09~11福建省普通高中毕业班质量检查文科数学

1、2011年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）本试卷共5页满分150分.考试时间120分钟注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域 书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 选择题答案使用2b铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0. 5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4. 做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑5. 保

2、持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体体积公式v = ysh其中s为底面面积，h为高 球的表面积、体积公式其中r为球的半径祥本数据的标准差s 二（帀-£）2 * （牝一云）2 + + （% y）'其中x为样本平均数柱体体积公式v = sh其中s为底面面积，h为高第i卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集1> 0丄2,345,集合2 04)3 =0, 5贝等于(a0b. 2,4c. 52在等差数列%中，a.+ a5二16,则a?等于

3、（a.8b.4d. -83.已知圆j+ dx + ey =0的圆心在直线x+y二1上则d与e的关系是（a. d+e=2b. d+e = 1c.d+e= -7d.d+e= -22 “4.设p（x,y）是函数y = （ >0）图象上的点x + y的最小值为（xc.4a.25.已知三棱锥的正视图与俯视图如右图，俯视图是等腰直角三角形,棱锥的侧视图可能为（）那么该三俯视图1d6. 已知向量q=（1, 2）, i=（-l, 0）,若（a + xd）丄a,则实数入等于（）5la. -5b.yc j5d.5itt vu j7. 运行右图所示框图的相应程序,若输入a,b的值分别为呱3和咚2,则输岀m的值

4、是（）/输蓉/a.0b.1c. 2d.-11m=ax a+l1/输出m /j i j8. 设m,n是空间两条不同直线，s0是空间两个不同平面，当时，下列命题正确的是（）a.若皿几，贝la /3b.若皿丄n,则a丄0c若m丄伏则m丄门d.若"丄a,则皿丄f 1x1 <29. 已知平面区域“=（戈）2 = （x,y）l（x-2）2+（y-2）2<4.在区域e内随机选取一点lyl <2 p,则点p恰好取自区域d2的概率是（）1it7ttfa. tb tc16d 3210在abc.中，角a,b,c所对的边分别为a.b.co且心4盪月二45。，面积s=2,则b等于（）a.5b

5、.吗辽c.75td.2511已知函数v = ar2 + - 1在（-8, 0是单调函数，贝l”=2ax+b的图象不可能是（）4y-/0x/ 0x0/ 50'ab(d12.已知函数/&）二列"十+6戈+a° （n>2且応n'）设利是函数广（“的零点的最大值，则下述论断一定错误的是（）a.厂仏）*0. b.厂仏）=0 cf（g >0 d.厂（h°） <0第ii卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题,每小题4分，共化分.把答案填在答题卡相应位置.2尺3,则,/v(2)二x-11 x>3 915.若椭圆弓（a &g

6、t;b >0）的焦点及短轴端点都在同一圆上，则椭圆的离心率等于 a b16. 如图，有8个村庄分别用，血表示.某人从久出发，按箭头所示方向（不方向到达a* （每个村庄至多经过一次）有种不同的走法.可逆行）可以选择任意一条路径走向其他某个村庄，那么他从儿出发，按图中所示三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知函数/（«）=cos2x +一鲁“丘 r （i）求/（乎）的值;（ii）试讨论函数f （x）的基本性质（直接写出结论）.18.（本小题满分12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班二每班5

7、0人.陈老师采用a、b两种不同的教学 方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下.记成绩不低于90分者为“成绩优秀(i）在乙班样本的2 0个个体中从不低于86分的成绩中随机抽取2个,求抽出的两个均“成绩优秀啪勺概甲乙%69367999510801569944273458888851106077433252 5率;（ii）由以上统计数据填写下面列联表,并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀与教学方式有关.甲班（a方式）乙班（b方式）总计成绩优秀成绩不优秀总计附心2(a + 6)(c+d)(o +c)

8、(b + /)（此公式也可写成np(xf)0.250.150. 100.050.025k1.3232.0722.7063. 8415.02419.（本小题满分12分）如图，在rkxabc中,ab = bc =4,点e在线段ab上，过点e作ef/bc交ac于点f,将aaef沿ef折起到apef的 位置（点a与p重合），使得30。.（i）求证：ef丄pb;（ii ）试问：当点e在何处时，四棱锥p efcb的侧面peb的面积最大？并求此时四棱锥p-efcb的体积p20 （本小题满分12分）为进一步保障和改善民生，国家“十二五”规划纲要提出，“十二五”期间将提高住房保障水平,使城镇保障性 住房覆盖率达

