恒成立能成立问题总结详细

1、恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。 这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想 方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解 决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。一、函数法(一)构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数 f(x) kx b(k 0), x m, n有:例1若不等式2x 1 mx2 m对满足 2 m 2的所有m都成立，求x的范围。.,2解析：将不等式化为：m(x 1) (2x 1) 0 ,构造一次型函数：g

2、(m) (x2 1)m (2x 1)原命题等价于对满足2 m 2的m,使g(m) 0恒成立。由函数图象是一条线段，知应1713解得x 22g( 2) 02(x2 1) (2x 1) 0g(2) 02( x2 1) (2x 1) 0L , E1、.7 13,所以x的范围是x (,)。22小结：解题的关键是将看来是解关于x的不等式问题转化为以 m为变量，x为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。练习：(1)若不等式ax 1 0对x 1,2恒成立，求实数a的取值范围。(2)对于0 p 4的一切实数，不等式x2 px 4x p 3恒成立，求x的 取值范围。(答案：|犬)3或工亡-

3、1)(二)构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。对于二次函数f(x)2ax bx c 0(a 0)有:(1)f (x)0在xR上恒成立a0且0；(2)f (x)0在xR上恒成立a0且0(3)当a 0时，若f (x) 0在,上恒成立若f(x) 0在,上恒成立f( ) 0f( ) 0(4)当a 0时，若f(x) 0在,上恒成立f( ) 0f( ) 0若f(x) 0在,上恒成立bbb2a或 2a或 2af( )00f( )0例2若关于x的二次不等式：ax2 (a 1)x a 10的解集为R ,求a的取值范围解：由题意知，要使原不等式的解集为R,即对一切实数x原不等式都成立。a

4、 0只须a 03a2 2a 1 0a 02(a 1)2 4a(a 1) 01，-一1. a的取值范围是3说明：1、本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a 0的情况，但对本题讲a 0 时式子不恒成立。2、只有定义在 R上的恒二次不等式才能实施判别式法；否则，易造成失解。练习：1、已知函数y v mx2 6mx m 8的定义域为 R,求实数m的取值范围。（答案0 m 1）2 、已知函数f（x） x2 2kx 2在（1, Hf（x） k恒成立，求实数k的取值范围。（答案3 k 1）提示：构造一个新函数F（x） f（x） k是解题的关 键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。（

5、三）、利用函数的最值- 分离参数法或值域法若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边即分离参变量，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。注意参数的端点值能否取到需检验。类型一：、（恒成立）(1) x D, f (x)m恒成立f(x)min m；(2) x D, f (x)m恒成立m f(x)max；二、（能成立、有解）：(1) x D, f (x)m能成立mf(x)在 D 内有解 f (x)maxm；(2) x D,f(x) m 能成立 m f(x)在 D 内有解 mf(x)min；三、(恰成立)(

6、1)不等式f xA在区间D上恰成立(2)不等式f xB在区间D上恰成立不等式f xA的解集为D ;不等式f x B的解集为D .四、(方程有解)方程m f (x)在某个区间上有解，只需求出f(x)在区间上的值域A使m A。例3：设f (x)lgx x1 2 a43如果x (.1)时，f(x)恒有意义，求a的取值范围。解：如果x (.1)时，f(x)恒有意义不等式1 2x a4x 0对x (,1)恒成立 a1 2x4x(2 x 2 2x), x (.1)恒成立。21令t 2 , g(t) (t t),又x (，则t(2,)a g(t)又t (1, 213g(t)maxg()24例4 :若关于x的

7、不等式x2、，八八，、，J、一 一，)恒成立，又Qg(t)在t 一,)上为减函数，23 a -4ax a 3的解集不是空集，则实数 a的取值范围。解： 设f(x) x2 ax a .则关于x的不等 式x2 ax a 3的解集 不是空 集f (x)3在R上能成立f (x)min 3,4a a2即 f(x)min 3,解得 a6或a 24例5不等式kx2 k 2 0有解，求k的取值范围。222解：不等式kx k 2 。有解 k(x 1) 2能成立 k 能成立x 1.,2k()max2,所以 k (,2)。x 1例6 (2008年上海)已知函数 f( x) = 2x 热不等式2t f( 2t)+ m

8、 f( t) > 0对于t C 1, 2恒 成立，求实数m的取值范围解：本题可通过变量分离来解决.1,1当 t 1,2时，2t (22t 1) m(2t -1) 0'22t2t 2t4t2t2t即 m(21)(21), 21 0, . m (21)-t 1,2, . (22t 1) 17, 5故m的取值范围是5,)1x 2x 3x(n 1)xnxa例 7 (1990 年全国)设 f (x)lg12一3(n-J)一n-a ,其中 a 为实数，nn为任意给定的自然数，且 n 2 ,如果f (x)当x (,1时有意义，求a的取值范围.解：本题即为对于x (, 1,有1x 2x (n 1

