸，,第12个与第13个配对，

24、这样将24个数固域12对，各只擞的和都相等。因此，每一m数的和为:1992 4-12=166这样，我们尖瞳了最彳教与耿数之和为166°另一方面，最大数匕煽刀娄多：(24-1) x2=46因此最大救为：(166+46) 一 2=106。例5。设n等干五个够奇数的积，那么n的个位数字是多少?解：五个连续奇数的个位数字只能分别是1，3, 5, 7, 9(不一定按这个ii陌),而1 x 3 x 5 x 7 x 9=945,其个位数字为5,故五个连续奇数的积的个位数字等于5。例6。三个连续自然数的积是17"，这三个自然数分别是多少? 解：先把1716分解质因数：1716=2 x 2

25、x 3 x 11 x 13=11 x (2x2x3) x 13可看出这三个数是11，12, 13。例7。一个三角形的三条边是三个两位的连续偶熱 它们的末位数字和倉徹7辭，这个三角形的 最大周长等于多少？解：三个连续舷的末位数字只能是下列四种情形：0, 2,4； 2, 4, 6； 4, 6, 8； 6, & 0o由干三个末位数字和能被7整除，所以三个连续馳的末位数字只能是：6, s, 0o于是这三个两位的国偶数是下面的形式：a6,忌(a+1) 0这里，虚是数字，显然盒不能为9。为了使这三个数之和尽可能大。可取朋8,这样，这三角 形的最大周长是：8 6+88-i9 0=2 64 o例8。从

26、1 1994这1994个自然数中，任意取出998个数，这9 98个数中是否一定有两个数 互质？解：从1一一 1994这1994个数中。最多只能挑出1994 4-2=997个不相邻的数：1, 3, 5,1993 或2, 4, 6,，1994。若要抽取998个数，一定可以找到两个数，这两个数是连续数。从而这两个数互质。变换任给一个口然数n,如果n是偶数，则将它除以2；如果n是奇数，则将它乘以3,再加上1,我们称这种 作法为对于数n的变换.例如，对于数5,按照上述规则进行一次变换得到。3x5 + 1 = 16.对16施行变换得16十2 = &将这种变换继续下去，有84-2=4,44-2=2,

27、2*2=1,1x3+1=4,4 一 2=2,2 一 2=1,有趣的是，对于数5,按照上面所要求的规则不断变换卜去，最终出现形如 4-2-1-4-2-1-的垂复.还可以以6为例按上述指定规则进行变换，得到io-* 5* 16-* 8再如18,18-9-28-14-7-22-11341752261340-*20-*10-*5->16-8-*我们发现在这种指定变换下，无论开始是哪个自然数，最终总得到形如4-*2-* 1 -*4-2-*1 的循环、重复.遗憾的是我们不能仅凭列举若干自然数，就断定对任何自然数n都具备这种性质。事实上，到目前为 止，还没有谁能证明这一点。在竞赛中我们会遇到一些类似的

28、变换，有时候是对一个数连续进行某种指过变换，有时候是对一组数 连续进行某种指定变换。在纷乱多样的变化中，却隐藏着某种规律，而我们解决这些问题的关键，就在于 透过农面现象，从“万变”中揭示出“不变”的数量关系。例1对任意两个不同的口然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进 行这样的连续变换：18, 42->18, 24->18, 6->12, 6->6, 6。直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是儿？为 什么？解 如果两个数的最大公约数是a,那么这两个数z差与这两个数中的任何一个数的最大公约数

29、也是ao 因此在每次变换的过程中，所得两数的最人公约数始终不变，所以最厉得到的两个相同的数就是它们的最 大公约数。因为12345和54321的最大约数是3,所以最后得到的两个相同的数是3。说明这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。例2在图1中，对任意相邻的上下或左右两格屮的数字同时加1或减1,这算作一次变换。经过若干次 变换后，图1变为图2。问：图2中a格中的数字是几？解 每次变换都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（如图3）。因为每次变换总是一 个黑格与一个口格的数字同吋加上或减,所以所有黑格内的数字z和与所有口格内数字z和的差保持不 变。因为图1的这个差是13,