9、到20%左右某城市2010年底有商品房a万套，保障性住房b万套（b<f）.预计2011年新增商品房i万套，以后每年商品房新增量是上一年新增量的2倍为使2015年底保障性住房覆盖率达到20%,该城市保障性住房平均每年应建设多少万套?（保障性住房覆盖率二保障性住房套数保障性住房套数+商品房套数*2"£口）21.（本小题满分12分） 已知函数/（巧=xe*.(i) 求/(j的单调区间与极值；(ii) 是否存在实数a使得对于任意的巧£(。，+8)：,且叫2恒有住"二心丄 如匕&1成立?b u«! a若存在，求a的范围，若不存在，说明理由.

10、22.(本小题满分14分)已知拋物线c： =2”(“ 0)±的一点q(m,2)到其焦点f的距离为3.(i) 求拋物线c的方程；(ii) 过坐标平面上的点f作拋物线c的两条切线h和12,分别交x轴于a,b两点.(i )若点“的坐标为(0, -1),如图，求证：abf1的外接圆过点f;(ii)试探究：若改变点f的位置，或拋物线的开口大小，(i)中的结论是否仍然“ 成立？由此给出一个使(i)中的结论成立的命题，并加以证明.(温罄提示：本小题将根据给出结论的一般性和综合性程度给分，但若给出的 命题是假命题，本小题不得分)2011年福建省普通髙中毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明

11、:一、本解答指出了每题要考査的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考 生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考査内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算额.当考牛的解答恋某一応出现错误时.如果后鳏韶分的解答夫改夺该倾的内 * > 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一 半;如果后继部分的解答有较严更的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数选择题和填空题不给中间分.一、选择题:本大题考査基础知识和基本运算.每小题5分满分60分.1. b 2. a 3.d 4. b 5. d

12、 6. d 7.c &c 9. c 10. a 11. b 12. d二、填空题:本大题考查基知识和基本运算毎小题4分.满分16分.13.2； 14.3； 15迄；16.21.三、解答题:本大题共6小题共74分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17. 本小题主要考査二倍角公式、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象与性质等基础知识，考査运算求解能力，考查化归与转化思想满分12分.解快心二屁1 土护匕込至（i >彳于）=»in2 x +=006 y=y.（h）函数人小的基本性质如下： 奇偶性:函数/（幻既不是奇函数，也不是偶西数; 单调性函数f（x）单减递增区-间为

13、加-誇阳+訂单调递减区同为荷+务，尿+筍awz）； io分 最值:函数人勿的最大值为1,最小值为-1； 11分 周期性:函数/&）的最小正周期为m 12分文科数学试題答案 第1页（共6页）解法二：（i ）/（于）=cos2 于+ sin4444-（n）/（x）x +柚血-弓=2sin2x +=血件+号）.下同解法一.注:如果考生正确给出函数/（力）的对称紬或对称中心等性质，相应给分.1&本小题主要考査茎叶图、2 x2列联表和概率等基础知识，考査数据处理能力、运算求解能 力及应用意识，考査必然与或然思想、分类与整合思想.满分12分.解;（i）设“抽出的两个均成绩优秀'”为

14、事件人从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为:(86,93),(86,96),(86,97) ,(86,99) ,(86,99),(93.96) ,(93,97),(93,99),(93,99), (96.97) ,(96,99),(96,99),(97.99) ,(97,99),(99.99) ,共 15 个.4分'而事件*包含基本事件：(93.96) ,(列,97) ,(93,99) ,(93,99),(96.97) ,(96,99),(96,99),(97.99) ,(97,99),(99,99) ,共 10 个.所以所求概率为p（4） =jj = y.（h）由已知数据得

