2016年全国高考文科数学试题及解析全国卷I

1、文科数学试卷绝密启封并使用完毕前试题类型： a 2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分.第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第卷一选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合1,3,5,7a，|25bxx，则ab（）a.1,3b. 3,5c. 5,7d. 1,72. 设(12 )()ia

2、i的实部与虚部相等，其中a为实数，则a（）a.3b. 2c. 2d. 33. 为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余下的2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）a.13b. 12c. 23d. 564. abc的内角,a b c的对边分别为, ,a b c，已知5a，2c，2cos3a，则b（）a.2b. 3c. 2d. 35. 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）a.13b. 12c. 23d. 34文科数学试卷6. 将函数2sin(2)6yx的图像向右平移14个周期后，

3、所得图像对应的函数为（）a. 2sin(2)4yxb. 2sin(2)3yxc. 2sin(2)4yxd. 2sin(2)3yx7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是283，则它的表面积是（）a.17b. 18c. 20d. 288. 若0ab，01c，则（）a.loglogabccb. loglogccabc. ccabd. abcc9. 函数2| |2xyxe在 2,2的图像大致为（）a b c d -2 2 y x -2 2 y x -2 2 y x -2 2 y x 文科数学试卷10. 执行右面的程序框图，如果输入的0 x，1y，

4、1n，则输出,x y的值满足（）a.2yxb. 3yxc. 4yxd. 5yx11. 平面过正方体1111abcda bc d的顶点a，/ 平面11cb d，平面abcdm，平面11abb an，则,m n所成角的正弦值为（）a.32b. 22c. 33d. 1312. 若函数1( )sin 2sin3f xxxax在(,)单调递增，则a的取值范围是（）a. 1,1b. 1 1, 3c. 1 1, 3 3d. 1 1,3第 ii 卷二、填空题（每小题5 分，共 4 小题， 20 分）13. 设向量( ,1)ax x，(1,2)b，且ab，则x14. 已知是第四象限角，且3sin()45，则ta

5、n()415. 设直线2yxa与圆22:220c xyay相交于,a b两点，若| 2 3ab，则圆 c的面积为16某高科技企业生产产品a 和产品 b需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品a 需要甲材料1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品b需要甲材料0.5kg，乙材料0.5kg，用 3 个工时，生产一件产品a的利润为2100 元，生产一件产品b的利润为900 元，该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品a，产品 b的利润之和的最大值为元文科数学试卷三、解答题（共70 分）17.（ 12 分）已知na是公差为3 的等差数列，数列n

6、b满足11b，213b，11nnnna bbnb（i）求na的通项公式；（ii）求nb的前 n 项和18.（12 分）如图，已知正三棱锥pabc的侧面是直角三角形，6pa，顶点 p在平面 abc内的正投影为点 d， d在平面 pab内的正投影为点e，连结 pe并延长交ab 于点 g （i）证明： g 是 ab 的中点；（ii）在答题卡第（18）题图中作出点e 在平面 pac内的正投影f（说明作法及理由） ，并求四面体pdef的体积19.（12 分）某公司计划购买1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期

7、间，如果备件不足再购买，则每个 500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期间更换的易损零件数，得下面柱状图：p e a d g b c 频数24 20 16 10 6 0 更换的易损零件数16 17 18 19 20 21 文科数学试卷设x表示 1 台机器在三年使用期内需要更换的易损零件数，y表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元） ，n表示购机的同时购买的易损零件数（i）若19n，求y与x的函数解析式；（ii）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（iii）假设这 100 台机器在购机的同

8、时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个易损零件， 分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均值，以此作为决策依据，购买1 台机器的同时应购买19 个还是 20 个易损零件？20.（12 分）在直角坐标系xoy中，直线1:(0)lyt t交y轴于点 m，交抛物线2:2(0)cypx p于点 p，m 关于 p的对称点为n，连结 on 并延长交c于点 h （i）求|ohon；（ii）除 h 以外，直线mh 与c是否有其它公共点？说明理由. 21.（ 12 分）已知函数2( )(2)(1)xf xxea x（i）讨论( )f x的单调性；（ii）若( )fx有两个零点，求a的

9、取值范围选做题22.（ 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，oab是等腰三角形，120aob，以o为圆心，12oa为半径作圆（i）证明：直线ab 与圆o相切；（ii）点 c，d 在圆o上，且 a，b，c， d 四点共圆，证明ab/cd o a b d c 文科数学试卷23.（ 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，曲线1c参数方程为cos1sinxatyat（t 为 参数，0a） ，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cosc（i）说明1c是哪一种曲线，并将1c的方程化为极坐标方程；（ii）直线3c的极坐标方程为0，其中0满足0tan2，