30、所以图2的这个差也是130由（a+12） -12=13得a=13。例3黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改写成为其它两数z和减1,这样继续下去，最 后得到3, 1997, 1999,问原来的三个数能否是2, 2, 2?解答案是否定的。注意到2, 2, 2按照题设中的方式首先变换为2, 2, 3,再变换下去必定其中两个为偶数，一个为奇 数（数值可以改变，但奇偶性不变）。但3，1997, 1999是三个奇数，所以2, 2, 2永远不会按照所述方 式变为 3, 1997, 1999o 想想练练1. 黑板上写着115共15个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。例如，擦掉5和11,

31、要写上15。经过若干次后，黑板上就会剩下一个数，这个数是儿？2. 在黑板上任意写一个口然数，然后用与这个口然数互质并口大于1的最小然数替换这个数，称为 次变换。问最多经过多少次变换，黑板上就会出现2?3. 口袋里装有101张小纸片，上面分别写着1101。每次从袋中任意摸出5张小纸片，然后算出这5 张小纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样做后，袋中述 剩下一张纸片，这张纸片上的数是儿？4. 在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上2和4。第二次把两段半弧 分别二等分，在分点标上相邻两数的平均数3 （图4）。第三次把四段弧再分别二等分，

32、在四个分点分别标 上相邻两分点两数的平均数。如此卜去，当第8次标完后，恻周上所有标出的数的总和是多少？丫吃草问题是英国大物理学家丫顿提出来的数学名题迪叫牛顿问题。这类题是讲t在一片匀速生长的草地 上吃草，假设每头牛每天的吃草量相同，那么草地上除了原有的草，还有新氏出来的草，而且乂被牛每天 消耗一部分，也就是说随着时间的变化，我们考察的量也在不断的变化，这就给我们解答这类应用题带來 了难度。此类问题，由于解题思路具冇一定的规律和模式，只要认真学习，仔细分析，就能掌握这类问题 的特点和解答方法，止确解答。解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天、每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多。 草的

33、总量是由两部分组成的：某个时间期限前草场上原有的草量；一段时间内草场均匀牛氏而新增的 草量。因此，我们在解答这类题时必须设法找出这两个量來：即原有的草暈和牧场上新增的草暈。然后将 牛分出一部分吃新生长的草，另一部分牛吃原冇的草，吃原冇草所用的时间就是这片草地能吃多少时间。分析解答这类应用题时，可以将一头牛单位时间的吃草量设为1份。准备题：冇一堆草，可供8头牛吃6天，那么这堆草可供12头牛吃几天？例1牧场上有一片匀速牛氏的草地，可供27头牛吃6周，如果这片牧场每周牛长的草量恰好能满足 15头牛的吃草量，那么这片草地够21头牛吃多少周？练习1：小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧

34、场可供10头羊吃20天，如杲 牧场每天新长的草够4头羊吃。小军家养了 24只羊，这片牧场可以吃儿天？例2牧场上冇一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么这片草地够21头牛 吃多少周？ 练习：2块牧场长满草，每天牧草都均匀生长.这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天.问： 可供25头牛吃多少天？3. 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛 吃10天，如果要供18头牛吃，可吃儿天？4一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等，每头牛的吃草 量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？5. 有

35、一口水井，持续不断地涌出泉水，每分钟涌出的泉水量相等，如果使用8架抽水机抽水，30分 钟可以抽完；如果使用5架抽水机抽水，60分钟可以抽完。现在要在18分钟内抽完水，需要多少抽水机？ 复习：（第一讲练习4）一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的牛长量每天相等， 每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？例1：（第一讲练习5）有一口水井，持续不断地涌！11泉水，每分钟涌！11的泉水量相等，如果使用8架 抽水机抽水，30分钟可以抽完；如果使用5架抽水机抽水，60分钟可以抽完。现在要在18分钟内抽完水, 需要多少台抽水机？例2 块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供