15、 l甲班64方式乙班（3力式）总计成绩优秀156成绩不优秀191534总计20204010分丈科数学试題筌案第2页（共6页）根据列联表中数据. 宀塑半矜制6x34x20x20由t3. 137 >2.706.所以<90%的把搦认为成绩优秀”与教学方式有关. 12分19.本小題主耍考査宜线与宜綫、克线与平面的位量关系-棱链体积公式尊基础知识考査空间 想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考査番数与方程思想.满分.12分.解：（i ）在 rlaabc 中ef#bjab丄ec".丽丄 efleb,ef丄ep又t kbhep =£,a ef丄平面 peb.v pfic平面

16、peb,ef丄pe（n ）由（i）知ef丄平曲peb、又efu平面bcfe,二平面丄平面peh.又丁平面bcfeci平面peb = be. 在平面pe8内，过p点作po丄恥于d.pd丄平面bcfe设 pe （0.4），则 be=4-«, 在rt aped中小厶尸防= 30°.pd二斗，1,八-j-（"2）7 +1,&ii分56m=yxppxb£：=x-|x（4 -x） =当且仅当戈二2, ii卩e为ar的中点时,lpeb面积堆九 此时 pd = yx21f“7分9分易得5=+（4寺2） *2二610分=亍 x、埠x fd = x 6 x 1 =

17、2,12分20.本小题主要考査等羞数列、尊比数列尊基础知识，考査运算求解能力和应用意识，考査两数 与方程思想,满分也分.解:设平均每年应建设保障性住府为x万套.且 ,6.分别表示2011年开始该城市第n年 的新建商品房数和保障性住虏数.依题恵得耳=2-j厶=2x（1勿w5）. 3分设久为数列叭的前ri项札则工山£評=（21）口/. s, =31r. b5 =b ±5xt .0+5%_ 20 b +5x4u 4-31r166'解御x =20 ' a 31r -46).+ 31r-40）万套才能便覆盖率达到20备12分21 本小题主要考査函数、导数等基础知识，考

18、査推理论证能力、运算求解能力，考査化归与转 化思想、分类与整合思想及有限与无限思想满分12分.解：(i )由/'(*) =em(x + l)-1.当x变化时的变化情况如下表:x(-00 , -1)-1(-1, +00 )f(x)0+/(x)丄e可知/(工)的单调递减区间为(-8,-1),递增区间为(-1, +8),/(%)有极小值为人-1)=-丄，但没有极大值.c/ tt / 7(«) -/(a) xe1 -ae°(二u 丿' 乙=,x>a9x ax a 则jam (車)成立，即go在(a,+oo)内单调递増，力2 oxj o这只需gz(%) >

19、0.7分而 g (力)=一7w，(x-a)记人(兀)=e*(x2 -ax -a) +ae*,贝lj az(x) =e*x2 + (2 - a)x 2a =em(x+2) (x - a).故当a多-2,且力 时肝() >0.h(x)在。+8)上单调涕増.故人6) >a(a) =0,从而gx) >0,不等式()恒成立.9分另一方面，当av -2,且a<x< -2时9hf(x) <0,a(x)在a, -2上单调递减.又a(a) =0,所以吃)<0,即g'g) <0,g(x)在(a,-2)上单调递减.从而存在曲,x2,a <xt <x

20、2 <2,使得gg) <g(xl).可知，不等式(夕)不成立.11分12分因此。的取值范围是-2,+8)22.本小题考査抛物线的标准方程、苜线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查捋理论证能 力、运算求解能力及创新意识，考査化归与转化思想、数形结合思想及特殊与一般思想.满分14分.解法一 :(i )由抛物线的定义，得2-( -f)=3 ,解得p=2.故抛物线c的方程为x2 =4r. 3分文科数学试题答案第4页(共6页)y(u)( i依题虑知过点严(o, - i)且与曲线c相切的直线的斜率存在. 设其方程为y =d" =4*v由 一得-4虹+ 4=0 y=*x-i令 a =0

21、 得* = ± 1.设x交鼻紬于点九“交戈轴于点r故所求的两条切线分别为s j 1丛:7 =y sz x 1 (；二0得脱】0)y = x 1 .由 n 得/ -1,0). 6分ly=o*设氐abf的外接圆方程为乌+ d =0te=0f t=-lrl +"f=0,i -d+f=0,解得,.1 -£ + f=0f故aef的外接圆方程为十/ = 1,它过点f(0,l) 7分(ii )命题:设尸为抛物线x2二2咼外一点若过点f'作拋物线的朗条切线二匚分别交x轴于.4上两点侧的外接圆过此抛物线的焦点f.9分证明:设a , a分别切抛物线/ “py于p心,yt)上心

