分类讨论思想及其运用

1、年级初三学 科数学版本通用版内容标题函数、方程、不等式综合编稿老师王占元【本讲主要内容】函数、方程、不等式综合包括函数、方程、不等式之间的联系，以及综合应用函数、方程、不等式解数学题。【知识掌握】【知识点精析】1. 二次函数、二次方程、二次不等式z间的联系若二次函数 y = ax，+bx + c(aho)中，令 y = 0,则得ax2 + bx + c = 0(a 0),于是二 次函数变成了二次方程。令yho,则得到ax2 +bx + c>o(ao)或ax'+bx + cvo,于是二次函数变成了二次 不等式。2. 二次两数、二次方程、二次不等式的图象表示抛物线与x轴交点方程的根判

2、别式2个两个不等实根a>01个两个相等实根a =00个无实根a<0a>0【解题方法指导】例1. (2003年天津)已知抛物线y = x2-2x-8,求证：该抛物线与x轴一定冇两个交点。 分析：可令y=0,变成一元二次方程，判断a是否大于0。解：令y=(),得关于x的方程x2 -2x-8 = 0 = (-2)2 -4x lx(-8) = 36>0方程/ -2x-8 = 0有两个不相等的实数根即抛物线y = x2 -2x-8与x轴一定有两个交点评析：此题的解法是将二次函数转化为一元二次方程，通过判断方程根的个数加以解决 的。此题也可以画出抛物线的图彖作出判断。例2.已知：二

3、次函数y = x?+6x + 5(1) 问抛物线与x轴是否有交点？(2) 若有交点，什么情况下图彖在x轴上方，在x轴下方，在x轴上？分析：(1)可先将二次函数转化为二次方程，再用判别式判断；(2)可先求出一元二次 方程的根，画出抛物线的示意图，然后结合图象作出判断。解：(1)令 y=0,得 x? + 6x + 5 = 0a = 62 -4x 1 x5=16>0方程有两个不等实根即抛物线与x轴有两个交点(2)解/ +6x + 5 = 0(x + l)(x +5) = 0x = -1, x2 = -5vy = x2 +6x4-5的二次项系数>0抛物线开口向上，它的示意图如图所示当x&l

4、t;-5ngx>-llhf,它的图象在x轴上方；当一5vxv 1时，它的图象在x轴下方；当x = -5或x = 1时，它的图象在x轴上。评析：令y = ax2+bx + c = 0,使二次函数转化为二次方程，再判断抛物线与x轴是否 有交点，这种方法比较简便；要判断抛物线的图象在x轴上方、下方及在x轴上，结合图象 判断比较方便。如果利用解不等式组，同样町以解决：x2 +6x + 50,(x + l)(x+ 5) > 0,(x + 1)与(x+ 5)1 司号x+l>0 jx+lvox + 5>0_ x + 5<0£ 關:；因此x一1或x <5其余照此方

5、法解决即可。例3.试求y = -x2 + 2x - 1的最大值或最小值。分析：由于x?的系数为1,小于零，所以抛物线的开口向下，因此必有最人值，再设 法求出最大值。chnaedu.com解：令 y=0,贝!j得-x2 +2x- 1 = 0ax2 - 2x + 1 = 0(x-1)2 =0 x, = x2 = 1 = (-2)2 -4 = 0抛物线和x轴只有一个交点，即(1, 0)二y最大=°评析：二次函数冇无最大值或最小值，是由开口方向决定的，而开口方向又由a>0或 avo來决定的。【考点突破】【考点指要】一元二次方程，二次函数是重要的数学知识，而它们z间的联系，对考查同学综合

6、运川 知识的能力很有好处，因此在屮考的试题中经常川到，而且把不等式的解法也运用进來，更 体现出数学知识的内涵丰富。但在解题吋，要根据题目的特点，选用合适的方法，使解法更 为简捷。【典型例题分析】例1. (2002年上海)己知：二次函数ynx?-2(m-l)x + m2-21“一3,其中m为实数(1) 求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；(2) 设这个二次函数的图象与x轴交点为a (xi，0), b (x2, 0),且x、x2的倒数和 2为兰，求这个二次函数的解析式。3分析：(1)只要判断出>()即可。(2)关键是求出m的值，二次函数便可求出，而求 m的值需先将所给