9、)x nxa 0恒成立.这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a的范围，可先将a1 x 2 x n 1 x分离出来，得a(一)x (-)x( )x(n 2),对于x (, 1恒成立.n nn1 v 2 Vn 1 V构造函数g(x) (-)(-)(),则问题转化为求函数g(x)在n nnx (, 1上的值域，由于函数u(x)(-)x(k 1,2, n 1)在nx (, 1上是单调增函数， 一，一，1则g(x)在(，1上为单调增函数.于是有g(x)的最大值为g(1)-(n 1),21 1从而可得a -(n 1). 2如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题 ，我们可以通

10、过习题的实际，采 取合理有效的方法进行求解 ，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的 配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f (x)的最值.类型二：“ f x g(x) ” 型L例 8 已知 f(x)=亍lg(x+1) , g(x)=lg(2x+t),若当 xC0,1时，f(x) wg(x)恒成立, 求实数t的取值范围.解f(x) <g(x)在x 0,1恒成立，即屈1-2"在x 0,1恒成立=在0,1上的最大值小于或等于零ui/ *1 n 1 4右斗1F rx) " -,- 2 -力西十I 2 Jr +1 x0,1, F'

11、(x) v 0,即F(x)在0,1上单调递减，F(0)是最大值. .f(x) < F(0)=1 -t<0,即 t >1.类型三：“f x1g(x2)”型(恒成立和能成立交叉)：(1)x1D, x2 E, f(x。 g(X2)成立f(x1)ming%)f(X)ming(x2) f(X)min g(x)min ；例9已知两个函数f(x) 8x2 16x k, g(x) 2x3 5x2 4x ,其中k为实数。(1)对任意x 3,3 ,都有f (x) g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1, x2存在x 3,3 ,使f (x) g(x)成立，求k的取值范围；3,3 ,都有f

12、(x1) g (x2),求k的取值范围。解析：(1)设 h(x) g(x) f(x) 2x3 3x2 12x k 问题转化为 x 3,3 时，h(x) 0恒成立，故 h(x)min 0。令 h'(x) 6x2 6x 12 0,得 x1或x 2。由 h( 1) 7 k,h(2)20 k,h( 3) k 45,h(3) k 9,故h屋口所 45 k由 k 45 0 k 45。(2)据题意：存在 x 3,3 ,使 f (x) g(x)成立 h(x) g(x) f (x) 0 在x 3,3 有解，故 h(x)max 0 ,由(1)知 h(x)max k 7 ,于是得 k 7。(3)分析：它与(

13、1)问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别。对任意Xi,X23,3 ,都有f (x1) g(x2)成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，x1,x2的取值在f (x)max3,3上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要条件是：g ( x) min , x3,3,'由 g (x)八 22 一一6x10x 4 0,得 x1或x，易得 g(x)min g( 3)21 ,又 f (x)38( x 1)2 8 k , x 3,3 .故 f(x)max f (3) 120 k，令120 k 21 k 141。1a例10： (2010山东)已知函数 f(x) ln x ax 1 (a R).

14、 x1(i )当a 时，讨论f(x)的单调性；22 一.1,(n)设g(x) x 2bx 4.当a 时，若对任意 x1 (0,2),存在x21,2 ,使4f (xi) g(x2),求实数b取值范围.解析：(i)当a 0时，函数f (x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；1. , . _ ,、 一 ，、当a 一时Xi x2 , h(x) 0恒成立，此时f (x) 0 ,函数f (x)在 2(0,)单调递减；一 1. . . 1.当0 a 时，函数f (x)在(0,1)单调递减，(1- 1)单调递增，2a1(1,)单调递减. a-1. (n)当a 时，f(x)在(0, 1)上是减函数，在(1

15、, 2)上是增函数，41 所以对任意 x1 (0,2),有 f(x1)f(1)-,21又已知存在 X21,2，使 f(X1) g(X2),所以 一g(X2),X21,2 4)2又 g(X) (x b)2 4 b2,X 1,2当 b 1 时，g(x)min g(1) 5 2b 0 与(X)矛盾；当 b 1,2 时，g(x)min g(1) 4 b2 0 也与(X)矛盾；1 17b 2时,g(x)min g(2)8 4b -,b -.2 8一 ，一一 17综上，实数b的取值范围是17).8，t (xj = K - K -Jk + ,= 例11已知函数33若 若若对任意 必，X2C-2,2,者B有f

16、(x 1) V g(x 2),求 c 的范围.解 因为对任意的X1, X2C-2,2,都有f(x 1)vg(X2)成立，. f(X)max<C g(x) min. ,f ' (x)=x 2-2x-3 ,令 f ' (x) > 0 得 x>3 或 xv-1 ; f ' (x) v 0 得-1 VXV3. .f(x)在-2,-1为增函数，在-1,2为减函数. f( -1)=3 , f(2)=-6 ,仆小 f(x)ma)=3. 上. .c< -24.类型四：“ f(X1)f Xf(X2)” 型f -2 eiiM； + 例12:已知函数.23,若对任意x