22、彷),则耐*0,知*0人厶的方程分别为y-竹=( _)和j* _丁2由宀今八得煜,0),ly=0由厂x許 f，得巩第0,9* =010分ab的垂直平分线方程为af的垂宜平分线方程为了-三乜二-乩(为-空字立)，4p »i4它”的交“自为"f(纟壬匕) 12分4 4p又f（0号）故af的中点为"'（#¥），所以币=二仔劈）币而.警讐7o op故线段ab, afr ,4f的垂倉平分线相交于一点码即af, f都在以点m为圆心的观上,也就是说.aabf的外接圆过点f 14分解法二m i ）同第法一< nx讨同解法一（ii）命题:设f为地物线x2 =

23、2"外一点，若过点尸作拋物线的网条切线x仏，分别交*轴于九b两点，则abf的外接圆过此拋物线的焦点f. 9分证明：设分别切抛物线八切于r（巧加）h（血为）则x, #0宀#010分王，故/：厶的方程分别为y -幷二严3 f j和y -九=pp由厂"談j，得航岁0）, ly=0由7=奚八得班詐人 =0由 p訐v f（0占）.-«l 7 得玖学，第）11分/.紅p &4f = - i 4f丄nf：12分13分同理可得如二-已,k叶=* , 叭p/. kbff * k艸=一 1, bf 丄 bf'.二点，4.8在以ff为直径的岡上，的外接圆过点f. m分注

24、:若考生只改变点"的检負或拋物线c的开口大小两者之一，给出正确命题给i分证 明正确再给3分共4分；若考生同时改变点尸的位置及拋物线c的开口大小但非一般 性改变，如点尸仍在y轴上，或拋物线c的方程非拋物线标准方理的一般形式给出正确 命题给1分证阴正确再给4分共5分.2010年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分第1卷（选择题）和第ii卷（非选择题），本试卷共5页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2. 考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答 题区域书写的答案无效。

25、在草稿纸、试题卷上答题无效。3. 选择题答案使用2b铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;非选择题答案 使用0. 5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。4. 保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将木试卷和答题卡一并交回。参考公式：样本数据兀i，兀，兀”的标准差：x 二 j（x x）2 + （无兀）“ + +（£ x），其中 x 为样本平均数；v n林体体积公式：v = sh,其中s为底面面积，/?为高；锥体体积公式:v=-sh，其中s为底面面积,h为高;3球的表面积、体积公式：s=4兀x , v=-tir k中/?为球的半径。 3第

26、i卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题意要求的。1.已知（d i）（3 i）为纯媲数，aer, i为虚数单位，则的值为（ ） a. -3b. 3c. 一丄d.-33侧觇图2. 已知向量a = （1,2） , b = （x, 4）,若a/b，则ab等于（a. -10b. -6c. 0d. 63. 等差数列匕的前项和为s”，勺+如=8,则几的值为（a. 26b. 48c. 52d. 1044. 某儿何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为（）8a. 8b.-34c. 4d.-35. 有编号为1, 2,，700的产站，现

27、需从中抽取所有编号能被7整除的产站作为样站进行检验。a开始b6. 若函数f(x) = x2-2x + m在2,+ oo)的最小值为-2,则实数加的值为( )a. -3b. -2c. -1d. 17. 若集合 a = x|2 < x < 3,b = x| u + 2)(x-a) < 0,则 “d = l” 是“ acb = 0 ”的()a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件o若在。区域上随机找一c.充要条件d.既不充分也不必耍条件8. 已知平面区域q = (x, y) it+),2 si, m =(«/) 个点p ,则点p落在区域的概率为(2 29. 已知椭圆+ -