36、16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一 头牛一天的吃草量筹于4只羊-天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？例3人民商场9时开门营业，开门前就有人等候入场，如果从笫一个顾客来时起，每分钟来的顾客人数 都同样多。那么开4个门等候的人全部进入商场要8分钟，开6个门等候的人全部进入商场只要4分钟， 问第一个顾客到达时是几时几分？例4：两个顽皮的孩子逆着口动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯， 结果从阶梯的一端到达另一端男孩走了 100秒，女孩走了 300秒。问该扶梯共有多少级？练习题：1、一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。5台抽水机连续20天

37、町抽干；6台同样的抽水机 连续15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？2、口动扶梯以匀速rh下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒种向 上走1级,女孩每3秒走2级。结果男孩50秒到达楼上，女孩60秒到达楼上。该扶梯共有多少级？3、某天早晨8点，东方火车站进站处已有450名旅客等候检票进站。此时，每分钟还有若干人（每 分钟同样多）前來进站处准备进站。这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检 票口，7分钟可以放完旅客，现在要求5分钟放完旅客，则需要设立多少个检票口？4、冬冬沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了 100级，相同

38、的时间内，恬恬沿着自动 扶梯从底走到顶共走了 50级。如果冬冬同一时间内走的级数是恬恬的2倍，那么当自动扶梯静止时，a 动扶梯能看到的部分有多少级？5、工人文化宫开设了一个邮展，上午8时30分开门入场。每分钟到达工人文化宫门口的人数相等。 如果开4个门，8时35分门口的观众可全部进入展厅；如果开5个门，8时33分观众就可以全部进入展 厅。问笫一个到达邮展门口的观众是儿时儿分到达的？同一片牧场中的牛吃草问题。一般的解法是：两种吃草方式的草总量z差弓时间差二生长速度一种吃法的草总量一段时间草生长总量=原有草量原冇草量一（牛的头数吃新生草牛头数）二能吃的时间或：原有草量所需牛的头数+吃新草头数=所需

39、牛的头数例1：东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长,这片牧场可供18头牛 吃16天,或者供27头牛吃8天。如果东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场,6天中可供多少头牛吃草?例212头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草,21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天nj以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公市牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生 长草量相等）？例3:甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的煤炭，甲仓库用一台电动输送机和12个工人，5小时 可将甲仓库里的煤炭搬完；乙仓库用一台电动输送机和28个工人，3小时可将仓库内的煤炭搬完；丙

40、仓库 现有2台电动输送机，如果要在2小时内把丙仓库内的煤炭搬完，还要多少工人？（每个工人每小时工作 效率相等，每台电动输送机每小时工作效率相等，另外电动输送机与工人同时往外搬运煤炭。）1三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的而积分别是3公顷、10公顷和24公顷。 第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养21头牛，可以维持9周。问第三块牧场上饲养 多少头牛恰好可以维持18周？2、有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供 15头牛吃10天，另冇一块360（）平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧

41、场可供75头牛吃多少天？3、有一牧场，17头牛30天nj将草吃完，19头牛24天可以吃完。现在有若干头牛吃了 6天后，卖掉 了 4头牛，余下的牛可再吃两天将草吃完，问原來有多少头牛吃草？（草均匀牛长，每头牛每天吃草量相 同）4、一片牧草，如果让马和牛去吃，45天可将草吃尽，如果让马和羊去吃，60天将草吃尽，如果让牛 利羊去吃，90天可将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量和等于马每天的吃草量。现在让马牛羊一起去吃草,几天可以将这片牧草吃尽？相遇问题例1 ab两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从a、b两城岀发，甲以每小时45千米的速 度从a城到b城，乙以每小时35 t米的速度从b城到a城，各口

42、到达对方城市后立即以原速沿原路返回, 儿小时后，两午在途中笫二次相遇？相遇地点离a城多少千米？【边学边练】ab两地相距119千米，叩乙两车同时从a、b两地出发，相向而行，并连续往返于a、b两地。卬车 每小时行42千米，乙车每小时行28千米。几小时后，两车在途中第三次相遇？相遇时甲车行了多少千米？例2小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速 沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？【边学边练】甲、乙辆摩托车同时从a、b两地相对开出，两车在途中距a地80千米处第-次相遇，然后两车继 续前进，卡车达到b地，摩托车到达a地后都立刻返回，两车乂