17、CR,都有f(x 1) <f(x) <f(x 2)成立，则|x 1-X 2|的最小值为 .解.对任意xCR,不等式f(x i)Wf(x) Wf(x 2)恒成立,f(x 1), f(x 2)分别是f(x)的最小值和最大值对于函数y=sinx ,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是兀，即半个周期又函数 .|x i-x2|的最小值为2.类型五：: 例 13 (2005 湖北)在 y=2x, y=log 2x, y=x2, y=cosx 这四个函数中，当 0vxivx2<1 时,f (- 1 +乂2)； FQ1)斗，(丈2)使 23恒成立的函数的个数是()A.0B.1C.2D.3解

18、 本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件，-'2的函数,应是凸函数的性质，画草图即知y=log2x符合题意.类型六：.“"叮>0”型 例14已知函数f(x)定义域为-1,1 , f(1)=1 ,若m, nC-1,1 , m+nO时，都有m-m ，若 f(x) wt2-2at+1 对所有 xC -1,1 , a。-1,1恒成立，求实数 t 的 取值范围.解任取-IWxiVXzWI,f(6k)与党心町一切股0一%由已知 乂1一*2>0,又 X1-X 2< 0, f(X 1)-f(X 2) <0,即f(x)在-1,1上为增函数. f(1)=1 ,. -x

19、-1,1，恒有 f(x) <1. .要使 f(x) w2at+1 对所有 xC-1,1 , aC-1,1恒成立，即要 t2-2at+1>l 恒 成立，故t2-2at >0恒成立.令 g(a尸t 2-2at ,只须 g(- 1) >0 且 g(1) >0,解得t W-2或t=0或t >2.评注形如不等式“ 片7口>0”或“町一心0”恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息.类型七："|f(x 1)vf(x 2)| vt(t为常数)”型£例 15 已知函数 f(x)=-x 4+2x3,则

20、对任意 t1,t2 c -2，2(t Kt都有 |f(x 1)-f(x 2)| <恒成立，当且仅当t产, t2=时取等号.解 因为 |f(x 1)-f(x 2)1 W|f(x)maHf(x)min| 恒成立,2716由 ' ',xC -，2,易求得国)向=f (-3=一1 110. |f(x i)-f(x 2) <2.类型八："|f(x i)-f(x 2)| < |x 1-X2I”型£例 16 已知函数 f(x)=x 3+ax+b,对于 xi,x 2 (0, 3 )(x 1x2)时总有 |f(x i)-f(x 2)| <|x i-x

21、2|成立，求实数a的范围.解由 f(x)=x 3+ax+b,得 f' (x)=3x 2+a,且当 xC(0, 3)时，av(x) v 1+a.1 |f(x i)-f(x 2)| < |x i-x 2| , 一盯；)一代工2)卜. 町一 ”,(AL1 +应,.-iwawo.评注由导数的几何意义知道，函数y=f(x)图像上任意两点P(xi,yi),Q(x2,y2)连线的斜率 "3 一%(x iWx 2)的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率 (如果有的话)的范 围，利用这个结论，可以解决形如 |f(x i)-f(x 2)| wm|xi-x2| 或|f(x i)-f(x 2)

22、| >m|xi-x2|(m > 0)型的不等式恒成立问题.(四)数形结合法数学家华罗庚曾说过：数数缺形时少直观，形缺数时难入微” ，这充分说明了数形结合 思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系， 象法求解。对一些不能把数放在一侧的,可以利用构造对应两个函数的图f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方;2)f(x)g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。例17已知a0,a1, f(x)2 xx a ,*x1(1,1)时，有f(x)恒成立，求实数a2的取值范围。解析：由f(x)ax,构造出两个函数并在同一

23、直角坐标系中作出它们的图象如果两个函数分别在x 1和x1处相交，则由21 R 2112 a及(1)21得到a分别等于2和Y1 V0.5,并作出函数y 2、及丫 ()x 2的图象，所以，要想使函数ax在区间1,1)中恒成立，只须y2x在区x ( 1,1)对应的图象在1 -、在区间21,1)对应图象的上面即可。当1时，只有a 2才能1时,只有a 1才可以，所以212,1) (1,2。18 设 f (x) x x2 4x ,，、4g(x) 3xa,若恒有f (x) g(x)成立，求实数a的取值范围.g(x)的图象是平行的直线系 4x要使f(x) g(x)恒成立,则圆心(2,0)到直线4x 3y分析：在同一直角坐标系中作出如图所示，f(x)的图象是半圆满足 d8 3 3a5一一 .5解得a5或a (舍去)3练习：若对任意X R,不等式ax恒成立，求实数a的取值范围。练习:1、已知二次函数满足f (0) 1 ,而且f(x 1) f (x) 2x,请解决下列问题(1) 求二次函数的解析式。f(x) x2 x(2) 若f(x)(3) 若f(x)(4) 若f(x)2x m在区间1,1上恒成立2x m在区间1,1上恒成立2x m在区间1,1上有解，2、已知函数f xx2 a (x