28、 = 1(0</?<2)与y轴交于a、两点，点f为该椭圆的一个焦点，则abf而4 b积的最人值为()a. 1b. 2c. 4d. 8tt10.若函数y = /(%) +sinx在区间(-扌，亍)内单调递增，则门兀)可以是()jijia- sin(-x)b. cos(-x)c. sin(x)d. cos( + x)11.函数/(x) = cosx-log3 x的零点个数是()a. 1b. 2c. 3d. 412. 如图，已知线段ab =迈,但点a沿着以原点0为圆心的单位圆上运动吋，点b在兀轴上滑动。zaob = 0f7t记x(&)为点b的横坐标关于&的函数，则x(&a

29、mp;)在0,-上的图彖大致是()a第ii卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡相应位置。13. 为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了 20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布在方图，如图。现按月收入分层，用分层抽样的方法在这20000人中抽出200人作进一步调查，则月收入在1500,2000)(单位：元)的应抽取人。14.设函数/(%) =则/(-|)=15. 过点p(l,l)的直线/交 0:疋+2=8于a、b两点，n.zaob=120° ,则直线/的方程为。16. 从卬、乙、丙、丁、戊、己6人中选出3人组成一个辩

30、论赛队，要求满足如下三个条件： 甲、内两人中至少要选上一人； 乙、戊两人中至少要选上一人； 乙、丙两人屮的每个人都不能与戊同时入选如果乙未被选上，则一定入选的两人是。三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）某城市有连接8个小区a、b、c、d、e、f、g、h和 市中心。的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图。 某人从道路网中随机地选择一条最短路径，山小区a前往h。0bc（i）列出此人从小区4到h的所有最短路径（自4至h依次用所经过的小区的字母表示）;（ii）求他经过市屮心0的概率。18.（本小题满分12分）在abc中，角a、b

31、、c所对的边分别是a、b、c,.c 46sin = o24(i )求 sinc ；(ii)若c = 2, sinb = 2sina,求 abc的面积。19.（本小题满分12分）如图，正方体abcd-aqd,中，m、n分别为ab、（i ）求证：平面b、mn丄平fribbqq；（ii）按图中示例，在给出的方格纸屮，用事先再画出 此正方体的3个形状不同的表|何展开图，h.每个展开提 均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”。（如果多 画，则按前3个记分）。的中点。已知%为递增的等比数列，且坷,偽 q5u10,-6, 2,0,1,3,4,16。（i ）求数列色的通项公式;（ii）是否存在等差数列化,使

32、得abn +a2bn_, + a3bn_2 + anb = 2w+1-n-2对一切都成立?若 存在，求岀化；若不存在，说明理由。21.（本小题满分12分）已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点f在兀轴上，且过点（1,2）。（i ）求抛物线c的方程；2 2（ii）命题'过椭圆+ - = 1的i个焦点斤作与兀轴不垂直的任意直线/ ”交椭圆于a、3两点, 25161线段ab的垂直平分线交兀轴于点m ,则竺-为定值，且定值是v”。命题中涉及了这么儿个要素：给 fm3定的圆锥曲线7过该圆锥曲线焦点巧的弦ab,的垂宜平分线与焦点所在的对称轴的交点m , ab 的长度与f、m两点间距离的比值。试类比上述

33、命题，写出一个关于抛物线c的类似的正确命题，并加以证明。（iii）试推广（ii）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）。22.（本小题满分14分）已知函数/（兀）=（ax2 +加+ c0在兀=1处取得极小值，其图象过点a（o,1）,且在点处切线的斜率为（i）求/（兀）的解析式；（ii ）设函数g的定义域d,若存在区间m, nd,使得g（x）在加，可上的值域也是加，可，则称区间加，可为函数g的“保值区间”。（i）证明：当xl时，函数/（对不存在“保值区间”；（ii）函数/（兀）是否存在“保值区间” ？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由。2010年福建省普通高中

34、毕业班质量检查文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、木解答指出了每题要考查的主要知讥和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如杲考生的解法 与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准制定相应的评分细则。二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答耒改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半，如來后继部分的解答 有较严重的错误就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生止确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分.满分60分.1. d

35、2 a 3. c 4. c 5. b 6. b 7. a 8. d 9. b 10. b 11. c 12. b二、填空题：本大题考査基础知识和基本运算.每小題4分，满分16分.13. 40；14. q； 15. %+y-2=0；16.甲、戊.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17本小题主要考査古典概型等基础知识，考査推理论证能力、运算求解能力，以及运用数 学知识分析和解决实际问题的能力.满分12分.解:(1 )此人从小区人前往h的所有撤短路径为：atbiceih,ab0* h 丫 ad0eh、ahsh, afh 共 6 条. 6分(u)记“此人经过