43、在途屮距b地20千米处第二次相遇，a、 b两地间的路程是多少千米？例3客车和货车同时从甲、乙两地相对开岀，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相 遇后又以原來的速度继续前进，客车到达乙站后立即返冋，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇吋, 客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米？【边学边练】甲城、乙城相距90千米，小张与小王分别从甲、乙两城同时出发，在两城之间往返行走（到达另-城 后马上返冋）。在出发后2小时两人第一次相遇。小王到达甲城后返冋，在离甲城30千米的地方两人第二 次相遇。小张每小吋走多少千米？小王每小吋走多少千米？例4甲、乙、丙三辆车同时从a地出发到b地去，

44、卬、乙两车速度分别为每小时60千米和48米, 有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的 速度。【边学边练】甲每分钟走70米,乙每分钟走60米，丙每分钟走50米,甲从a地,乙丙两人从b地同时相向出发, 甲遇到乙后2分钟乂遇到丙，a、b两地相距多少米？【课外拓展】1、甲乙两地相距258千米。一辆汽车和一辆拖拉机同时分别从两地相对开出，经过4小时两车相遇。 已知汽车的速度是拖拉机速度的2倍。相遇时，汽午比拖拉机多行多少千米？2、甲乙两车分别从a、b两站同吋出发，相向而行，第一次相遇吋在距a站28千米处，相遇后两车 继续前进，各白到达b、a两站后，立

45、即沿原路返冋，第二次相遇距a站60千氷处。a、b两站间的路程 是多少千米？3、小张与小王早上8时分别从甲、乙两地同时相向出发，到10时两人相距112.5千米；继续行进到 下午1时，两车相距还是112.5千米。问两地相距多少千米？4、甲每分钟走80米，乙每分钟走60米。两人分别从a、b两地同时出发，在途中相遇后继续前进, 先后分别到b、a两地后即刻沿原路返回，卬乙二人又再次相遇。如果ab两地相距420米，那么两次相 遇地点之间相距多少米？【走进赛题】1、小冬、小青两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40千米处笫一次相遇。相遇后两 人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路

46、返冋，途中两人在距乙地15千米处第二 次相遇，屮乙两地相距多少千米？（哈尔滨市第十一届数学竞赛试题）2、甲乙两站相距360 t米，客车和货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行60 t米，货车每小 时行4（） t米。客车到达乙站后停留（）.5小时，又以原速返回卬站，两车和遇地点离乙站多少t米？（全国 笫三届“新苗杯”试题）3、小张、小王两位运动员进行竞走训练，小张从卬地、小王从乙地两人同时出发，在两地z间往返 行走（到达另一地后就马上返回）。在离卬地3.5千米处他们第一次相遇，又在小张离开乙地3千米处第二 次相遇。这样继续下去，当他们第四次相遇时，距甲地多少千米？（2002年吉林省笫八届小学数

47、学邀请赛 试题）4、如图，a、b迢岡上直径的两端，小张在a点，小王在b点同时出发反向而行，他们在c点第一 次相遇，c离a有80米，在d点笫二次相遇，d点离b点有60米，求这个圆的周长。追及问题例1 一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步，平均每分钟跑250 米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？分析当甲、乙同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲又追上乙，这时甲比乙要多跑 1圈，即甲乙的距离差为400米，而甲乙两人的速度已经知道，用环形跑道t除以速度差就 是要求的吋间。解：甲乙的速度差：300-250=50 （米）甲追上乙所用的时间：3004-50=8 （分

48、钟）答: 经过8分钟两人相遇。【边学边练】两名运动员在湖周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时 同地同向出发，经过45分钟甲追上乙如果两人同吋同地反向出发，经过多少分钟两人相遇？ 例2 -支队伍长350米，以每秒2米的速度前进，一个人以每秒3米的速度从队尾赶到队头, 然后再返回队尾，一共要用多少分钟？分析要求一共要多少分钟，必须先求出从队尾赶到队头要多少分钟，再求出从队头到队尾要 用多少分钟，把这两个时间相加即可。解：赶上队头所需要吋间：3504- （3-2） =350 （秒）返冋队尾所需时间：350一（3+2） =70 （秒）一共用多少分钟？ 350+70=4