10、若曲线1c与2c的公共点都在3c上，求a24.（ 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数( )|1|23|f xxx（i）在答题卡第（24）题图中画出( )yf x的图像；（ii）求不等式|( ) | 1f x的解集文科数学试卷2016 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）b (2) a （3）c （ 4）d （5）b （6）d （7）a （8） b （ 9）d （10）c （ 11）a （12）c 第 ii 卷二、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分. （13）23（

11、14）43（15）4（16）216000三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （i）由已知，1221121,1,3a bbb bb得1221121,1,3a bbb bb得12a，所以数列na是首项为2，公差为3 的等差数列，通项公式为31nan. （ii）由（ i）和11nnnna bbnb，得13nnbb，因此nb是首项为 1，公比为13的等比数列 .记nb的前n项和为ns，则111 ( )313.122 313nnns（18） （i）因为p在平面abc内的正投影为d，所以.abpd因为d在平面pab内的正投影为e，所以.abde所以ab平面ped，故.abpg又

12、由已知可得，papb，从而g是ab的中点 . （ii）在平面pab内，过点e作pb的平行线交pa于点f，f即为e在平面pac内的正投影 . 文科数学试卷理由如下：由已知可得pbpa，pbpc，又/ /efpb,所以efpc,因此ef平面pac，即点f为e在平面pac内的正投影 . 连接cg，因为p在平面abc内的正投影为d，所以d是正三角形abc的中心 . 由（ i）知，g是ab的中点，所以d在cg上，故2.3cdcg由题设可得pc平面pab，de平面pab，所以/ /depc，因此21,.33pepg depc由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6pa，可得2,2 2.depe在等腰直角三角

13、形efp中，可得2.efpf所以四面体pdef的体积114222.323v（19） （i）分 x19 及 x.19，分别求解析式； （ii）通过频率大小进行比较；（ iii）分别求出您9，n=20 的所需费用的平均数来确定。试题解析：（）当19x时，3800y；当19x时，5700500)19(5003800 xxy，所以y与x的函数解析式为)(,19,5700500,19,3800nxxxxy. （）由柱状图知，需更换的零件数不大于18 的概率为0.46，不大于19 的概率为0.7，故n的最小值为 19. （） 若每台机器在购机同时都购买19 个易损零件， 则这 100 台机器中有70 台在

14、购买易损零件上的费用为3800，20 台的费用为4300，10 台的费用为4800，因此这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4050)104500904000(1001. 比较两个平均数可知，购买1 台机器的同时应购买19 个易损零件 . （20） （）由已知得),0(tm，),2(2tptp. 又n为m关于点p的对称点，故),(2tptn，on的方程为xtpy，代入pxy22整理得0222xtpx，解得01x，ptx222，因此)2,2(2tpth. 文科数学试卷所以n为oh的中点，即2|onoh. （）直线mh与c除h以外没有其它公共点.理由如下：直线mh的方程为xtpty2

15、，即)(2typtx.代入pxy22得04422ttyy，解得tyy221，即直线mh与c只有一个公共点，所以除h以外直线mh与c没有其它公共点. （21） (i)12112.xxfxxea xxea(i)设0a，则当,1x时，0fx；当1,x时，0fx. 所以在,1单调递减，在1,单调递增 . (ii)设0a，由0fx得 x=1 或 x=ln(-2a). 若2ea，则1xfxxee，所以fx在,单调递增 . 若2ea，则 ln(-2a)1,故当,ln21,xa时，0fx；当ln2,1xa时 ，0fx， 所 以fx在,ln2, 1,a单 调 递 增 ， 在ln2,1a单调递减 . 若2ea，

16、则21lna， 故 当, 1l n2,xa时 ，0fx， 当1, l n2xa时，0fx，所以fx在,1 , ln2,a单调递增， 在1,ln2a单调递减 . (ii)(i)设0a，则由 (i)知，fx在,1单调递减，在1,单调递增 . 又12fefa，取 b 满足 b0 且ln22ba，则23321022afbba ba bb，所以fx有两个零点 . (ii)设 a=0，则2xfxxe所以fx有一个零点 . (iii)设 a0，若2ea，则由 (i)知，fx在1,单调递增 . 文科数学试卷又当1x时，fx0，故fx不存在两个零点；若2ea，则由 (i)知，fx在1,ln2a单调递减，在ln2

17、,a单调递增 .又当1x时fx0，故fx不存在两个零点. 综上， a 的取值范围为0,. （22） （）设e是ab的中点，连结oe，因为,120oaobaob，所以oeab，60aoe在rt aoe中，12oeao，即o到直线ab的距离等于圆o的半径，所以直线ab与o相切eodcoba（）因为2oaod，所以o不是,a b c d四点所在圆的圆心，设o是,a b c d四点所在圆的圆心，作直线oo由已知得o在线段ab的垂直平分线上，又o在线段ab的垂直平分线上，所以ooab同理可证，oocd所以/abcd（23）cos1sinxatyat（ t 均为参数）2221xya1c为以01，为圆心， a 为半径的圆方程为222210 xyya