36、市中心0”为事件则m包含的基本車 件为:ahefh、ahjh 共 4 个， 10 分p(m)岭岭即他经过市中心0的概率为令. 12分(注：若考生写岀路径为abceh, ab0eh,等其它形式，照样给分)18.本小题主要考査同角三角函数的基本关系、二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形 而积公式等基础期识，考査推理论证能力、运算求解能力.满分12分.解法一：(i) $in寻鲁,0<寻遥，1分' «« 手=j】-sin待=-(好=于, 3 分 sinc =2sin ycos j =2 x y x- 5 分(h ) v sinb = 2sin4, /.由正弦定理得

37、b =2at 7 分*/ cosc = 1 -2sin2 c =2,由 c? =/ +6? -2a6cosc,得从而6=2.10分12分4川+4宀心解得心.9分“be syasinc = y xl x2 x/. cosc = 1 - 2sin2 = 1 -2 x ('孕)=又t 0 < c < 77, /. sinc = >/1 -cos2c =（n）同解法一.19.本小题主要考査直线与直线、直线与平面、平面与平面的位世关系尊基础知识，考査空 间想彖能力、推理论证能力.满分12分.解：（i ）正方体abcda、bigd中，b弘丄平面abcd,mvu平面abcd, bb

38、jmn. 连结sc, m、n分别为ab、c的中点，mn/ac. 2分又四边形abcd是正方形，./tc丄e9,mv 1.bd. bdcbb=bmn丄平面 bb、dd.又m.wu平面平面丄平面叭吧 5分（d）当点p在du上移动时，都有mn 平面人gp. 6分证明如下：在正方体 abcd_a“cdi 中，=ccif aaj/cc四边形aa.c.c是平行四边形» :.ac/axcx 7分由（i ）知mnac, :、mnf又mn0平面a.c.p, 4）c,u平面agp, mn平面ap. 9分(ib)符合条件的表面展开图还有5个，如下图.正确画出一个得1分，满分3分.20.本小题主要考査等墊数

39、列、等比数列等基础知识，考査推理论证能力、运算求解能力， 考査特殊与一般思想、化归与转化思想.满分12分.解法一：(i )因为比是递堆的等比数列，所以数列的公比g是正数，又«»,a3,a3c - 10, -6,2, 0, 1, 3, 4, 16,所以。严1,",他=16, 3分从而=孑=4, 9 =2, aw =atq*'1 -2"_,所以数列%的通项公式为=2- 6分(h)假设存在满足条件的等差数列%,其公差为d则当时，a.6, =1, 又丁 a, = 1,6, = 1 ；当 n = 2 时，atb2 +a26j =4t b2 +26)=4,

40、b2 =2.则 d =62 -6( = 1,' b. = b】+ (n - 1= 1 + (n - 1) x 1 =仏 8分以下证明当i.=n时，0,6.+a a-1 +咏山+比® =2小-2对一切 hgn*都成立.设 s. =5久 +勺6 + +a心 +aq,即 s,=l xn+2x(n-l) +22 x(n-2) +2j x(n-3) + +21-2 x2+2-1 xl,(1)2sn =2xn+22 x(n-l) + 2- x(n-2) + +2*'1 x2+2nxlt(2)(2)-得 s. = -n+2 +22 +23 +-+2“" +2”_“2( v

41、"-m+-i所以存在等差数列i6j, “二"， 使得jbjsb+%心+叫&| =2b*,-n-2对一切nen*都成立.12分 解法二(i )同解法_(h)假设存在满足条件的等差数列|6,|,其公差为 a. +a2z»1|wl +。3久2 + +<*<1 =2*' -n-2 (nen* ),-+«3n-3 + +<ja-l6l =2* *h-1 (兀多2), 8分由上面两式相减得，dat da2 +ja3 + +da +5® =2贞-1(n>2),-1i.xv a, +a2 + +a.z =巧二厂二2&qu