49、20 （秒）=7 （分）答：一共要用7分钟。【边学边练】一支队伍长450米，以每秒3米的速度前进，一个通讯员骑车以匀速从队尾赶 到队头用了 50秒。如果他再返回队尾，述需要多少秒？例3某校202名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，前后相邻两个人之间的距离 为0.5米。李老师从队尾骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后又返冋到队尾，一共要用 多少秒？分析要求一共要用多少分钟，首先必须求出队伍的长度，然后可以参照例2解题。解：这支路队伍长度：（2022-1） x0.5=50（米）赶上队头所需要时间：504- （5-3） =25 （秒）返冋队尾所需时间：504- （5+3） =6.25 （秒）

50、一共用的时间：25+6.25=31.25 （秒） 答：一共要用31.25秒。【边学边练】有966名解放军官兵排成6路纵队参加抗洪抢险。队伍行进速度是每秒3米，丽后两排的间 隔距离是1.2米。现冇一通讯员从队头赶往队尾用了 16秒钟。如果他再从队尾赶到队头送信 还需要多少时间？例4甲、乙、丙三人都从a地出发到b地。乙比内晚出发10分钟，40分钟后追上内i甲比 乙晩出发20分钟，100分钟追上乙；甲出发多少分钟后追上丙？例4甲、乙、丙三人都从a地出发到b地。乙比丙晚出发10分钟，4（）分钟后追上丙；甲比 乙晚出发20分钟，100分钟追上乙；甲出发多少分钟后追上丙？设丙的速度为1米/分钟当乙追上丙时

51、，丙共行t ix （40+10） =50米，由此可知乙行50 米用了 40分钟,乙的速度为504-40=1.25 （米/分钟）;（2）当甲追乙时,乙已经先出发走了 20分钟，这时甲乙的距离差为1.25x20=25 （米），甲乙的速度差为254-100=0.25 （米）；甲 的速度为1.25+0.25=1.5 （米）；（3）当甲追丙时，丙已经先出发走了 10+20=30分钟，这时甲 丙的距离差为1 x （10+20）=30米,速度差为1.5-1=0.5 （米/分钟）,追及时间为304-0.5=60（分 钟）。【边学边练】小明、小峰和小光三人都从甲地到乙地，早上6吋小明、小峰两人一起从甲地出发，小

52、明每 小时走5千米，小峰每小时走4千米，小光上午8时从甲地出发，傍晚6时，小光、小明同 时到达乙地。小光什么时候追上小峰？1、甲乙两人在周长400米的环形跑道上竞走，已知乙的速度是平均每分钟80米，甲的速度 是乙的1.25倍，甲在乙前100米，问多少分钟后，甲可以追上乙？2、一队自行车运动员以每小吋24 t米的速度骑车从甲地到乙地，两小吋后一辆摩托车以每小 时56千米的速度也从甲地到乙地，在甲地到乙地距离的二分之一处追上了自行车运动员.问:甲 乙两地相距多少千米？3、自行车队出发12分钟后，通讯员骑摩托车去追他们，在距离出发点9千米处追上了自行 车队。然后，通讯员立刻返冋出发点，随后乂返冋去追

53、上了口行车队，再追上时恰好离岀发 点18千米，试求自行车队和摩托车的速度。十-相遇和追及（-）在行程问题屮，冇时要讨论两个或几个运动物体（人、车、船等）行进的关系，当它们在同 一段路两个不同的地点相向而行时，如果同时到达一个地点，通常叫做相遇；当它们同向而 行吋，如果后面的行进速度比前面快，后面的与前面的同吋到达同一地点，通常叫做追及。例1：小明上午8时骑自行车以每小时12千米的速度从a地到b地，小强上午8时40分骑 口行车以每小时16千米的速度从b地到a地，两人在a、b两地的中点处相遇，a、b两地 间的路程是多少千米？解：这是一个相向而行相遇求路程的问题。但两人不是同时出发，如果能转换成同时