7、的二次函数转化为二次方程，再由一元二次方程根与系数的关系，以及1 1 ?+ 列出方程，求出m的值。xj x2 3解：(1)令 y=0, x2 - 2(m - l)x + m2 - 2m -3 = 0a = -2(m 一 l)2 一 4(m2 一 2m - 3)= 4m2 - 8m + 4 -4m2 +8m + 12= 16>0i方程x2 -2(m-l)x + m2 -2m-3 = 0必有两个不相等的实数根不论m収何值，该二次函数与x轴必有两个交点(2) vxi> x2是方程x2 -2(m-l)x + m2 -2m-3 = 0的两个实数根*. x)+ x2 = 2(m - 1), x

8、jx2 = m2 - 2m 一 311 x. + x2 2+ = 一x| x2 xx2 3.2(m-l)_2m2 - 2m - 332m2 - 10m = 0m2 - 5m = 0ni = oi4km2 =5chnaedu.com.所求二次函数的解析式为y = x? +2x-3或y = x? -8x + 12评析：在解此题时，无论是要运用根与系数关系，或根的判别式，都要先将二次函数改 为二次方程，不能说由 y = x?+2x 3 得 x+x2=2, xjx2 =-3 , a = 22 - 4 x 1 x (-3)«例2. (2003年苏州)已知抛物线y = x2 + (1 - 2a)

9、x + a2(a0)与 x 轴交于 a (x，0)、b (x2, 0) ( xj x2)(1) 求a的取值范围，并证明a、b两点都在原点o的左侧；(2) 若抛物线与y轴交于点c, r oa+ob = oc-2,求a的值。分析：(1)先将二次函数转化为二次方程，由判别式>()求出a的取值范围；再由a、 b两点横处标的符号决定它在原点的哪一侧。(2)由a、b两点在原点的左侧，得出x|vo, x2<0,再由方程oa+0b=0c 2,求出 a的值。解：(1) v抛物线与x轴交于a (xp 0) b(x2，0)两点，且xhx2令 y=0, wx2 +(l-2a)x + a2 =0a = (1

10、 -2a)2 -4 x 1 x a2=1 - 4a + 4a2 - 4a2= l-4a>0a < 丄，且a h 04x(x2 = a2 >0, xt, x?必同号而 x j + x2 = (1 2a) = 2a 1 < 0.x, x2必同为负数a点、b点都在原点左侧(2)xi，x2同为负数，乂 oa+ob=oc2x j x2(x | +火2)=屏2l-2a = a2 -2a2 +2a-3 = 03 j = 3, a > = 1乂.a <丄且ao,二a的值为-34评析：欲判断点的位置在原点哪一侧，要根据它的横坐标的符号来定。例3.已知：以x为自变量的二次函数y

11、 = -x?+(2m + 2)x (m2+4m 3)中，m为不小 于零的整数，它的图象少x轴交于点a和点b,点a在原点左边，点b在原点右边，求这 个二次函数的解析式。分析：先将二次函数转化为二次方程，由于抛物线和x轴有两个交点，所以一元二次方 程根的判别式a>(),又由限制条件m为不小于零的整数，求出m的值。再求出它的解析式。解：令y = 0,得-x2 + (2m + 2)x - (m2 + 4m - 3) = 0即 x2 一 (2m + 2)x + (m2 + 4m - 3) = 0抛物线与x轴有两个交点 a = (2m + 2)j2 一 4(m2 + 4m - 3)=4m + 8m