42、ot; - 1, am =2*_ ,-1) +2-,61 =2*-l,+-2) =j-1, ( *) 10分等式(审)对恒成立，d bx -2=0, j -1 =0,解得m, ® =h*. 6m = 6, +(n*-i)d = n经检验，存在等差数列卩，使得叫6.“26+(|0二2"-71-2对一切nwn都成立.12分解法三：(i )同解法一.(d)假设存在满足条件的等差数列其公差为d,使得a血+叹+ + a ® + a0 = 2* “ 7 - 2对一切nn*都成立. 则有6】+ (/i - i )d +26, + (n 2)d +226> + (n 3)d

43、 + + 2*-2(6, + d) +2”仏=2af, -n-2,bp(1 +2+2? + +2-,)6l +(n-l) +2(/i-2) +22(n-3) + +2*'2d =2" -n-2, 8分(2*-l)6l +(n-l) +2( 2) +2"/i-3) + +2皿/=2“ - n-2. 令 7； =+2(/i-2) +22(«-3) +2z -2+2-(1)2rft=2(n-l) +22(n-2) +23(n-3) + -+2<-2 2+2小，(2)(2)-(1)得人二-(n-1) +2+2?+2“"=-(n-1) +斗耳'

44、;)=2i 2所以(2”-l)®l)“2" f-2,艮卩(b、+ j) -2" -(bi-*一n-2. 10分内 +d =2, 因为上式对一切aen-都成立，所以-j= -l 解得6, =1, = l 6j j = 2»所以 b.=b、+(n")dk经检验，存在等差数列16,1, 6. =nf使得叽+aa-i +比血 7 =2*41 - n-2对一切n wn都成立.12分21.本小题主要考査直线、椭圆、抛物线等基础知识，考査推理论证能力、运算求解能力,考査数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想满分12分.解法一：(i )依题意，可设抛物线

45、c的方程为：/=2px(p>0). 1分抛物线c过点(1,2),/. 22=2p>解得p=2. 3分抛物线c的方程为:/ =4x 4分(fl)关于抛物线c的类似命题为：过抛物线/=4x的焦点f(l,0)作与兄轴不垂 直的任意直线/交抛物线于a、b两点，线段ab的垂直平分线交工轴于点 mt则牆为定值，且定值是2证明如下：设直线ab的方程为兀+ 1 (心0), 代人y2=4x,消去戈得4纽-4=0.因为4 = 16? +16>0,可设4(衍),b(兀2,旳)，贝o/i +/2 =仇,yxy2 = -4,+x2 = r(yj +y2) +2 = 4? +2,所以线段ab中点p的坐标

46、为(2+l,2t),ab的垂直平分线mp的方程为y-2f= -f(x-2t2-l),10分fm令y=0,解得x2t2 +3,即"(2/+3,0),所以fm =2t2 +2.由抛物线定义可知1初1二衍+衍+2=4丰4,所以447=2.12分(ih )过抛物线的焦点f作与对称轴不垂直的任意立线i交抛物线于4、b两点，线段 佔的垂直平分线交对称釉于点"，则脇为定值，且定值是2.(注：如果考生给岀“过抛物线/=2px (p>0)的焦点f作与轴不垂直的任意直线2 交抛物线于a、b两点，线段4b的垂直平分线交轴于点他 则脇为定值，且定值解法二：（）同解法一.（h）关于抛物线c的类

47、似命题为：过抛物线/=4x的焦点f（1,o）作与兀轴不垂 直的任意立线/交抛物线于a、b須点，线段人8的垂宜平分线交工抽于点 v,则陽为定值，且定值足2. 6分证明如下：设直线ab的方程为r = fc(z-l)(o)f 代人/ =4xt消去兀得k/ -4y -4zr =0.因为 d = 16 + 16v >0,可设b(x2 ,y2),4则jx=* tin =4.7分衍 f 岭& *£）（7i +/2）2 斗（管珂所以线段朋中点p的坐标为伶+ 1, y）,ab的垂直平分线mp的方程为y-旨 士（令 令厂0,解得心 痔，即"（3唁.0）,所以ifmi.诒+2.由抛