54、出发， 并且求出行多少小吋相遇，就可以用数学课学的方法解答。两人在两地间的路程的中点相遇，但小明比小强多行了 40分钟，如果两人同时出发，相遇吋, 小明行的路程就比小强少12-60x40=8 （千米），就是当小强出发时，小明已经行了 8千米, 从8时40分起两人到两人相遇，由于小明每小时比小强少行16-12=4 （千米），说明两人相 遇时间是84-4=2 （小时），那么，a、b两地间的路程是8+ （12+16） x2=64 （千米）。 答：a、b两地间的路程是64千米。例2：甲、乙两村相距3550米，小伟从甲村步行往乙村，出发5分钟后，小强骑自行车从乙 村前往甲村，经过10分钟遇见小伟。小强齡

55、车每分钟行的比小伟步行每分钟多160米，小伟 每分钟走多少米？解：如果小强每分钟少行160米，他行的速度就和小伟步行的速度相同，这样小强10分钟就 少行了 160x10=1600 （米），小伟（5+10）分钟和小强10分钟一共行走的路程是3550- 1600=1950 （米）,那么小伟每分钟走的路是19504- （5 + 10+10） =78 （米）。答：小伟每分钟走78米。例3：客车从东城和货车从四城同时开出，相向而行，客车每小时行44千米，货车每小时行 36千米，客车到西城比货车到东城早2小时。两车开出后多少小时在途中相遇？解：当客车到西城吋，货车离东城还有2x36=72 （千米），而货车

56、每小吋行的比客车少44 36=8（ t米），客车行东西城间的路程用的时间是72三8=9（小时），因此东西城相距44x9=396（千米），两车从出发到相遇用的时间是;396一 （44+36） =4.95 （小时）答：两车开出后4.95小时在途屮相遇。例4：甲、乙二人同一天从北京出发沿同一条路骑车往广州，甲毎天行100千米，乙第一天 行70千米，以后每天都比前一天多行3千米，直到追上甲，乙出发后第几天追上甲？解：二人同时、同地出发同向而行，但开始吋，乙比甲行得慢，当乙的速度增加到与甲相同 前，两人间的距离越拉越大，当乙的速度超过甲时，两人间的距离又越来越近，直到乙追上 甲。开始时，乙一天行的比甲少

57、100-70=30 （千米），以后乙每天多行3千米，到与甲速相同要 经过30一3=10（天），即前10天，甲、乙之间的距离是逐天拉大的，第11天两人速度相同, 从第12天起，乙的速度开始比甲快，与甲的距离逐天拉近，所以，乙追上甲用的时间是：10 x2+l=21 （天）。答：乙岀发后第21天追上甲。例5：甲、乙两地相距10千米，快、慢两车都从甲地开往乙地，快车开出时，慢车已行了 1.5 千米，当快车到达乙地时，慢车距乙地还有1千米，那么快车在距乙地多少千米处追上慢车？ 解：慢车行了 1.5千米，快车才开出，而快车到达乙地吋，慢车距乙地还冇1千米，就是在 快车行1（）千米的时间里，比慢车多行的路程为1.5 + 1=2.5 （千米）。快车每行1千米比慢车 多 2.5 一 10=0.25 （千米）。而快车开出时，慢车己经行了 1.5千米，快车在追上慢车，就要在两车同时行的时间里比慢 车多行15千米,这一时间快车要1.54-0.25=6 （千米），这时快车距乙地10-6=4 （千米）。 答：快车在距乙地4千米处追上慢车。*例6：如下图所示，甲骑口行车从a出发，同时乙、丙从b出发，相背步行，甲每分钟行 320米，乙、丙步行速度相同，乙走了 1200米与甲相遇，此后甲又行了 10分钟追上丙。a、 b相距多少米？解：乙走了 1200米与甲相遇，内的速度和乙相同，内也走了 1200米