12、+ 4 - 4m 一 16m + 12= -8m+ 16> 0m<2又m为不小于零的整数*. 0 < m < 2/. m, =0, m2 = 1当 m=0 吋，得丫 = -x2 +2x + 3由-x2 +2x + 3 = 0, x2 -2x-3 = 0 x| = 1, x?=3抛物线与x轴的两个交点坐标为(-1, 0)和(3, 0),符合一个交点在原点左侧，一个 交点在原点右侧。当 m=l 时，得 y = -x，+4x-2由-x，+ 4x - 2 = 0 ,得 x? - 4x + 2 = 0/. x| = 2 v2, x2 = 2 + v2抛物线与x轴的两个交点(2-迈

13、,0), (2 + v2 , 0)均在原点右侧，不合题意， 舍去.二次函数的解析式为y = -x? +2x + 3评析：在求二次函数解析式时，若给出了字母系数m 个限制条件，即m为不小于零 的整数，通常再由一个不等式(如>()逼出一个区间，再定出m的值。当求出m的值后，述需代入原二次函数的解析式，求出它的解析式，再将其转化为方 程，求出它的解，判断点的位置是否符合题意，再决定取舍。【综合测试】1. 判断二次函数y = 2x?-x + 1的图彖与x轴是否有交点？它的图象在x轴上方，还是下 方？2. 已知抛物线y = x2-(m-3)x-m(1) 证明：无论m为何值，抛物线与x总有两个交点；

14、(2) 当m为何值吋，抛物线与x轴的两个交点间的距离等于3。3. 已知函数y = x'+kx-3图象的顶点为c,并与x轴相交于两点a、b,且ab=4(1) 求实数k的值；(2) 若p为上述抛物线上的一个动点(除点c外)，求使smbp=saabc成立的点的处 标。4. 已知二次函数的图象经过点a (1, 0)和点b (2, 1),且与y轴交点的纵处标为m。(1) 若ni为定值，求此二次函数的解析式；(2) 若二次函響巴目象与x轴还有异于点a的另一个交点，求m的巴值范亂匚供猛爱生命吗&可越u浪费时间7因右时间念组茲j命的材料 富兰克林chnaedu.com【综合测试答案】1. 无交

15、点，上方解：令 y=0,得2x2 - x + 1 =0a = (-l)2 - 4x2x1 =-7 <0该一元二次方程无实根该抛物线与x轴无交点乂 a = 2>0抛物线开口向上抛物线在x轴上方2. (1) a>0(2) m=0 或 m=2解：(1)令 y=0,得 x? -(m - 3)x - m = 0a = f-(m- 3)2 -4 x 1 x (-m)=m2 -6m+ 9 +4m=m2 - 2m 4- 9= (m-l)2 +8v(m-l)2 >0/. a > 0抛物线与x轴总有两个交点(2)设抛物线与x轴两个交点的坐标为(x” 0),(x2, 0)由肢2-xj=

16、3. j(x2 - x| )2 = 3xx)+ x2 = m-3, xjx2 = -mv(x2 + x1)2 -4xjx2 =3j(m- 3尸 - 4(-m) = 3 , (m- 3)2 + 4m = 9m2 -2m = 0ni = 0, m2 = 2经检验，m=0, m2 =2都是方程的根/. m = 0或m = 23. (1) k = ±2(2) (-1 + 2血，4) , (-1-2v2, 4) ,(1 + 2v2, 4),(1 - 22, 4)解：(1)令 y=0, x2 +kx-3 = 0设 a(x), 0), b(x2，0)iabi=lx2 - xl= j(x2 - xj2 = -j(x! + x2)2 -4xjx2 = j(-k)? + 12 = 4z.k2 + 12 = 16k2 =4, /. k = ±2(2) y = x2 ±2x-3 = (x±l)2 -4得 ci (1, -4), c2 (-1, -4)saabc = x4x4 = 8设点p (x, 4)在抛物线上，即x2 ±2x-3 = 4即 x2 ±2x-7 = 0解得x = -1 ± 2血或x = 1 ± 2血点 p坐标为(-1 + 22, 4), (-1-272, 4), (1 + 2v2,