48、物线定义可血i個=曲+帀+2*4,所以跆 =2 10分（皿）解法三：（i ）（h）同解法_同解法一.关于抛物线c的类似甜題为：过抛物线/ =4z的您点f（ 1,0）作与x轴不垂 直的任意直线2交抛物线于*、b两点.线段人的垂直平分线交力粘于点 则牆为定值，且定值是2证明如下：依题意，直线/与拋物线/=4x必有两个交点a、b、 设月（衍,/|）. （衍2），线段佔的中点为p（x0ty0）, 又直线/与才轴不垂直，衍工衍禹二仙，由?如-并整理得卅二崗丘令厂0,得 z=x0+2,即 m(亦 2,0),所以ifmi =l(%+2) - ii *o + l 9 分由抛物线定义可=x, +x2+2=2x0

49、+2,所以需卜2 10分(皿)同解法一.22.本小题主要考査函数、导数等基础知识，考査推理论证能力、运算求解能力，考査函数 与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想满分14分.解法一：(1)- (ax2 +6x+c)e厂(尤)=ax2 + (2a +6)x + (6 +c) eb.2分/(0) =1,|c = 1,.a = 1 >由厂(0) = -1,即 6+c= -1,解得6 = -2,4分厂(1)=0,l3a +26 +c = 0.c = la经检验，/(x) =(?-2x + l)es满足题意.5分(d ) hl ( i )得厂(j )假设当x>1时人兀)存在

50、“保值区间”因为当ql时,厂(町=(/ -1疋>0,所以/(幻在区间(1, +oc )是堆函数, rf(m) =m, f (m - 1 )2em =mt依题意，即，/(«)l(a - 1) en =/u于是问题转化为(x-l)2e*-%= 0有两个大于1的不等实根. 7分现在考察函数吃)十f (q), 8分/(小(/-1冶令 (x) =(x2-l)e,-l> 则 (x) =(x2+2x-l)e.当尤>1时，0(兀)>0.10分旅工)在(1,2)是增函数，即 2)在+ 8)是增函数. v/iy(l) = -1 <0, /i#(2) =3e2 -1 >

51、0,存在唯-xoe(l,2),使得 w°)=0当兀变化时,/(%),虹兀)的变化情况如下表:xz(1, %)仏，+ ®)2)-0+h(x)单调递减极小值单调递增所以,h(x)在(i/o)上单调递减，在(勺，+00)上单调递增. 于是,hg <a(1)« -ko,又因为人(2) =e2-2>0,所以，当工>1时，人匕)的图象与工轴有且只有一个交点， 即方程(一 1)2孑-"0有且只冇一个大于1的根，与假设矛盾.故当需>1时，人力)不存在“保值区间”. 12分(u)/(%)存在“保值区间 0,1为它的一个“保值区间”. 14分解法二：

52、(i )同解法一.(ii)由(i)得厂=(<1卅，.(i )假设当力>1时/(对存在“保值区间”弘町(n>m>l).因为当久>1时，厂(龙)=(<一1)>0,所以/(尤)在区间(1,+»)是增函数，r/(w) =m, r(m - 1 )2em =m,依题意，即,1/5) =n,(n-1) -nf于是问题转化为方程(x-l)2e-=x,即为+丄-2 = (丄)'冇则个大于1的不等实根. 7分xc考察函数g(%) =x+y-2 (q)与函数a(x) =()a(xl)*8 分当策>1时，g ©)=1-4 =主>0,所以

53、g&)在区间(1,+8)是增函数；x x而函数ft(x)二(丄)”在区间(1,+00 )是减甬数.e又因为 g(l)=o，虹 1)=丄，g(2) j, h(2) d， eze所以 a(l) >gd), h(2) <g(2), 10 分因此函数g&) r +丄-2(01)的图象与函数a(x) =(-)-(%>!)的图象xe有且只有一个交点.即方程乂+丄-2 = (丄厂有且只有一个大于1的根，与假设矛盾.xe故当 >1时，人兀)不存在“保值区间”. 12分(ii)同解法一.锥体体积公式v=-sh3其中兀为样本平均数 柱体体积公式v = sh其屮s为底血面积，力为高其中s为底而而积，力为高 球的表曲积、体积公式s= 4ttr2,v =-ttr33其屮r为球的半径2009年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学本试卷分笫i卷（选择